Ecuación diferencial parcial elíptica
En matemáticas , una ecuación diferencial parcial lineal de segundo orden, cuya forma general viene dada por:
∑I,j=1noaIj(X)∂2F∂XI∂Xj+∑I=1noBI(X)∂F∂XI+vs(X)F=h(X), X∈U⊂Rno{\ Displaystyle \ sum _ {i, j = 1} ^ {n} {a_ {ij} (\ mathbf {x}) {\ dfrac {\ parcial ^ {2} f} {\ parcial x_ {i} \ parcial x_ {j}}}} + \ sum _ {i = 1} ^ {n} {b_ {i} (\ mathbf {x}) {\ dfrac {\ parcial f} {\ parcial x_ {i}}}} + c (\ mathbf {x}) f = h (\ mathbf {x}), \ \ \ \ mathbf {x} \ en U \ subconjunto \ mathbb {R} ^ {n}}Se dice que es elíptica en un punto x dado de la U abierta si la matriz cuadrada simétrica de los coeficientes de segundo orden admite valores propios distintos de cero y del mismo signo.
A(X)=(aIj)1≤I,j≤no{\ Displaystyle A (\ mathbf {x}) = \ left (a_ {ij} \ right) _ {1 \ leq i, j \ leq n}}
Ejemplos de
En la física , las ecuaciones de Laplace , y Poisson para electrostática potencial , respectivamente, en vacío y a la distribución de la carga son elípticas. De hecho, la matriz A es aquí la matriz unitaria y, por lo tanto, sus valores propios son todos iguales a 1, por lo tanto distintos de cero y del mismo signo. Por otro lado, para la ecuación de onda escalar, la matriz A viene dada por , por lo tanto, tiene valores propios distintos de cero, 1 y -c 2 , pero de signo opuesto. Por tanto, no es una ecuación diferencial parcial elíptica, sino una ecuación diferencial parcial hiperbólica .
ΔV=0{\ Displaystyle \ Delta V = 0} ΔV+ρϵ0=0{\ Displaystyle \ Delta V + {\ frac {\ rho} {\ epsilon _ {0}}} = 0} V=V(r){\ Displaystyle V = V (\ mathbf {r})}ρ=ρ(r){\ Displaystyle \ rho = \ rho (\ mathbf {r})}∂2F∂t2-vs2ΔF=0{\ Displaystyle {\ frac {\ parcial ^ {2} f} {\ parcial t ^ {2}}} - c ^ {2} \ Delta f = 0}(10000-vs20000-vs20000-vs2){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -c ^ {2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -c ^ {2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -c ^ {2} \ end {pmatrix}}}
Notas y referencias
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H. Reinhard 2004
Bibliografía
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H. Reinhard, Ecuaciones diferenciales parciales, introducción , París, Dunod Université, coll. "Ciencias sup" ( Repr. 2004) ( 1 st ed. 1991), 291 p. , tapa blanda ( ISBN 978-2100484225 ).
Ver también
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