Ecuaciones de Barré de Saint-Venant

Los flujos cuasi unidimensionales, por ejemplo los de los cursos de agua, se describen mediante las ecuaciones de Barré de Saint-Venant obtenidas por Adhémar Barré de Saint-Venant en 1871 y aclaradas en 1888.

Por extensión, este nombre se ha extendido a los flujos en aguas poco profundas (en inglés shallow water ) que corresponden a problemas cuasi-bidimensionales. Se encuentran en geofísica, por ejemplo, para describir las corrientes de marea . A estos fenómenos se asocian ondas ( onda de Rossby , onda de Kelvin , onda de Poincaré, marea , tsunami ), el estudio de algunos de ellos es anterior a 1850.

Estos flujos son representativos de medios no dispersivos. De lo contrario, el medio se describe mediante las ecuaciones de Boussinesq .

Flujos de aguas poco profundas

Denotamos por s ( x , y ) la altitud de la superficie con respecto al geoide , por b ( x , y ) la superficie sólida, por H = s - b la altura del fluido yg la gravedad contada negativamente.

Las ecuaciones de flujo de aguas poco profundas donde asumimos la componente vertical w de la velocidad pequeña frente a las componentes horizontales y estas independientes de z se escriben

∂s∂t+∂∂X(Htu)+∂∂y(Hv)=0,H=s-B{\ estilo de visualización {\ frac {\ parcial s} {\ parcial t}} + {\ frac {\ parcial} {\ parcial x}} (Hu) + {\ frac {\ parcial} {\ parcial y}} (Hv ) = 0 \ ,, \; \; \; \; \; H = sb} ∂tu∂t+tu∂tu∂X+v∂tu∂y+gramo∂s∂X=0{\ Displaystyle {\ frac {\ parcial u} {\ parcial t}} + u {\ frac {\ parcial u} {\ parcial x}} + v {\ frac {\ parcial u} {\ parcial y}} + g {\ frac {\ parcial s} {\ parcial x}} = 0} ∂v∂t+tu∂v∂X+v∂v∂y+gramo∂s∂y=0{\ Displaystyle {\ frac {\ parcial v} {\ parcial t}} + u {\ frac {\ parcial v} {\ parcial x}} + v {\ frac {\ parcial v} {\ parcial y}} + g {\ frac {\ parciales} {\ parciales y}} = 0}

La presión se deduce del equilibrio hidrostático en cada eje vertical.

Se generalizan fácilmente en el caso en que se desee tener en cuenta la fuerza de Coriolis y más difíciles si se desean tener en cuenta los efectos viscosos.

Demostración

Ecuaciones basicas

Las ecuaciones de Euler están escritas

• Ecuación de incompatibilidad para el vector velocidad V = ( u , v , w )

∇⋅V=0{\ Displaystyle \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {V} = 0}

• Ecuación de equilibrio de momento

DVDt=∂V∂t+∇⋅(VV)=-1ρ∇pag+gramo{\ Displaystyle {\ frac {D \ mathbf {V}} {Dt}} = {\ frac {\ parcial \ mathbf {V}} {\ parcial t}} + \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ left (\ mathbf {V} \ mathbf {V} \ right) = - {\ frac {1} {\ rho}} \ mathbf {\ nabla} p + \ mathbf {g}}

donde ρ es densidad constante, p es presión y g es gravedad.

Condiciones al límite

Las elevaciones se cuentan en relación con el geoide .

Las condiciones de contorno son

• en el piso z = -b ( x , y ) la velocidad es cero

V⋅∇(z+B)=0=w+V⋅∇B{\ Displaystyle \ mathbf {V} \ cdot \ nabla (z + b) = 0 = w + \ mathbf {V} \ cdot \ nabla b}

• en la superficie z = s ( x , y ) la presión es la presión externa p 0 y la velocidad normal w está relacionada con s por

DsDt=∂s∂t+V⋅∇s=w{\ Displaystyle {\ frac {Ds} {Dt}} = {\ frac {\ parcial s} {\ parcial t}} + \ mathbf {V} \ cdot \ nabla s = w}

Conservación masiva

Introducimos la altura del agua H = s - by las velocidades medias

tu¯=1H∫-BstuDz,v¯=1H∫-BsvDz{\ Displaystyle {\ overline {u}} = {\ frac {1} {H}} \ int _ {- b} ^ {s} u \ mathrm {d} z \ ,, \; \; \; {\ overline {v}} = {\ frac {1} {H}} \ int _ {- b} ^ {s} v \ mathrm {d} z}

