Teoría de la perturbación
La teoría de las perturbaciones es un campo de las matemáticas , que consiste en estudiar los contextos donde es posible encontrar una solución aproximada a una ecuación a partir de la solución de un problema más simple. Más precisamente, buscamos una solución aproximada a una ecuación ( E λ ) (dependiente de un parámetro λ ), sabiendo que la solución de la ecuación ( E 0 ) (correspondiente al valor λ = 0 ) se conoce con exactitud. La ecuación matemática ( E λ ) puede ser, por ejemplo, una ecuación algebraica o una ecuación diferencial . El método consiste en buscar la solución aproximada de la ecuación ( E λ ) en forma de expansión en serie de las potencias del parámetro λ , suponiendo que esta solución aproximada es una aproximación aún mejor de la solución exacta, pero desconocida, que el valor absoluto del parámetro λ es “menor”.
General
Historia
Desde el comienzo de la XVIII ª siglo , teoría de la perturbación fue utilizado por astrónomos a las necesidades de los mecánica celeste : de hecho, las ecuaciones diferenciales que describen un sistema de N cuerpos que interactúan gravitacional no tiene solución exacta general N ≥ 3 . Este aspecto de la teoría de la perturbación se sintetizó de la tarde XIX XX siglo en las obras clásicas de Laplace , Tejedor y Poincaré antes de experimentar nuevos desarrollos en la segunda mitad del XX ° siglo con la llegada en 1954 de la " teoría KAM ", el nombre de sus tres diseñadores: Kolmogorov , Arnold y Moser .
El método también se ha utilizado ampliamente en el XX ° siglo para las necesidades de la física cuántica , por primera vez en la mecánica cuántica no relativista, a continuación, teoría cuántica de campos de perturbación.
¿Convergencia de la serie perturbativa?
Hemos visto que aquí buscábamos la solución aproximada de la ecuación ( E λ ) en forma de expansión en serie de las potencias del parámetro λ ; Entonces surge la cuestión de la convergencia de esta serie. Este problema fue resuelto para la astronomía por Poincaré en 1892: la "serie" de perturbación debe entenderse matemáticamente como un desarrollo asintótico en la vecindad de cero, y no como una serie ordinaria que converge uniformemente. El Capítulo VIII de la Mecánica Celeste de Poincaré comienza con el siguiente comentario:
“Existe una especie de malentendido entre geómetras y astrónomos sobre el significado de la palabra convergencia. Los agrimensores preocupados por un rigor perfecto y a menudo demasiado indiferentes a la extensión de cálculos inextricables de los que conciben la posibilidad, sin pensar en emprenderlos realmente, dicen que una serie es convergente cuando la suma de los términos tiende hacia un límite determinado, sin embargo, el los primeros términos disminuirían muy lentamente. Los astrónomos, por el contrario, están acostumbrados a decir que una serie converge cuando los primeros 20 términos, por ejemplo, disminuyen muy rápidamente, pero los siguientes términos deberían aumentar indefinidamente.
Entonces, para tomar un ejemplo simple, considere las dos series que tienen el término general:
1000nono!mit:no!1000no{\ Displaystyle {\ frac {1000 ^ {n}} {n!}} \ quad \ mathrm {et:} \ quad {\ frac {n!} {1000 ^ {n}}}}
Los peritos dicen que los primeros converge e incluso converge rápidamente, porque el término millonésima es mucho menor que el 999 999 ° ; pero considerarán el segundo como divergente, porque el término general puede crecer más allá de cualquier límite.
Los astrónomos, por el contrario, considerarán la primera serie como divergente, porque los primeros 1000 términos están aumentando; y el segundo como convergente, porque los primeros 1000 términos disminuyen y esta disminución es primero muy rápida.
