Álgebra geométrica conformada
El álgebra geométrica conforme es un modelo matemático del espacio , estableciendo una correspondencia inyectiva entre el espacio euclidiano de dimensión y el álgebra geométrica de dimensión , de tal manera que la imagen de cualquier punto es un vector cero y tal que existe un vector cero con el cual el La imagen de cualquier punto da un producto interior igual a uno.
no{\ Displaystyle n}
no+2{\ Displaystyle n + 2}
F(X)2=0F(X)⋅∞=1∞2=0{\ Displaystyle {\ begin {array} {c} F (\ mathbf {x}) ^ {2} = 0 \\ F (\ mathbf {x}) \ cdot \ infty = 1 \\\ infty ^ {2} = 0 \ end {matriz}}}
Definiciones
Mapa de Minkowski
El álgebra geométrica conformada agrega dos dimensiones al espacio euclidiano con una métrica pseudoeuclidiana . Este espacio se llama plano de Minkowskii .
(-,+){\ Displaystyle (-, +)}
Se eligen dos vectores cero de este espacio. Se indican y se denominan respectivamente origen y horizonte . Se eligen para satisfacer las siguientes relaciones:
(o,∞){\ Displaystyle (o, \ infty)}
o2=∞2=0o⋅∞=∞⋅o=1{\ Displaystyle {\ begin {array} {c} o ^ {2} = \ infty ^ {2} = 0 \\ o \ cdot \ infty = \ infty \ cdot o = 1 \ end {array}}}
Se puede demostrar que forman una base del plan de Minkowski. Esta base se llama base cero .
(o,∞){\ Displaystyle (o, \ infty)}
El producto exterior del horizonte y el origen forma el pseudoescalar del plano de Minkowski. Se indica con una E mayúscula.
∞∧o=mi{\ Displaystyle \ infty \ wedge o = E}
La convención también existe, pero no se utilizará en este artículo.
mi=o∧∞{\ Displaystyle E = o \ wedge \ infty}
Corte conformado
El álgebra geométrica conformada corta un álgebra geométrica de dimensión vectorial en dos subespacios: el plano de Minkowski y un espacio de dimensión que apunta a representar un espacio euclidiano.
no+2{\ Displaystyle n + 2}no{\ Displaystyle n}
Hay al menos dos métodos de corte.
Corte aditivo
La división aditiva usa una suma directa :
Rno+1,1=Rno⊕R1,1{\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n + 1,1} = \ mathbb {R} ^ {n} \ oplus \ mathbb {R} ^ {1,1}}
Por tanto, se escribe un vector de :
X{\ Displaystyle x}
Rno+1,1{\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n + 1,1}}
X=F(X)=X+αo+β∞{\ Displaystyle x = F (\ mathbf {x}) = \ mathbf {x} + \ alpha o + \ beta \ infty}
Los coeficientes son las coordenadas de en el plano de Minkowski. Dependen de para que se satisfagan las relaciones que definen el modelo conforme.
α,β{\ Displaystyle \ alpha, \ beta}
X{\ Displaystyle x}X{\ Displaystyle \ mathbf {x}}
F(X){\ Displaystyle F (\ mathbf {x})}
División multiplicativa
La división multiplicativa consta de un producto directo:
GRAMOno+1,1=GRAMOno⊗GRAMO1,1{\ Displaystyle {\ mathcal {G}} _ {n + 1,1} = {\ mathcal {G}} _ {n} \ otimes {\ mathcal {G}} _ {1,1}}
Aquí está, de hecho, el espacio de trivectores que tienen como factor común el bivector E.
GRAMOno{\ Displaystyle {\ mathcal {G}} _ {n}}
ρX=X∧mi{\ Displaystyle \ rho \ mathbf {x} = x \ wedge E}
El factor de linealidad se determinará teniendo en cuenta las condiciones del modelo conforme.
ρ{\ Displaystyle \ rho}
Propiedades
Mapa de Minkowski
Cuadrado pseudoescalar
El cuadrado del pseudoescalar del plano de Minkowski es igual a uno.
mi2=1{\ Displaystyle E ^ {2} = 1}
Demostración
mi2=(∞∧o)(∞∧o)=-(o∧∞)(∞∧o)=-(o∞-o⋅∞)(∞o-∞⋅o)=-(o∞-1)(∞o-1)=(1-o∞)(∞o-1)=∞o-1-o∞∞o+o∞=∞o+o∞-1=2∞⋅o-1=2-1=1{\ Displaystyle {\ begin {alineado} E ^ {2} = & (\ infty \ wedge o) (\ infty \ wedge o) \\ = & - (o \ wedge \ infty) (\ infty \ wedge o) \ \ = & - (o \ infty -o \ cdot \ infty) (\ infty o- \ infty \ cdot o) \\ = & - (o \ infty -1) (\ infty o-1) \\ = & ( 1-o \ infty) (\ infty o-1) \\ = & \ infty o-1-o \ infty \ infty o + o \ infty \\ = & \ infty o + o \ infty -1 \\ = & 2 \ infty \ cdot o-1 \\ = & 2-1 \\ = & 1 \ end {alineado}}}
∎
Absorción de base cero
En el plan de Minkowski, la multiplicación por E actúa sobre el origen y el horizonte cambiando o no su signo según la dirección de la multiplicación.
