Alternatividad

En matemáticas , más particularmente en álgebra general , la propiedad de la alternatividad puede relacionarse con leyes internas de composición , especialmente la multiplicación de ciertas álgebras . Es una propiedad menos fuerte que la asociatividad y, para las álgebras, más fuerte que la asociatividad de potencias .

Definición

A magma M se dice izquierda alternativa si ( xx ) y = x ( xy ) para todo x y y en M y alterna derecha si hay ( xx ) = ( yx ) x para todo x y y en M .

Se dice que es alternativa si es a la vez alternativa a la izquierda y alternativa a la derecha.

Propiedades

Cualquier medio grupo (es decir, cualquier magma asociativo ) es claramente alternativo. Lo contrario es falso: el álgebra de octoniones es alternativa pero no asociativa.

De manera más general, para que un magma M sea alternativo, basta con que cualquier sub-magma de M generado por dos elementos sea asociativo.

Para cualquier magma, esta condición suficiente no es necesaria (un magma alterno puede ni siquiera tener poderes asociativos).

Para un álgebra, esta condición suficiente también es necesaria, según un teorema de Artin . Un corolario es que cualquier álgebra alternativa (en) tiene poderes asociativos, pero lo contrario es falso: las sedeniones forman un álgebra con poderes asociativos, aunque no alternativos.

Cualquier álgebra alternativa es flexible , es decir, satisface la identidad ( xy ) x = x ( yx ). Los argumentos elementales sobre el asociador permiten probar directamente este caso particular del teorema de Artin e incluso demostrar que si un álgebra A satisface dos de las siguientes tres condiciones, entonces satisface la tercera:

A es una alternativa a la izquierda, A es una alternativa a la derecha, A es flexible.

Cualquier álgebra alternativa verifica las identidades de (en) Moufang :

( zxz ) y = z ( x ( zy ))
y ( zxz ) = (( yz ) x ) z
( zy ) ( xz ) = z ( yx ) z

(dado que el álgebra es flexible, las subexpresiones sin paralelo anteriores de la forma aba son inequívocas).

Algunas demostraciones

El asociador [,,], definido por [ x, y, z ] = x ( yz ) - ( xy ) z , es un mapa trilineal .
La alternatividad a la izquierda y a la derecha y la flexibilidad se traducen respectivamente por: [ x, x, y ] = 0, [ y, x, x ] = 0 y [ x, y, x ] = 0. Dos condiciones conducen al tercero. En efecto, cada uno implica la antisimetría parcial del alternador, con respecto, respectivamente, a las variables (1, 2), (2, 3) y (1, 3). Dado que dos de las transposiciones asociadas generan el grupo simétrico completo S 3 , la conjunción de dos de las tres condiciones es equivalente a: el alternador es (en general) antisimétrico.
Cualquier álgebra alternativa verifica la primera identidad de Moufang: e igualmente la segunda (invirtiendo a derecha e izquierda).
${\ begin {alineado} (zxz) yz (x (zy)) & = [zx, z, y] + [z, x, zy] \\ & = - [z, zx, y] - [z, zy , x] \\ & = - (z ^ {2} x) y + z ((zx) y) - (z ^ {2} y) x + z ((zy) x) \\ & = - [z ^ {2}, x, y] -z ^ {2} (xy) - [z ^ {2}, y, x] -z ^ {2} (yx) + z {\ Big (} (zx) y + (zy) x {\ Big)} \\ & = z {\ Big (} -z (xy) -z (yx) + (zx) y + (zy) x {\ Big)} \\ & = z {\ Big (} [z, x, y] + [z, y, x] {\ Big)} = 0. \ end {alineado}}$
El tercero se puede deducir, por ejemplo, del primero:
${\ begin {alineado} (zy) (xz) -z (yx) z & = [z, y, xz] + z {\ Big (} y (xz) - (yx) z {\ Big)} \\ & = - [z, xz, y] -z [y, x, z] \\ & = - (zxz) y + z {\ Big (} (xz) y- [y, x, z] {\ Big )} \\ & = - z {\ Big (} x (zy) - (xz) y + [y, x, z] {\ Big)} \\ & = - z {\ Big (} - [x, z, y] + [y, x, z] {\ Big)} = 0. \ end {alineado}}$

Notas y referencias

Demostrado en Schafer 1995 , p. 29-30 y en Clark 2010 , p. 10-11
Schafer 1995 , p. 27-28
Clark , 2010 , p. 8-10

(en) Richard D. Schafer , Introducción a las álgebras no asociativas , Dover ,1995, 166 p. ( ISBN 978-0-486-68813-8 , leer en línea ) , pág. 27-30
(en) Pete L. Clark, " Álgebras no asociativas " ,2010, p. 7-11

Artículo relacionado

Teorema de Artin-Zorn (en)