Álgebra de Hopf cuasi triangular

En matemáticas , se dice que un álgebra de Hopf es cuasi-triangular si hay un elemento invertible que satisface: $H$ ${\ Displaystyle R \ en H \ otimes H}$

${\ Displaystyle \ forall x \ in H, \ \ Delta ^ {op} (x) = R \ Delta (x) R ^ {- 1}}$
${\ Displaystyle (1 \ otimes \ Delta) (R) = R_ {13} R_ {12}}$
${\ Displaystyle (\ Delta \ otimes 1) (R) = R_ {13} R_ {23}}$

o :

$\Delta$ es el coproducto de $H$
Si entonces ${\ Displaystyle \ Delta (x) = \ sum x_ {i} ^ {(1)} \ otimes x_ {i} ^ {(2)}}$ ${\ Displaystyle \ Delta ^ {op} (x) = \ sum x_ {i} ^ {(2)} \ otimes x_ {i} ^ {(1)}}$
Si entonces R=∑aI⊗BI{\ Displaystyle R = \ sum a_ {i} \ otimes b_ {i}} ${\ Displaystyle R = \ sum a_ {i} \ otimes b_ {i}}$
- ${\ Displaystyle R_ {12} = \ sum a_ {i} \ otimes b_ {i} \ otimes 1}$
- ${\ Displaystyle R_ {13} = \ sum a_ {i} \ otimes 1 \ otimes b_ {i}}$
- ${\ Displaystyle R_ {23} = \ sum 1 \ otimes a_ {i} \ otimes b_ {i}}$

Aplicaciones

Mecánica estadística

De las relaciones anteriores, probamos que proporciona una solución de la ecuación cuántica de Yang-Baxter (in) : $R$

{\ Displaystyle R_ {12} R_ {13} R_ {23} = R_ {23} R_ {13} R_ {12}}

Los datos de un álgebra de Hopf cuasi triangular permiten construir representaciones del grupo de trenzas . Más precisamente, la categoría de representaciones de un álgebra de Hopf cuasi triangular es una categoría monoidal trenzada .

Ver también

Referencias

(en) Christian Kassel , Quantum Groups , Springer , coll. " GTM " ( n o 155)1995