Definición : un álgebra de conjuntos es un conjunto de partes de un conjunto que satisface:
El concepto interviene en la exposición de las bases de la teoría de la medida , bajo nombres bastante variados en las fuentes francesas: además del álgebra de conjuntos , y su variante de campo de conjuntos , también encontramos álgebra booleana de partes , o más brevemente álgebra booleana , o incluso simplemente álgebra , y de nuevo anillo booleano unitario o clan unitario .
Esta definición evoca la de una tribu ; al reunirlos, vemos inmediatamente que un conjunto de partes de un conjunto es una tribu si y solo si es un álgebra de conjuntos estable por unión contable . En el espíritu de la teoría de la medición, un ejemplo significativo de álgebra de conjuntos es el álgebra compuesta de uniones finitas de intervalos de la línea real (todos los tipos de intervalos, acotados o no); no es una tribu.
En unas pocas manipulaciones, nos convencemos de que la definición dada arriba equivale a requerir las siguientes cinco propiedades:
En otras palabras, las álgebras de conjuntos son las subálgebras booleanas del álgebra booleana de todas las partes de un conjunto.
Si consideramos el álgebra booleana de todas las partes a través de la estructura de anillo booleana asociada con su estructura de álgebra booleana, notamos que las álgebras de conjuntos son exactamente los subanillos (entendiéndose que los anillos son unitarios: requerimos el subanillo contener , que es el neutro de la multiplicación del anillo, que es la intersección). Cuando esta condición se libera en el neutro multiplicativo, el objeto matemático similar se llama anillo de conjuntos . Es fácil encontrar ejemplos de anillos de conjuntos que no son álgebras de conjuntos ( es el más simple), de ahí el conjunto de uniones finitas de intervalos acotados de la línea real.