Integrando la ecuación de continuidad en zy usando la regla de Leibniz tenemos

0=∫-Bs∇⋅VDz=∫-Bs(∂tu∂X+∂v∂y+∂w∂z)Dz=∂∂X∫-BstuDz⏟Htu¯+∂∂y∫-BsvDz⏟Hv¯-tu|z=s∂z∂X-v|z=s∂z∂y+w|z=s⏟w-V⋅∇s=∂s∂t=∂H∂t-(tu|z=-B∂B∂X+v|z=-B∂B∂y+w|z=-B)⏟w+V⋅∇B=0{\ displaystyle {\ begin {array} {lcl} 0 & = & \ int _ {- b} ^ {s} \ nabla \ cdot \ mathbf {V} \ mathrm {d} z \\ [0.6em] & = & \ int _ {- b} ^ {s} \ left ({\ frac {\ parcial u} {\ parcial x}} + {\ frac {\ parcial v} {\ parcial y}} + {\ frac {\ parcial w} {\ parcial z}} \ derecha) \ mathrm {d} z \\ [0.6em] & = & {\ frac {\ parcial} {\ parcial x}} \ underbrace {\ int _ {- b} ^ {s} u \ mathrm {d} z} _ {H {\ overline {u}}} + {\ frac {\ parcial} {\ y parcial}} \ underbrace {\ int _ {- b} ^ {s } v \ mathrm {d} z} _ {H {\ overline {v}}} \ underbrace {- \ left.u \ right | _ {z = s} {\ frac {\ parcial z} {\ parcial x} } - \ izquierda.v \ derecha | _ {z = s} {\ frac {\ parcial z} {\ parcial y}} + \ izquierda.w \ derecha | _ {z = s}} _ {w- \ mathbf {V} \ cdot \ nabla s = {\ frac {\ parcial s} {\ parcial t}} = {\ frac {\ parcial H} {\ parcial t}}} - \ underbrace {\ left (\ left.u \ derecha | _ {z = -b} {\ frac {\ b parcial} {\ parcial x}} + \ izquierda.v \ derecha | _ {z = -b} {\ frac {\ parcial b} {\ parcial y}} + \ left.w \ right | _ {z = -b} \ right)} _ {w + \ mathbf {V} \ cdot \ nabla b = 0} \ end {array}}}

Obtenemos así una nueva ecuación de conservación de masa

∂H∂t+∂∂X(Htu¯)+∂∂y(Hv¯)=0{\ Displaystyle {\ frac {\ parcial H} {\ parcial t}} + {\ frac {\ parcial} {\ parcial x}} (H {\ overline {u}}) + {\ frac {\ parcial} { \ y parcial}} (H {\ overline {v}}) = 0}

Si además suponemos u y v independiente de z esta ecuación se convierte

∂H∂t+∂∂X(Htu)+∂∂y(Hv)=0{\ Displaystyle {\ frac {\ parcial H} {\ parcial t}} + {\ frac {\ parcial} {\ parcial x}} (Hu) + {\ frac {\ parcial} {\ parcial y}} (Hv ) = 0}

Conservación de momento

A lo largo de la vertical

Por hipótesis, w es muy pequeño en comparación con u y v . La componente vertical de la ecuación de la cantidad de movimiento se escribe, despreciando las derivadas de u en x y de v en y

DwDt=-1ρ∂pag∂z+gramo,gramo<0{\ Displaystyle {\ frac {Dw} {Dt}} = - {\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {\ parciales p} {\ parciales z}} + g \ ,, \; \; \ ; \; \; g <0}

Al descuidar la derivada lagrangiana de w, la ecuación de la cantidad de movimiento en z se reduce al equilibrio hidrostático

∂pag∂z=ρgramo{\ Displaystyle {\ frac {\ parcial p} {\ parcial z}} = \ rho g}

cuya solución es inmediata ( se supone que g es constante en la altura considerada)

pag=ρgramo(z-s)+pag0{\ Displaystyle p = \ rho g (zs) + p_ {0}}

de donde

∂pag∂X=-ρgramo∂s∂X,∂pag∂y=-ρgramo∂s∂y{\ estilo de visualización {\ frac {\ p parcial} {\ x parcial}} = - \ rho g {\ frac {\ parcial s} {\ parcial x}} \ ,, \; \; \; \; \; { \ frac {\ parciales p} {\ parciales y}} = - \ rho g {\ frac {\ parciales s} {\ parciales y}}}A lo largo de la horizontal

Al descuidar las derivadas en z de u y v y tener en cuenta las ecuaciones anteriores, se escriben los componentes de la ecuación de la cantidad de movimiento

