Energía potencial electrostática
La energía electrostática potencial (o simplemente la energía electrostática ) de una carga eléctrica q colocada en un punto P acostado en un potencial eléctrico se define como el trabajo necesario para llevar esta carga desde el infinito a la posición P . Por tanto, vale la pena:
V(PAG){\ Displaystyle V (\ mathrm {P})}
mipagmi=qV(PAG){\ Displaystyle E _ {\ mathrm {pe}} = q \, V (\ mathrm {P})}si consideramos el caso donde las fuentes que generan el potencial eléctrico V se distribuyen en una región acotada del espacio, lo que permite atribuir un valor cero del potencial al infinito.
Caso de una distribución
La energía potencial eléctrica de una distribución de cargas eléctricas se define entonces como el trabajo necesario para transportar todas las cargas que la componen desde el infinito hasta su posición final. Resumiendo todas las contribuciones, encontramos:
ρ(PAG){\ Displaystyle \ rho (\ mathrm {P})}
mipagmi=12∭ρ(X1)ρ(X2)4πϵ0‖X2-X1‖D3X1D3X2{\ Displaystyle E _ {\ mathrm {pe}} = {\ frac {1} {2}} \ iiint {\ frac {\ rho (x_ {1}) \ rho (x_ {2})} {4 \ pi \ epsilon _ {0} \ | x_ {2} -x_ {1} \ |}} \, \ mathrm {d} ^ {3} \! x_ {1} \, \ mathrm {d} ^ {3} \ ! x_ {2}}donde es la constante dieléctrica del vacío y las sumas se realizan sobre la extensión de la distribución de carga.
ϵ0{\ Displaystyle \ epsilon _ {0} \,}D{\ Displaystyle {\ mathcal {D}} \,}
Podemos demostrar que también podemos obtener este último considerando el campo eléctrico creado por todas estas cargas:
mi→{\ Displaystyle {\ vec {E}}}
mipagmi=ϵ02∭mi2D3X{\ displaystyle E _ {\ mathrm {pe}} = {\ frac {\ epsilon _ {0}} {2}} \ iiint E ^ {2} \, {\ mathrm {d}} ^ {3} \! x},
la integración se está haciendo esta vez en todo el espacio.
Varias distribuciones, energía de interacción
En el caso de dos distribuciones de extensión limitada y caracterizadas por distribuciones de carga y , podemos distinguir tres contribuciones en la energía eléctrica total:
D1{\ Displaystyle {\ mathcal {D}} _ {1} \,}D2{\ Displaystyle {\ mathcal {D}} _ {2} \,}ρ1{\ Displaystyle \ rho _ {1} \,}ρ2{\ Displaystyle \ rho _ {2} \,}
mitotalmi=mipag1+mipag2+miInot{\ Displaystyle E _ {\ mathrm {total}} = E_ {p1} + E_ {p2} + E _ {\ mathrm {int}}}donde las obtenidas por la misma fórmula escrita anteriormente son energías renombradas de auto-interacción y , llamada energía potencial de interacción , viene dada por:
mipagI{\ Displaystyle E _ {\ mathrm {pi}} \,}miInot{\ Displaystyle E _ {\ mathrm {int}} \,}
miInot=14πϵ0∭X1∈D1;X2∈D2ρ1(X1)ρ2(X2)‖X2-X1‖D3X1D3X2=ϵ0∭mi→1⋅mi→2D3X{\ displaystyle E _ {\ mathrm {int}} = {\ frac {1} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} \ iiint _ {x_ {1} \ in {\ mathcal {D}} _ { 1}; x_ {2} \ in {\ mathcal {D}} _ {2}} {\ frac {\ rho _ {1} \! (X_ {1}) \, \ rho _ {2} \! ( x_ {2})} {\ | x_ {2} -x_ {1} \ |}} \, \ mathrm {d} ^ {3} \! X_ {1} \, \ mathrm {d} ^ {3} \! x_ {2} = \ epsilon _ {0} \ iiint {\ vec {E}} _ {1} \ cdot {\ vec {E}} _ {2} \; \ mathrm {d} ^ {3} \! x}donde y son los campos eléctricos individuales creados por cada distribución.
mi→1{\ Displaystyle {\ vec {E}} _ {1}}mi→2{\ Displaystyle {\ vec {E}} _ {2}}
Esta fórmula se modifica cuando se considera un campo magnético y más generalmente cuando se abandona el marco de la electrostática (ver el artículo energía electromagnética ).
Por último, cabe señalar cuando en el caso en que las dos distribuciones y se ubican en dos puntos y y con cargas y , las autoenergías son divergentes pero la energía de interacción está bien definida y encontramos precisamente:
D1{\ Displaystyle {\ mathcal {D}} _ {1} \,}D2{\ Displaystyle {\ mathcal {D}} _ {2} \,}PAG1{\ Displaystyle \ mathrm {P} _ {1} \,}PAG2{\ Displaystyle \ mathrm {P} _ {2} \,}q1{\ Displaystyle q_ {1} \,}q2{\ Displaystyle q_ {2} \,}
miInot=14πϵ0q1q2‖PAG1PAG2→‖=q1V2(PAG1)=q2V1(PAG2){\ displaystyle E _ {\ mathrm {int}} = {\ frac {1} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} {\ frac {q_ {1} q_ {2}} {\ left \ | { \ overrightarrow {\ mathrm {P} _ {1} \ mathrm {P} _ {2}}} \ right \ |}} = q_ {1} V_ {2} \! (\ mathrm {P} _ {1} ) = q_ {2} V_ {1} \! (\ mathrm {P} _ {2}) \,}.
Ver también
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