Las dos reglas son legítimas: la primera, en la investigación teórica; el segundo, en aplicaciones digitales. Ambos deben reinar, pero en dos áreas separadas y cuyos límites es importante conocer bien. "
Para concluir esta discusión cualitativa sobre la convergencia, el matemático Jean-Pierre Ramis especifica:
“Podemos, pues, hablar de series convergentes“ en el sentido de geómetras ”o“ en el sentido de astrónomos ”. Observemos que prácticamente, en las aplicaciones, se nota que, casi siempre, las series convergentes en el sentido de los astrónomos tienen un término general que aumenta muy rápidamente después de haber disminuido inicialmente. Entonces, lo que Poincaré imaginó como una posibilidad es, de hecho, la regla. "
Esto es lo que hace que la eficacia práctica de la teoría de las perturbaciones en la física teórica: suele ser suficiente calcular los primeros términos del desarrollo asintótico -los que parecen empezar por converger- para obtener una muy buena aproximación. Del resultado exacto desconocido. Así, en el marco de la electrodinámica cuántica , Dyson demostró en 1948 que la serie perturbativa era divergente , mientras que teniendo en cuenta los primeros tres o cuatro términos solo se obtienen predicciones teóricas en notable concordancia con los resultados experimentales.
Nótese que existen ciertos procedimientos de “sumatoria” que permiten dar significado a determinadas series divergentes , como por ejemplo la sumatoria de Borel o la aproximante de Padé .
Un primer ejemplo elemental
Posición del problema
Considere como ejemplo la siguiente ecuación diferencial de primer orden :
(miλ) :DX(t)Dt+1τX(t)+λτL0X2(t)=0{\ Displaystyle (E _ {\ lambda}) \: \ qquad {\ frac {\ mathrm {d} x (t)} {\ mathrm {d} t}} + {\ frac {1} {\ tau}} x (t) + {\ frac {\ lambda} {\ tau L_ {0}}} x ^ {2} (t) = 0}
En esta ecuación, t representa el tiempo, τ un parámetro fijo homogéneo a la vez, L 0 un parámetro fijo homogéneo a una longitud y λ el parámetro de perturbación, sin dimensiones . Buscamos determinar la función desconocida x ( t ) , homogénea a una longitud, y verificando la condición inicial : en el tiempo t = 0, tenemos: x (0) = X 0 .
Teoría de las perturbaciones de primer orden
El problema de partida de la teoría de las perturbaciones es la ecuación diferencial ( E 0 ) correspondiente al valor λ = 0 :
(mi0) :DX(t)Dt + 1τ X(t) = 0{\ Displaystyle (E_ {0}) \: \ qquad {\ frac {\ mathrm {d} x (t)} {\ mathrm {d} t}} \ + \ {\ frac {1} {\ tau}} \ x (t) \ = \ 0}
|
cuya solución analítica exacta es bien conocida:
X0(t)=Ami-t/τ{\ Displaystyle x_ {0} (t) = A \ mathrm {e} ^ {- \, t / \ tau}}
|
donde A es una constante, desconocida por el momento. Ilustramos el método de perturbación limitándonos por simplicidad al primer orden en la expansión en serie de las potencias del parámetro λ ; se busca así la solución aproximada en la forma:
Xλ(t)=X0(t)+λX1(t)+O(λ2){\ Displaystyle x _ {\ lambda} (t) = x_ {0} (t) + \ lambda x_ {1} (t) + O (\ lambda ^ {2})}
|