∂tu∂t+tu∂tu∂X+v∂tu∂y+gramo∂s∂X=0{\ Displaystyle {\ frac {\ parcial u} {\ parcial t}} + u {\ frac {\ parcial u} {\ parcial x}} + v {\ frac {\ parcial u} {\ parcial y}} + g {\ frac {\ parcial s} {\ parcial x}} = 0} ∂v∂t+tu∂v∂X+v∂v∂y+gramo∂s∂y=0{\ Displaystyle {\ frac {\ parcial v} {\ parcial t}} + u {\ frac {\ parcial v} {\ parcial x}} + v {\ frac {\ parcial v} {\ parcial y}} + g {\ frac {\ parciales} {\ parciales y}} = 0}

Este sistema es hiperbólico y, como tal, admite ondas características llamadas ondas de gravedad. Estos tienen una velocidad que se deduce de los valores propios.

vs=gramoH{\ Displaystyle c = {\ sqrt {gH}}}

Un simple análisis dimensional es suficiente para confirmar este valor.

Se puede obtener una descripción de estas ondas escribiendo la ecuación de conservación de masa multiplicada por g ½ y las ecuaciones de conservación linealizadas y multiplicadas por H ½ . Suponemos que la dirección de propagación es x

∂∂t(sgramo)+∂∂X(Htuvs)=0{\ estilo de visualización {\ frac {\ parcial} {\ parcial t}} (s {\ sqrt {g}}) + {\ frac {\ parcial} {\ parcial x}} ({\ sqrt {H}} uc) = 0} ∂∂t(tuH)+vs∂∂X(sH)=0{\ estilo de visualización {\ frac {\ parcial} {\ parcial t}} (u {\ sqrt {H}}) + c \, {\ frac {\ parcial} {\ parcial x}} (s {\ sqrt {H }}) = 0}

Por sustitución obtenemos una ecuación de onda

∂2∂t2(sgramo)=∂∂X(vs2∂∂X(sgramo)){\ estilo de visualización {\ frac {\ parcial ^ {2}} {\ parcial t ^ {2}}} (s {\ sqrt {g}}) = {\ frac {\ parcial} {\ parcial x}} \ izquierda (c ^ {2} \, {\ frac {\ parcial} {\ parcial x}} \ izquierda (s {\ sqrt {g}} \ derecha) \ derecha)}

Esta ecuación describe un maremoto ( maremoto inglés ).

Ecuaciones de Saint-Venant

Estas ecuaciones fueron descritas heurísticamente y publicadas por Saint-Venant en 1871. Describen el flujo cuasi unidimensional en un canal o curso de agua de ancho l ( x ). El área de la sección transversal del flujo es A ( x , t ) y la velocidad promedio del flujo es U ( x , t ). La altura del agua es h ( y , t ), contada desde el fondo z = 0. La ecuación de conservación de masa se escribe

∂A∂t+∂∂X(AU)=0{\ estilo de visualización {\ frac {\ AU parcial} {\ t parcial}} + {\ frac {\ parcial} {\ parcial x}} (AU) = 0}

La ecuación de la cantidad de movimiento longitudinal se escribe

∂∂t(hU)+∂∂X(hU2)+gramoh∂h∂X=τXρ{\ Displaystyle {\ frac {\ Partical} {\ Partical T}} (hU) + {\ frac {\ Partical} {\ Partical X}} (HU ^ {2}) + Gh {\ Frac {\ Partical H} {\ parcial x}} = {\ frac {\ tau _ {x}} {\ rho}}}

τ x ( x , t ) es el corte aplicado al perímetro húmedo P ( x , t ).

La ecuación en z viene dada por el equilibrio hidrostático

∂pag∂z=ρgramo{\ Displaystyle {\ frac {\ parcial p} {\ parcial z}} = \ rho g}

Estas ecuaciones se pueden obtener de las ecuaciones de Navier-Stokes .

Demostración Conservación masiva

Como se muestra en el recuadro anterior, la conservación en un punto del canal viene dada por

∂h(y)∂t+∂∂X∫0h(y)tu(y,z)Dz=0{\ Displaystyle {\ frac {\ h (y) parcial} {\ t parcial}} + {\ frac {\ parcial} {\ parcial x}} \ int _ {0} ^ {h (y)} u (y , z) \ mathrm {d} z = 0}

Al integrar en y obtenemos la relación deseada observando que

A=∫0lh(y)Dy{\ Displaystyle A = \ int _ {0} ^ {l} h (y) \ mathrm {d} y}

y estableciendo la velocidad media

U=1A∫0l∫0htu(y,z)DzDy{\ Displaystyle U = {\ frac {1} {A}} \ int _ {0} ^ {l} \ int _ {0} ^ {h} u (y, z) \ mathrm {d} z \ mathrm { d} y}Conservación de momento

Partimos de la ecuación de aguas poco profundas con viscosidad en la que la velocidad transversal media es cero

∂∂t(hU)+∂∂X(hU2)+gramoh∂h∂X=τXρ{\ Displaystyle {\ frac {\ Partical} {\ Partical T}} (hU) + {\ frac {\ Partical} {\ Partical X}} (HU ^ {2}) + Gh {\ Frac {\ Partical H} {\ parcial x}} = {\ frac {\ tau _ {x}} {\ rho}}}

donde τ x es el corte en la pared.

