142.857 (número)

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El número 142,857 tiene muchas propiedades matemáticas notables en base diez . La mayoría de estos resultan del hecho de que 142,857 es el período de la expansión decimal de la fracción 1/7.

Propiedades
142 856 - 142 857 - 142 858
Cardenal	142,857
Factores primos	3 3 × 11 × 13 × 37
Divisores	1,3,9,11,13,27,33,37,39,99,111,117,143,297, 333,351,407,429,481,999,1221,1287,1443, 3663,3861,4329,529,10989,12987,15873, 47619,142857
Otros recuentos
Números romanos	inexistente
Sistema binario	100010111000001001
Sistema octal	427011
Sistema duodecimal	6A809
Sistema hexadecimal	22E09

Número cíclico

142 857 es un número cíclico también llamado "número fénix":

Los múltiplos sucesivos de 142,857 forman las permutaciones circulares :

1 × 142.857 = 1 42.857. 2 × 142857 = 285 7 1 4. 3 × 142.857 = 428 57 1. 4 × 57 = 142 857 1 428 5 × 142 857 = 7 1 4 285 6 × 142857 = 857 1 42.

Expansión decimal cíclica de séptimos

Multiplicar 142,857 por 7 obviamente da 999,999 (ya que 142,857 es la expansión periódica de la parte decimal de la división 1/7):

1/7 = 0, 142857142857142857 ...

Luego denotaremos la primera aproximación de pi por un racional cuyo período de expansión decimal incluye más de un dígito:

7/22 = 3, 142 857 ... (aproximación muy aproximada porque solo dos primeros lugares decimales son idénticos).

Multiplicaciones del 8 al 14

Vimos anteriormente que las multiplicaciones de 142,857 por los números del 1 al 6 produjeron permutaciones circulares de este último. Las multiplicaciones de 142857 por 8 a 13 también revelan las permutaciones circulares precedentes con la particularidad de que el último dígito n se transforma en ( n - 1), la unidad "que pasa al frente" (la unidad corresponde al millón):

8 × 142 857 = 1 142 85 6 (el 7, el último dígito de la multiplicación por 1, se convierte en 1 + 6)
9 × 142 857 = 1 285 71 3 (la 4, el último dígito de la multiplicación por 2, se convierte en 1 + 3)
10 × 142 857 = 1 428 57 0 (el 1, el último dígito de la multiplicación por 3, se convierte en 1 + 0)
11 × 142 857 = 1 571 42 7 (el 8, el último dígito de la multiplicación por 4, se convierte en 1 + 7)
12 × 142 857 = 1 714 28 4 (el 5, el último dígito de la multiplicación por 5, se convierte en 1 + 4)
13 × 142 857 = 1 857 14 1 (el 2, el último dígito de la multiplicación por 6, se convierte en 1 + 1)
14 × 142 857 = 1 999 99 8 (el 9, el último dígito de la multiplicación por 7, se convierte en 1 + 8) Observamos que la multiplicación por 14 también verifica la particularidad de la descomposición del último dígito n en ( n - 1), la unidad "que pasa al frente".

Multiplicaciones del 15 al 21

Las multiplicaciones de 142,857 por 15 a 21 también revelan las permutaciones circulares precedentes con la particularidad esta vez de que el último dígito n se transforma en ( n - 2), el 2 "pasando al frente" (2 corresponde a 2 millones):

15 × 142 857 = 2 142 85 5 (el 7, el último dígito de la multiplicación por 1, se convierte en 2 + 5)
16 × 142 857 = 2 285 71 2 (la 4, el último dígito de la multiplicación por 2, se convierte en 2 + 2)
17 × 142 857 = 2 428 56 9 (el 1, el último dígito de la multiplicación por 3, se convierte en 2 + (-1)) La multiplicación por 17 revela una dificultad; la regla se aplica pero no se aplica. De hecho, el problema de la descomposición del dígito 1 en 2 + (–1) "obliga" a retirar una unidad del dígito de las decenas y poner 9 al nivel de las unidades. La permutación de 142,857 es menos visible.
18 × 142 857 = 2 571 42 6 (el 8, el último dígito de la multiplicación por 4, se convierte en 2 + 6)
19 × 142 857 = 2 714 28 3 (el 5, el último dígito de la multiplicación por 5, se convierte en 2 + 3)
20 × 142 857 = 2 857 14 0 (el 2, el último dígito de la multiplicación por 6, se convierte en 2 + 0)
21 × 142 857 = 2 999 99 7 (el 9, el último dígito de la multiplicación por 7, se convierte en 2 + 7) La multiplicación por 21 también verifica la particularidad de la descomposición del último dígito n en ( n - 2), el 2 "pasando al frente".

Multiplicaciones posteriores

Para las multiplicaciones del 22 al 28, el último dígito n se convierte en ( n - 3) y el 3 pasa al frente.
Para las multiplicaciones del 29 al 35, el último dígito n se convierte en ( n - 4) y el 4 pasa al frente.
Y así enseguida.

La explicación es bastante sencilla. Cualquier número entero n se pueden escribir en una forma única (7 × un + b ), un es un número entero y b un número entero entre 0 y 6 (por simple división euclidiana por 7).

La multiplicación por n se convierte en:

n × 142.857 = (7 × a + b ) × 142.857 = a × (7 × 142,857) + b × 142,857 = a × (999,999) + b × 142,857 = ( a × 1.000.000 - a ) + b × 142.857

El número b está entre 0 y 6, el producto b × 142,857 muestra la permutación.