donde x 1 ( t ) es una función desconocida, por determinar. Inyectamos esta expresión en la ecuación diferencial exacta ( E λ ) . Al limitarnos a los términos de primer orden incluidos y al usar el hecho de que x 0 ( t ) es la solución exacta de ( E 0 ) , obtenemos la solución física aproximada del primer orden:
Xλ(t)=X0(1-λX0L0)mi-t/τ+λX02L0mi-2t/τ+O(λ2){\ Displaystyle x _ {\ lambda} (t) = X_ {0} \ left (1- \ lambda {\ frac {X_ {0}} {L_ {0}}} \ right) \ mathrm {e} ^ { - t / \ tau} + \ lambda {\ frac {X_ {0} ^ {2}} {L_ {0}}} \ mathrm {e} ^ {- 2t / \ tau} + O (\ lambda ^ {2 })}
Demostración
Inyectamos el desarrollo en la ecuación diferencial exacta ( E λ ) . Limitándonos a los términos de primer orden incluidos y utilizando el hecho de que x 0 es la solución exacta de ( E 0 ) , obtenemos la siguiente ecuación para la función x 1 :
λ [ DX1(t)Dt+1τX1(t)]+λX02(t)τL0=0,{\ Displaystyle \ lambda \ \ left [\ {\ frac {\ mathrm {d} x_ {1} (t)} {\ mathrm {d} t}} + {\ frac {1} {\ tau}} x_ { 1} (t) \ right] + \ lambda {\ frac {x_ {0} ^ {2} (t)} {\ tau L_ {0}}} = 0,}
Omitiremos en esta demostración los restos para simplificar los escritos. Esta ecuación se puede reescribir explícitamente:
O(λ2){\ Displaystyle O (\ lambda ^ {2})}![O (\ lambda ^ 2)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2bb04443dbb607c2ebd3bcaec4393e705d93cc3)
DX1(t)Dt+1τX1(t)=-A2τL0mi-2t/τ.{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} x_ {1} (t)} {\ mathrm {d} t}} + {\ frac {1} {\ tau}} x_ {1} (t) = - {\ frac {A ^ {2}} {\ tau L_ {0}}} \ mathrm {e} ^ {- 2t / \ tau}.}
Las soluciones de la ecuación homogénea son de la forma:
t↦Bmi-t/τ,{\ Displaystyle t \ mapsto B \ mathrm {e} ^ {- t / \ tau},}
donde B atraviesa el conjunto de números reales. Para determinar una solución particular de la ecuación completa, se puede usar un método de variación constante. Por lo tanto, estamos buscando una solución particular que x deja en la forma:
Xir(t)=VS(t)mi-t/τ,{\ Displaystyle x _ {\ textrm {part}} (t) = C (t) \ mathrm {e} ^ {- t / \ tau},}
donde C es una función que depende del tiempo. Al inyectar esta solución particular en la ecuación verificada por x 1 , obtenemos que C debe verificar la ecuación:
VS′(t)=-A2τL0mi-t/τ,{\ Displaystyle C '(t) = - {\ frac {A ^ {2}} {\ tau L_ {0}}} \ mathrm {e} ^ {- t / \ tau},}
de donde :
VS(t)=A2L0mi-t/τ,{\ Displaystyle C (t) = {\ frac {A ^ {2}} {L_ {0}}} \ mathrm {e} ^ {- t / \ tau},}
es adecuado, y luego:
Xir(t)=VS(t)mi-t/τ=A2L0mi-2t/τ{\ displaystyle x _ {\ textrm {part}} (t) = C (t) \ mathrm {e} ^ {- t / \ tau} = {\ frac {A ^ {2}} {L_ {0}} } \ mathrm {e} ^ {- 2t / \ tau}}
es una solución particular de la ecuación verificada por x 1 . Así tenemos:
X1(t)=B0mi-t/τ+A2L0mi-2t/τ,{\ Displaystyle x_ {1} (t) = B_ {0} \ mathrm {e} ^ {- t / \ tau} + {\ frac {A ^ {2}} {L_ {0}}} \ mathrm {e } ^ {- 2t / \ tau},}
donde B 0 es una constante que depende de la condición inicial implícita y que determinaremos más adelante. Ahora es posible expresar (todavía omitimos el resto en la escritura):
Xλ=X0+λX1{\ Displaystyle x _ {\ lambda} = x_ {0} + \ lambda x_ {1}}![{\ Displaystyle x _ {\ lambda} = x_ {0} + \ lambda x_ {1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ced6e38764b9a1acfa7e7d0a31b7a30ca6bf815)