mi∞=-∞mi=∞omi=-mio=o{\ Displaystyle {\ begin {array} {c} E \ infty = - \ infty E = \ infty \\ oE = -Eo = o \ end {array}}}
Demostración
mi∞=(∞∧o)∞=-(o∧∞)∞=-(o∞-o⋅∞)∞=(o⋅∞-o∞)∞=(1-o∞)∞=∞-o∞2=∞{\ Displaystyle {\ begin {alineado} E \ infty = & (\ infty \ wedge o) \ infty \\ = & - (o \ wedge \ infty) \ infty \\ = & - (o \ infty -o \ cdot \ infty) \ infty \\ = & (o \ cdot \ infty -o \ infty) \ infty \\ = & (1-o \ infty) \ infty \\ = & \ infty -o \ infty ^ {2} \ \ = & \ infty \ end {alineado}}}
Las otras relaciones se demuestran de manera similar.
Expresión de F
Corte aditivo
Con el corte aditivo, la expresión explícita de F se escribe:
F(X)=o+X-12X2∞{\ Displaystyle F (\ mathbf {x}) = o + \ mathbf {x} - {\ frac {1} {2}} \ mathbf {x} ^ {2} \ infty}
Demostración
Como se vio anteriormente:
F(X)=X+αo+β∞{\ Displaystyle F (\ mathbf {x}) = \ mathbf {x} + \ alpha o + \ beta \ infty}
Tratamos de determinar y para satisfacer y .
α{\ Displaystyle \ alpha}
β{\ Displaystyle \ beta}
F(X)2=0{\ displaystyle F (\ mathbf {x}) ^ {2} = 0}
F(X)⋅∞=1{\ Displaystyle F (\ mathbf {x}) \ cdot \ infty = 1}
Se tiene:
F(X)2=(X+αo+β∞)(X+αo+β∞)=X2+αβo∞+αβ∞o=X2+2αβo⋅∞=X2+2αβ{\ Displaystyle {\ begin {align} F (\ mathbf {x}) ^ {2} = & (\ mathbf {x} + \ alpha o + \ beta \ infty) (\ mathbf {x} + \ alpha o + \ beta \ infty) \\ = & \ mathbf {x} ^ {2} + \ alpha \ beta o \ infty + \ alpha \ beta \ infty o \\ = & \ mathbf {x} ^ {2} +2 \ alpha \ beta o \ cdot \ infty \\ = & \ mathbf {x} ^ {2} +2 \ alpha \ beta \ end {alineado}}}
Así que implicaF(X)2=0{\ displaystyle F (\ mathbf {x}) ^ {2} = 0}αβ=-12X2{\ Displaystyle \ alpha \ beta = - {\ frac {1} {2}} \ mathbf {x} ^ {2}}
La condición implica inmediatamenteF(X)⋅∞=1{\ Displaystyle F (\ mathbf {x}) \ cdot \ infty = 1}α=1{\ Displaystyle \ alpha = 1}
Entonces β=-12X2{\ Displaystyle \ beta = - {\ frac {1} {2}} \ mathbf {x} ^ {2}}
∎
División multiplicativa
Para la división multiplicativa, F se escribe:
F(X)=(o+X+12X2∞)mi=o+Xmi-12X2∞{\ Displaystyle F (\ mathbf {x}) = (o + \ mathbf {x} + {\ frac {1} {2}} \ mathbf {x} ^ {2} \ infty) E = o + \ mathbf { x} E - {\ frac {1} {2}} \ mathbf {x} ^ {2} \ infty}
Demostración
En primer lugar, tenemos:
F(X)=X=Xmi2=(X∧mi+X⋅mi)mi{\ Displaystyle F (\ mathbf {x}) = x = xE ^ {2} = (x \ wedge E + x \ cdot E) E}
De donde
X2=XX†=(X∧mi+X⋅mi)mimi(mi∧X+X⋅mi)=-(X∧mi+X⋅mi)(X∧mi-X⋅mi)=(X⋅mi)2-(X∧mi)2{\ Displaystyle x ^ {2} = xx ^ {\ dagger} = (x \ wedge E + x \ cdot E) EE (E \ wedge x + x \ cdot E) = - (x \ wedge E + x \ cdot E) (x \ cuña Ex \ cdot E) = (x \ cdot E) ^ {2} - (x \ cuña E) ^ {2}}
Como en otros lugares , viene:
X2=0{\ Displaystyle x ^ {2} = 0}
(X⋅mi)2=(X∧mi)2=X2{\ Displaystyle (x \ cdot E) ^ {2} = (x \ wedge E) ^ {2} = \ mathbf {x} ^ {2}}
Oro
(X⋅mi)2=(X⋅(∞∧o))2=(X⋅∞o-∞X⋅o)2=(o-∞X⋅o)2=-X⋅o(o∞+∞o)=-2X⋅o{\ Displaystyle (x \ cdot E) ^ {2} = (x \ cdot (\ infty \ wedge o)) ^ {2} = (x \ cdot \ infty \, o- \ infty \, x \ cdot o) ^ {2} = (o- \ infty \, x \ cdot o) ^ {2} = - x \ cdot o (o \ infty + \ infty o) = - 2x \ cdot o}
