Afinidad (matemáticas)
En matemáticas , en geometría en particular, una afinidad es un mapa afín o lineal igual a la identidad en una dirección y a una homotecia en otra.
Afinidad vectorial
Las afinidades de vector son endomorfismos que son la suma directa de identidad y una homotecia. Mas presisamente :
Sea un espacio vectorial y dos subespacios adicionales y ( );
mi{\ Displaystyle E \,}
F{\ Displaystyle F \,}
GRAMO{\ Displaystyle G \,}
mi=F⊕GRAMO{\ Displaystyle E = F \ oplus G}![E = F \ oplus G](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b660e79a3c951f04a40b2f6d95e808fe679b794d)
la afinidad de base (o sobre ), de dirección y de relación es el único endomorfismo al que se restringe en identidad, y en homotetía de relación :
F{\ Displaystyle F \,}
F{\ Displaystyle F \,}
GRAMO{\ Displaystyle G \,}
λ{\ Displaystyle \ lambda \,}
F{\ Displaystyle f \,}
F{\ Displaystyle F \,}
GRAMO{\ Displaystyle G \,}
λ{\ Displaystyle \ lambda \,}![\ lambda \,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/988b7b8a22b11081bc97378c30391f573535c21c)
Si es así .
X=XF+XGRAMO{\ Displaystyle x = x_ {F} + x_ {G} \,}
F(X)=XF+λXGRAMO{\ Displaystyle f (x) = x_ {F} + \ lambda x_ {G} \,}![f (x) = x_ {F} + \ lambda x_ {G} \,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9dcf4e6d6fa6cba267c0b4886bcee3f325ec12ac)
Caracterización de dimensión finita: endomorfismo diagonalizable que tiene dos valores propios como máximo, uno de los cuales es la unidad.
Las afinidades cubren:
- identidad ( )λ=1{\ Displaystyle \ lambda = 1 \,}
![\ lambda = 1 \,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fcff99418fb3d2bbd39a97df8cfd02adb83d1d7)
- proyecciones, o proyectores ( )λ=0{\ Displaystyle \ lambda = 0 \,}
![\ lambda = 0 \,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0c32a9045621d08c4704ffab9f69a86587276c1)
- la simetría , o involución lineal ( ) (reduciendo a la identidad si la característica del cuerpo es 2)λ=-1{\ Displaystyle \ lambda = -1 \,}
![\ lambda = -1 \,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bc108d6b7e5fb6dcaf55f7e0c4d4698c4425e23)
- las dilataciones ( )GRAMO=mi{\ Displaystyle G = E \,}
![G = E \,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2483db06f334a3ab03e6a6d60f9e1694049365c)
- la expansión , afinidad o hiperplano ( ).solGRAMO=1{\ Displaystyle \ dim G = 1 \,}
![\ dim G = 1 \,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9b27402a1b8fd571abc14cb00faa0bf63b9959c)
Afinidad de puntos
Dado que un subespacio afín de un espacio afín asociado y una dirección adicional , la afinidad de la base (o sobre ) de la gestión y la presentación de informes es la aplicación definida por la construcción:
F{\ Displaystyle F \,}
mi{\ Displaystyle E \,}
mi→{\ displaystyle {\ overrightarrow {E}}}
GRAMO→{\ displaystyle {\ overrightarrow {G}}}
F{\ Displaystyle F \,}
F{\ Displaystyle F \,}
GRAMO→{\ displaystyle {\ overrightarrow {G}} \,}
λ{\ Displaystyle \ lambda}![\ lambda](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b43d0ea3c9c025af1be9128e62a18fa74bedda2a)
- para cualquier punto en que dibujar el subespacio única que pasa a través y la dirección ;METRO{\ Displaystyle M \,}
mi{\ Displaystyle E \,}
GRAMOMETRO{\ Displaystyle G_ {M} \,}
METRO{\ Displaystyle M \,}
GRAMO→{\ displaystyle {\ overrightarrow {G}}}![\ overrightarrow G](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dff2b6df12feffee91516c7ea98b4c61683b978a)
-
GRAMOMETRO{\ Displaystyle G_ {M} \,}
corte de un solo punto ;F{\ Displaystyle F \,}
H{\ Displaystyle H \,}![H \,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33810a0db43048d22f06d52f257b8e49e4e977a2)
- la imagen de par es entonces el punto tal que .METRO{\ Displaystyle M \,}
F{\ Displaystyle f \,}
METRO′{\ Displaystyle M '\,}
HMETRO′→=λHMETRO→{\ displaystyle {\ overrightarrow {HM '}} = \ lambda {\ overrightarrow {HM}}}![\ overrightarrow {HM '} = \ lambda \ overrightarrow {HM}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e463ef05ff1b9ed73d35a91658bf9abba3cb44d6)
La afinidad del vector de la porción lineal afín son afinidades puntuales siempre que tengan al menos un punto fijo. En el caso general, se obtienen afinidades deslizadas , compuestas por una afinidad puntual y una traducción de vector paralela a la base de la afinidad puntual.
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">