Xλ(t)=(A+λB0)mi-t/τ+λA2L0mi-2t/τ.{\ displaystyle x _ {\ lambda} (t) = (A + \ lambda B_ {0}) \ mathrm {e} ^ {- t / \ tau} + \ lambda {\ frac {A ^ {2}} { L_ {0}}} \ mathrm {e} ^ {- 2t / \ tau}.}
Recordando que x λ satisface la condición inicial x λ (0) = X 0 , obtenemos, haciendo t = 0 en la expresión anterior:
A+λB0+λA2L0=X0.{\ Displaystyle A + \ lambda B_ {0} + \ lambda {\ frac {A ^ {2}} {L_ {0}}} = X_ {0}.}
Para λ cercano a 0, hacemos la aproximación A = x 0 y por lo tanto B 0 = - X2
0/ L 0 . Por lo tanto, encontramos que:
Xλ(t)=(X0-λX02L0)mi-t/τ+λX02L0mi-2t/τ,{\ displaystyle x _ {\ lambda} (t) = \ left (X_ {0} - \ lambda {\ frac {X_ {0} ^ {2}} {L_ {0}}} \ right) \ mathrm {e } ^ {- t / \ tau} + \ lambda {\ frac {X_ {0} ^ {2}} {L_ {0}}} \ mathrm {e} ^ {- 2t / \ tau},}
que se puede reescribir, factorizando X 0 en el primer término:
Xλ(t)=X0(1-λX0L0)mi-t/τ+λX02L0mi-2t/τ,{\ Displaystyle x _ {\ lambda} (t) = X_ {0} \ left (1- \ lambda {\ frac {X_ {0}} {L_ {0}}} \ right) \ mathrm {e} ^ { - t / \ tau} + \ lambda {\ frac {X_ {0} ^ {2}} {L_ {0}}} \ mathrm {e} ^ {- 2t / \ tau},}
CQFD
Comparación con la solución exacta
Podemos demostrar aquí que la ecuación diferencial ( E λ ) que satisface la condición inicial: x (0) = X 0 admite para todos los valores del parámetro λ la siguiente solución exacta:
Xλ(t)=X0mi-t/τ1+λX0L0(1-mi-t/τ){\ displaystyle x _ {\ lambda} (t) = {\ frac {X_ {0} \ mathrm {e} ^ {- t / \ tau}} {1+ \ lambda {\ frac {X_ {0}} { L_ {0}}} \ left (1- \ mathrm {e} ^ {- t / \ tau} \ right)}}}
Una expansión limitada de esta expresión al primer orden en λ da explícitamente la solución aproximada determinada en el párrafo anterior por la teoría de las perturbaciones de primer orden:
Xλ(t)=X0(1-λX0L0)mi-t/τ+λX02L0mi-2t/τ+O(λ2){\ Displaystyle x _ {\ lambda} (t) = X_ {0} \ left (1- \ lambda {\ frac {X_ {0}} {L_ {0}}} \ right) \ mathrm {e} ^ { - t / \ tau} + \ lambda {\ frac {X_ {0} ^ {2}} {L_ {0}}} \ mathrm {e} ^ {- 2t / \ tau} + O (\ lambda ^ {2 })}
Para visualizar la diferencia entre la solución aproximada y la solución exacta, se dibujan a continuación las gráficas de las dos funciones para una serie de valores de λ que van de 0.1 a 0.5, tomando: X 0 = L 0 = 1 m, τ = 1 s .
- en azul, la solución exacta.
- en rojo, la solución aproximada de primer orden.
-
λ = 0,1
-
λ = 0,2
-
λ = 0,3
-
λ = 0,4
-
λ = 0,5
Un segundo ejemplo: el oscilador Duffing
Definición y propiedades
Definición
El oscilador de Duffing satisface la siguiente ecuación diferencial de segundo orden:
(miλ) :D2X(t)Dt2+ω02 X(t)+λω02L02X3(t)=0{\ Displaystyle (E _ {\ lambda}) \: \ qquad {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} x (t)} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} + \ omega _ {0} ^ {2} \ x (t) + {\ frac {\ lambda \ omega _ {0} ^ {2}} {L_ {0} ^ {2}}} x ^ {3} (t) = 0}
En esta ecuación, t representa el tiempo, ω 0 un parámetro fijo homogéneo a un pulso, es decir el inverso de un tiempo. L 0 es un parámetro fijo homogéneo en una longitud, y λ el parámetro de perturbación, adimensional . Buscamos determinar la función desconocida x ( t ) , homogénea a una longitud, y verificando las condiciones iniciales : en el tiempo t = 0 , tenemos: x (0) = X 0 y .
