Ecuación diferencial parcial parabólica
En matemáticas , una ecuación diferencial parcial lineal de segundo orden, cuya forma general viene dada por:
∑I,j=1noaIj(X)∂2F∂XI∂Xj+∑I=1noBI(X)∂F∂XI+vs(X)F=h(X), X∈U⊂Rno{\ Displaystyle \ sum _ {i, j = 1} ^ {n} {a_ {ij} (\ mathbf {x}) {\ dfrac {\ parcial ^ {2} f} {\ parcial x_ {i} \ parcial x_ {j}}}} + \ sum _ {i = 1} ^ {n} {b_ {i} (\ mathbf {x}) {\ dfrac {\ parcial f} {\ parcial x_ {i}}}} + c (\ mathbf {x}) f = h (\ mathbf {x}), \ \ \ \ mathbf {x} \ en U \ subconjunto \ mathbb {R} ^ {n}}se dice que es parabólico en un punto dado x de la U abierta si la matriz cuadrada simétrica de los coeficientes de segundo orden admite n -1 valores propios distintos de cero y del mismo signo, y un valor propio cero, el vector propio asociado con este último, denotado , es tal que , denota el vector de n coeficientes de primer orden.
A(X)=(aIj)1≤I,j≤no{\ Displaystyle A (\ mathbf {x}) = \ left (a_ {ij} \ right) _ {1 \ leq i, j \ leq n}}v0(X){\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {0} (\ mathbf {x})}v0(X)⋅B(X)≠0{\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {0} (\ mathbf {x}) \ cdot \ mathbf {b} (\ mathbf {x}) \ neq 0}B(X){\ Displaystyle \ mathbf {b} (\ mathbf {x})}
Ejemplo
Un ejemplo clásico de una ecuación diferencial parabólica es la ecuación de calor :
∂T∂t-DΔT+SρVSPAG=0{\ Displaystyle {\ frac {\ parcial T} {\ parcial t}} - D \ Delta T + {\ frac {S} {\ rho C_ {P}}} = 0},
donde D es la difusividad térmica y C P el calor específico a presión constante, S denota un término fuente de producción de calor, T = T ( t , r ) la temperatura en el punto r en el espacio y en el tiempo t .
En efecto, en este caso la matriz A viene dada por y por tanto admite un autovalor cero, y otros tres iguales a - D y por tanto del mismo signo. Además, el vector propio asociado con el valor propio nulo, es decir (1,0,0,0) claramente no es ortogonal al vector .
(00000-D0000-D0000-D){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -D & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -D & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -D \ end {pmatrix }}}B=(1,0,0,0){\ Displaystyle \ mathbf {b} = (1,0,0,0)}
Notas y referencias
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H. Reinhard 2004
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Si no se verifica esta última condición, la ecuación degenerará.
Bibliografía
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H. Reinhard, Ecuaciones diferenciales parciales, introducción , París, Dunod Université, coll. "Ciencias sup" ( Repr. 2004) ( 1 st ed. 1991), 291 p. , tapa blanda ( ISBN 978-2100484225 ).
- Maurice Gevrey, Sobre ecuaciones diferenciales parciales de tipo parabólico , Gauthier-Villars, 1913
Ver también
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