Pensamos eso

• ∂h∂X{\ Displaystyle \ scriptstyle {\ frac {\ parcial h} {\ parcial x}}}es independiente de y (la pendiente en x es la misma para todos los puntos de la sección recta)
• τ x también es independiente de y

Al integrarse en y , llega

∂∂t(AU)+∂∂X(AU2)+gramoA∂h∂X=PAGτXρ{\ Displaystyle {\ frac {\ Partical} {\ Partical t}} (AU) + {\ frac {\ Particular} {\ Partical X}} (AU ^ {2}) + gA {\ frac {\ Partical h} {\ parcial x}} = {\ frac {P \ tau _ {x}} {\ rho}}}

Podemos tener en cuenta la pendiente α del suelo reemplazando la gravedad por su componente en z e introduciendo la componente del peso en x

∂∂t(hU)+∂∂X(hU2)+gramohporque⁡α∂h∂X=gramohpecado⁡α-τXρ{\ Displaystyle {\ frac {\ parcial} {\ parcial t}} (hU) + {\ frac {\ parcial} {\ parcial x}} (hU ^ {2}) + gh \ cos \ alpha {\ frac { \ parcial h} {\ parcial x}} = gh \ sin \ alpha - {\ frac {\ tau _ {x}} {\ rho}}}

Evaluación de cizallamiento

Esta evaluación se realiza generalmente mediante la introducción de un coeficiente de fricción C f para la capa límite en el perímetro húmedo.

τX=12VSF(h,U)ρU2{\ Displaystyle \ tau _ {x} = {\ frac {1} {2}} C_ {f} (h, U) \ rho U ^ {2}}

Este coeficiente representa la parte del flujo de impulso transferido a la pared. Su forma resulta de las leyes de la similitud  : leyes de Chézy o Manning-Strickler

VSF(h)=2gramoKs2h13{\ Displaystyle C_ {f} (h) = {\ frac {2g} {K_ {s} ^ {2} \, h ^ {\ frac {1} {3}}}}}

El coeficiente K resulta de la experiencia.

Referencias

1. Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant, "  Teoría del movimiento no permanente del agua, con aplicación a las crecidas de los ríos y la introducción de las mareas en sus cauces  ", Informes semanales de las sesiones de la Academia de Ciencias , vol. .  73,1871, p.  147–154 y 237–240
2. M. de Saint-Venant, "  Memoria sobre la consideración de la fuerza centrífuga en el cálculo del movimiento del agua corriente y sobre la distinción entre torrentes y ríos  ", Memorias de la Academia de Ciencias del Instituto de Francia , vol.  44,1888, p.  245-273 ( leer en línea )
3. M. de Saint-Venant, “  Memoria sobre la pérdida de fuerza viva de un fluido en lugares donde su sección de flujo aumenta abrupta o rápidamente  ”, Memorias de la Academia de Ciencias del Institut de France , vol.  44,1888, p.  193-243 ( leer en línea )
4. (en) Alex DD Craik, "  Los orígenes de la teoría de las ondas de agua  " , Revisión anual de la mecánica de fluidos , vol.  36,2004, p.  1-28 ( leer en línea )
5. (en) David A. Randall, "  Las ecuaciones de aguas poco profundas  "

Obras

• (en) Hendrik C. Kuhlmann y Hans-Josef Rath (Eds.), Free Surface Flows , Springer-Verlag ,1998, 331  p. ( ISBN  978-3-7091-2598-4 , leer en línea )
• Olivier Thual, Ondas y fluidos: artículos educativos multimedia , Toulouse, Cépaduès ,2005, 197  p. ( ISBN  2-85428-655-3 )
• Olivier Thual, Hidrodinámica del medio ambiente , Les éditions de l'École Polytechnique,2010( leer en línea )
• (en) Geoffrey K. Vallis, Dinámica de fluidos atmosféricos y oceánicos , Cambridge University Press ,2017( ISBN  978-1-107-58841-7 )

Ver también

• Onda
• Sepia (hidrodinámica)

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