X˙(0)=0{\ Displaystyle {\ dot {x}} (0) = 0}![\ dot {x} (0) = 0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8078be1554764c754d5b55df67f5c663e8b60efa)
Interpretación física
Podemos interpretar esta ecuación diferencial como la ley de la dinámica de Newton de una partícula de masa m sometida a una fuerza derivada de una energía potencial V ( x ) :
metro D2X(t)Dt2=-DV(X(t))DX{\ Displaystyle m \ {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} x (t)} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} = - {\ frac {\ mathrm {d} V (x (t))} {\ mathrm {d} x}}}
donde se escribe el potencial cuártico V ( x ) :
V(X)=metroω02 ( X22+λ X44L02 ){\ Displaystyle V (x) = m \, \ omega _ {0} ^ {2} \ \ left (\ {\ frac {x ^ {2}} {2}} + {\ frac {\ lambda \ x ^ {4}} {4L_ {0} ^ {2}}} \ \ right)}
Carácter acotado del movimiento
Para todos los valores positivos o cero de λ , V ( x ) representa un sumidero potencial . La conservación de la energía mecánica total E de la partícula:
mi=12metrov2+V(X)⟹12metrov2=mi-V(X) ≥ 0{\ Displaystyle E = {\ frac {1} {2}} mv ^ {2} + V (x) \ quad \ Longrightarrow \ quad {\ frac {1} {2}} mv ^ {2} = EV (x ) \ \ geq \ 0}
entonces resulta en que el movimiento está acotado en un intervalo [ x 1 , x 2 ] , donde los puntos de inflexión x 1 y x 2 son las dos soluciones reales de la ecuación E = V ( x )
Orden cero: el oscilador armónico
El problema de partida de la teoría de las perturbaciones es la ecuación diferencial ( E 0 ) correspondiente al valor λ = 0 :
(mi0) :D2X(t)Dt2+ω02X(t)=0{\ displaystyle (E_ {0}) \: \ qquad {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} x (t)} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} + \ omega _ {0 } ^ {2} x (t) = 0}
Esta ecuación es por definición un oscilador armónico de pulsación ω 0 , cuya solución analítica exacta es bien conocida:
X0(t)=A porque(ω0t+φ){\ Displaystyle x_ {0} (t) = A \ \ cos \ left (\ omega _ {0} t + \ varphi \ right)}
donde A y φ son dos constantes, por el momento desconocidas.
Teoría ingenua de perturbaciones de primer orden
Buscamos la solución aproximada en la forma:
Xλ(t)=X0(t)+λX1(t)+O(λ2){\ Displaystyle x _ {\ lambda} (t) = x_ {0} (t) + \ lambda x_ {1} (t) + O (\ lambda ^ {2})}
donde x 1 ( t ) es una función desconocida, por determinar. Inyectamos esta expresión en la ecuación diferencial exacta ( E λ ) . Al limitarnos a los términos de primer orden incluidos y usar el hecho de que x 0 ( t ) es la solución exacta de ( E 0 ) , obtenemos la expresión de primer orden de la teoría de la perturbación:
Xλ(t)=X0 porque(ω0t)+λ [X0332L02[porque(3ω0t)-porque(ω0t)]+3X038L02ω0tpecado(ω0t)]+O(λ2){\ Displaystyle x _ {\ lambda} (t) = X_ {0} \ \ cos \ left (\ omega _ {0} t \ right) + \ lambda \ \ left [{\ frac {X_ {0} ^ { 3}} {32 \, L_ {0} ^ {2}}} \ left [\ cos \ left (3 \ omega _ {0} t \ right) - \ cos \ left (\ omega _ {0} t \ derecha) \ derecha] + {\ frac {3X_ {0} ^ {3}} {8L_ {0} ^ {2}}} \ omega _ {0} t \ sin \ izquierda (\ omega _ {0} t \ derecha) \ derecha] + O (\ lambda ^ {2})}
Demostración
Inyectamos el desarrollo en la ecuación diferencial exacta ( E λ ) . Limitándonos a los términos de primer orden incluidos y utilizando el hecho de que x 0 ( t ) es la solución exacta de ( E 0 ) , obtenemos la siguiente ecuación para la función x 1 ( t ) :