El término ( a × 1 000 000 - a ) explica la descomposición del último dígito n de la permutación en ( n - a ) y un "paso al frente" ( a millones)

Como vimos anteriormente para la multiplicación por 17, las descomposiciones que muestran un número negativo serán cada vez más frecuentes a medida que aumente el multiplicador y la permutación será cada vez menos visible.

Enlace con 9, 99, 999 y 999999

Muchas identidades notables vinculan 142,857 con números de la forma 10 n - 1:

1 + 4 + 2 + 8 + 5 + 7 = 27 donde 2 + 7 = 9 14 + 28 + 57 = 99 142 + 857 = 999 142.857 × 7 = 999.999.

Están vinculados al hecho de que 142 857 es el período de la expansión decimal de la fracción 1/7 y se generalizan a otros períodos de fracciones del tipo 1 / n , por ejemplo:

333 (desde 1/3)
09 (desde 1/11)
076 923 (desde 1/13)

También podemos notar que 2 es un elemento de orden 6 módulo 9:

{\ Displaystyle 2 ^ {1} \ mod 9 \ equiv 2}

{\ Displaystyle 2 ^ {2} \ mod 9 \ equiv 4}

{\ Displaystyle 2 ^ {3} \ mod 9 \ equiv 8}

{\ Displaystyle 2 ^ {4} \ mod 9 \ equiv 7}

{\ Displaystyle 2 ^ {5} \ mod 9 \ equiv 5}

{\ Displaystyle 2 ^ {6} \ mod 9 \ equiv 1}

y vemos reaparecer los números 1, 4, 2, 8, 5 y 7.

De 7 × 142857 = 999999, podemos deducir

142.857 × 7 × n = n × 1.000.000 - n ,

lo que hace posible calcular mentalmente rápidamente cualquier múltiplo de 142,857.

Número de Kaprekar

142,857 es un número Kaprekar (base diez):

142857 2 = 20 408 122 449 142.857 = 20.408 + 122.449

Asimismo, multiplicándolo por cualquier número, sumando las piezas del resultado en grupos de 6 empezando por el final y así sucesivamente con el nuevo resultado obtenemos el número 142857 con un posible desplazamiento (por lo tanto 142857 × 1, 2,… o 6) o 999,999 (= 142,857 × 7). Por ejemplo :

142.857 × 56 = 7.999.992. ⇒ 7 + 999992 = 999999 = 142857 × 7 142857 × 125 = 17857125. ⇒ 17 + 857125 = 857142 = 142857 × 6 142857 × 7841131285974854689745213 = 1120160492120509816412931893541 ⇒ 1 + 120160 + 492120 + 509816 + 412931 + 893541 = 2428569 ⇒ 2 + 428,569 = 428,571 = 142,857 × 3

También notaremos

142857 4 = 416491461893377757601 142857 × 15 = 416 + 491 461 + 893 377 + 757601

142857 8 = 1734651378308293677412507898191113275201 142857 × 15 = 173465 + 137830 + 082936 + 77 4412 + 507 898 + 191113 + 275201

Esta descomposición de un múltiplo como la suma de subnúmeros de una potencia es compartida por los períodos de una expansión de fracción decimal, por ejemplo:

333 (desde 1/3)
09 (desde 1/11)
0588235294117647 (desde 1/17)

Número de Harshad

142,857 es un número de Harshad : 142,857 = 5291 × (1 + 4 + 2 + 8 + 5 + 7).

Número gemelo y la rueda de seis

326,451 puede considerarse el gemelo de 142,857:

Por una parte : 142.857 × 3 = 428 57 1. 142857 × 2 = 285 71 4. 142857 × 6 = 857 14 2. 142857 × 4 = 571 42 8. 142.857 × 5 = 714 28 5. 142857 × 1 = 142 85 7.
De otra parte : 10 = 3 + (7 × 1 ) 100 = 2 + (7 × 14 ) 1000 = 6 + (7 × 142 ) 10,000 = 4 + (7 × 1,428 ) 100.000 = 5 + (7 × 14.285 ) 1.000.000 = 1 + (7 × 142.857 )

Podemos visualizar ciertas propiedades de 142 857 con la seis rueda mencionada por Dom Néroman en su libro La leçon de Plato .

Observamos que la suma de los números opuestos es igual a 9 en la rueda exterior y 7 en el interior.

Otras propiedades

Su descomposición en producto de factores primos es:

142.857 = 3 3 × 11 × 13 × 37

Tiene un total de 32 divisores, los cuales son: 1,3,9,11,13,27,33,37,39,99,111,117,143,297,333,351,407,429,481,999,1221,1287,1443,3663,3861,4329,5291,10989,12987,15873 , 47619,142857.

En literatura

El número 142857 aparece en el ciclo de dioses de la trilogía de Bernard Werber como el número de habitación Michael Pinson y aleccionado por todas sus características.

Enlace con números divisibles por 7

Entre 1-10, hay 1 número divisible por 7
Entre 1-100, hay 14 números divisibles por 7
Entre 1-1000, hay 142 números divisibles por 7
Entre 1-10000, hay 1428 números divisibles por 7
Entre 1-100000, hay 14285 números divisibles por 7
Entre 1-1000000, hay 142857 números divisibles por 7
Entre 1-10000000, hay 1428571 números divisibles por 7

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Notas y referencias

" Número 142857 " , en villemin.gerard.free.fr (consultado el 7 de octubre de 2019 )