Entonces
X⋅o=-12X2{\ Displaystyle x \ cdot o = - {\ frac {1} {2}} \ mathbf {x} ^ {2}}
Y entonces
X⋅mi=o-∞X⋅o=o+12X2∞{\ Displaystyle x \ cdot E = o- \ infty \, x \ cdot o = o + {\ frac {1} {2}} \ mathbf {x} ^ {2} \ infty}
Que dan
Xmi=X∧mi+X⋅mi=X+12X2∞+o{\ Displaystyle xE = x \ wedge E + x \ cdot E = \ mathbf {x} + {\ frac {1} {2}} \ mathbf {x} ^ {2} \ infty + o}
y finalmente, multiplicando por E:
X=(X+12X2∞+o)mi{\ Displaystyle x = (\ mathbf {x} + {\ frac {1} {2}} \ mathbf {x} ^ {2} \ infty + o) E}
Producto nacional y norma euclidiana.
El cuadrado de la distancia euclidiana es el opuesto al doble del producto interior.
‖y-X‖2=-2F(X)⋅F(y){\ Displaystyle \ | \ mathbf {y} - \ mathbf {x} \ | ^ {2} = - 2F (\ mathbf {x}) \ cdot F (\ mathbf {y})}
Demostración
Para corte aditivo:
2F(X)⋅F(y)=(o+X-12X2∞)(o+y-12y2∞)+(o+y-12y2∞)(o+X-12X2∞)=-12y2-12X2+Xy-12X2-12y2+yX=-(X2-Xy-yX+y2)=-(X-y)2=-‖X-y‖2{\ Displaystyle {\ begin {alineado} 2F (\ mathbf {x}) \ cdot F (\ mathbf {y}) = & (o + \ mathbf {x} - {\ frac {1} {2}} \ mathbf {x} ^ {2} \ infty) (o + \ mathbf {y} - {\ frac {1} {2}} \ mathbf {y} ^ {2} \ infty) + (o + \ mathbf {y} - {\ frac {1} {2}} \ mathbf {y} ^ {2} \ infty) (o + \ mathbf {x} - {\ frac {1} {2}} \ mathbf {x} ^ {2 } \ infty) \\ = & - {\ frac {1} {2}} \ mathbf {y} ^ {2} - {\ frac {1} {2}} \ mathbf {x} ^ {2} + \ mathbf {xy} - {\ frac {1} {2}} \ mathbf {x} ^ {2} - {\ frac {1} {2}} \ mathbf {y} ^ {2} + \ mathbf {yx} \\ = & - (\ mathbf {x} ^ {2} - \ mathbf {xy} - \ mathbf {yx} + \ mathbf {y} ^ {2}) \\ = & - (\ mathbf {x} - \ mathbf {y}) ^ {2} \\ = & - \ | \ mathbf {x} - \ mathbf {y} \ | ^ {2} \ end {alineado}}}
Para corte multiplicativo:
Ver también
enlaces externos
Notas y referencias
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Se elige aquí para estipular el carácter inyectivo de la correspondencia para evitar incluir el caso trivial .F(X)=o{\ Displaystyle F (\ mathbf {x}) = o}
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Hay varias formas de definir el origen y el horizonte, así como diferentes notaciones. Algunos libros incluyen el uso de una convención diferente para el valor del producto escalar: . Estas diferentes convenciones no cambian fundamentalmente las propiedades algebraicas del álgebra geométrica conforme y pueden compararse con divergencias en la elección de unidades.o⋅∞=-1{\ Displaystyle o \ cdot \ infty = -1}
-
Aquí se ha elegido la palabra corte y sus sustantivos para traducir el término inglés split en la expresión de Hestenes conformal split
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Algunas fuentes usan la fórmula . La diferencia de signo parece estar relacionada con la diferente elección del signo del producto escalar entre el origen y el horizonte.F(X)=o+X+12X2∞{\ Displaystyle F (\ mathbf {x}) = o + \ mathbf {x} + {\ frac {1} {2}} \ mathbf {x} ^ {2} \ infty}
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">