D2X1(t)Dt2+ω02X1(t)=-ω02A3L02porque3(ω0t+φ){\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} x_ {1} (t)} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} + \ omega _ {0} ^ {2} x_ { 1} (t) = - {\ frac {\ omega _ {0} ^ {2} A ^ {3}} {L_ {0} ^ {2}}} \ cos ^ {3} \ left (\ omega _ {0} t + \ varphi \ right)}
Se utiliza la siguiente identidad trigonométrica:
porque3α=14 [3porqueα+porque(3α)]{\ Displaystyle \ cos ^ {3} \ alpha = {\ frac {1} {4}} \ \ left [3 \ cos \ alpha + \ cos (3 \ alpha) \ right]}
de ahí la ecuación diferencial para la función x 1 ( t ) :
D2X1(t)Dt2+ω02X1(t)=-ω02A34L02[3porque(ω0t+φ)+porque(3ω0t+3φ)]{\ Displaystyle {\ frac {d ^ {2} x_ {1} (t)} {dt ^ {2}}} + \ omega _ {0} ^ {2} x_ {1} (t) = - {\ frac {\ omega _ {0} ^ {2} A ^ {3}} {4L_ {0} ^ {2}}} \ left [3 \ cos \ left (\ omega _ {0} t + \ varphi \ right ) + \ cos \ left (3 \ omega _ {0} t + 3 \ varphi \ right) \ right]}
Podemos demostrar que esta ecuación diferencial tiene la siguiente solución general exacta:
X1(t)=+3A38L02ω0tpecado(ω0t+φ)+A332L02porque(3ω0t+3φ){\ Displaystyle x_ {1} (t) = + {\ frac {3A ^ {3}} {8L_ {0} ^ {2}}} \ omega _ {0} t \ sin \ left (\ omega _ {0 } t + \ varphi \ right) + {\ frac {A ^ {3}} {32L_ {0} ^ {2}}} \ cos \ left (3 \ omega _ {0} t + 3 \ varphi \ right) }
Por lo tanto, tenemos para la función desconocida:
Xλ(t)=Aporque(ω0t+φ)+λ[3A38L02ω0tpecado(ω0t+φ)+A332L02porque(3ω0t+3φ)]+O(λ2){\ Displaystyle x _ {\ lambda} (t) = A \ cos \ left (\ omega _ {0} t + \ varphi \ right) + \ lambda \ left [{\ frac {3A ^ {3}} {8L_ {0} ^ {2}}} \ omega _ {0} t \ sin \ left (\ omega _ {0} t + \ varphi \ right) + {\ frac {A ^ {3}} {32L_ {0} ^ {2}}} \ cos \ left (3 \ omega _ {0} t + 3 \ varphi \ right) \ right] + O (\ lambda ^ {2})}
La aplicación de las condiciones iniciales: en el tiempo t = 0 , tenemos: x (0) = X 0 y conducimos al sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:
X˙(0)=0{\ Displaystyle {\ dot {x}} (0) = 0}![\ dot {x} (0) = 0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8078be1554764c754d5b55df67f5c663e8b60efa)
Aporqueφ+λA332L02porque(3φ)=X0(1){\ Displaystyle A \ cos \ varphi + \ lambda {\ frac {A ^ {3}} {32L_ {0} ^ {2}}} \ cos (3 \ varphi) = X_ {0} \ quad (1)}
- A ω0 pecado(φ) + λ [ 3ω0A38L02 pecadoφ - 3ω0A332L02 pecado(3φ) ] = 0(2){\ Displaystyle - \ A \ \ omega _ {0} \ \ sin (\ varphi) \ + \ \ lambda \ \ left [\ {\ frac {3 \, \ omega _ {0} \, A ^ {3} } {8 \, L_ {0} ^ {2}}} \ \ sin \ varphi \ - \ {\ frac {3 \ omega _ {0} \, A ^ {3}} {32 \, L_ {0} ^ {2}}} \ \ \ sin (3 \ varphi) \ \ right] \ = \ 0 \ quad (2)}
Usando la fórmula trigonométrica:
pecado(3φ) = 3porque2φpecadoφ - pecado3φ{\ Displaystyle \ sin (3 \ varphi) \ = \ 3 \, \ cos ^ {2} \ varphi \, \ sin \ varphi \ - \ \ sin ^ {3} \ varphi}
en la ecuación (2), mostramos que sin (φ) = 0 , de modo que φ = 0 . Luego informamos este resultado en la ecuación (1), que da:
A + λ A332L02 = X0⟹A = X0 [1-λX0232L02] + O(λ2){\ Displaystyle A \ + \ \ lambda \ {\ frac {A ^ {3}} {32 \, L_ {0} ^ {2}}} \ = \ X_ {0} \ quad \ Longrightarrow \ quad A \ = \ X_ {0} \ \ left [\, 1 \, - \, {\ frac {\ lambda \, X_ {0} ^ {2}} {32 \, L_ {0} ^ {2}}} \, \ right] \ + \ O (\ lambda ^ {2})}
Deducimos la expresión de primer orden de la teoría de la perturbación.
Aparición de un término secular
Se puede ver que la perturbación contiene un término proporcional al tiempo :
λ ω0t pecado(ω0t){\ Displaystyle \ lambda \ \ omega _ {0} t \ \ sin \ left (\ omega _ {0} t \ right)}
Este término ilimitado se llama término secular , de la palabra latina saeculum que significa siglo. De hecho, para los tiempos , la perturbación es de orden λ , es decir, pequeña. Por otro lado, para tiempos más largos del orden de , la perturbación pasa a ser de orden 1 y ya no es pequeña; el problema se agrava aún más por el tiempo aún más largo: . Sin embargo, sabemos que el movimiento real está acotado, por lo que x λ ( t ) no puede crecer indefinidamente: nuestra teoría “ingenua” de las perturbaciones, por lo tanto, ya no es válida.
t∼1/ω0{\ Displaystyle t \ sim 1 / \ omega _ {0}}
t∼1/(λω0){\ Displaystyle t \ sim 1 / (\ lambda \ omega _ {0})}
t≫1/(λω0){\ Displaystyle t \ gg 1 / (\ lambda \ omega _ {0})}![t \ gg 1 / (\ lambda \ omega_0)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1835f064ac7663ec25ffc2b56be280adaf020fd)
En el contexto de la astronomía, la presencia de estos términos seculares imposibilita el estudio del futuro a largo plazo de las trayectorias planetarias, siendo la unidad de tiempo característica del problema el siglo.
Método de Lindstedt
Lindstedt propuso en 1882 un método que, para ciertas ecuaciones diferenciales, elimina estos términos seculares. También se denomina método de Lindstedt-Poincaré , habiendo demostrado Poincaré que la serie introducida por Lindstedt debe interpretarse como expresiones asintóticas .
La idea de Lindstedt es que, en algunos casos, los términos seculares pueden ser causados por expresiones que se expanden incorrectamente. Por ejemplo, suponga que el resultado exacto es:
Xλ(t)=X0porque[(1+λ)ω0t]{\ Displaystyle x _ {\ lambda} (t) = X_ {0} \ cos \ left [(1+ \ lambda) \ omega _ {0} t \ right]}
|
Esta expresión claramente acotada desarrollada al primer orden en λ da:
Xλ(t)=X0 porque(ω0t)-λX0ω0tpecado(ω0t)+O(λ2){\ Displaystyle x _ {\ lambda} (t) = X_ {0} \ \ cos \ left (\ omega _ {0} t \ right) - \ lambda X_ {0} \ omega _ {0} t \ sin \ izquierda (\ omega _ {0} t \ right) + O (\ lambda ^ {2})}
|
y parece un término secular ilimitado. Vemos que la solución exacta es de hecho una función de la pulsación:
ωλ=(1+λ)ω0{\ Displaystyle \ omega _ {\ lambda} = (1+ \ lambda) \ omega _ {0}}
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que es ligeramente diferente de la pulsación inicial ω 0 del problema. Lindstedt utilizará este comentario de forma sistemática.
Principio del método Lindstedt
El método de Lindstedt solo es aplicable para ecuaciones diferenciales del siguiente tipo:
D2X(t)Dt2+ω02 X(t) = λ F(X(t),DX(t)Dt,t,λ){\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} x (t)} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} + \ omega _ {0} ^ {2} \ x (t) \ = \ \ lambda \ f \ left (x (t), \, {\ frac {\ mathrm {d} x (t)} {\ mathrm {d} t}}, \, t, \, \ lambda \ derecho)}
|
donde f es un par de funciones de x e impar de las cuales también es periódica en t , es independiente de t . El método consiste en realizar un cambio de escala de tiempo introduciendo una nueva variable adimensional s definida por la expansión de la serie:
X˙{\ Displaystyle {\ dot {x}}}
s=(ω0+λω1+λ2ω2+... ) t{\ Displaystyle s = \ left (\ omega _ {0} + \ lambda \ omega _ {1} + \ lambda ^ {2} \ omega _ {2} + \ dots \ \ right) \ t}
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En esta expresión habrá que elegir los valores numéricos de las constantes desconocidas ω k , k ≥ 0 para hacer desaparecer los términos seculares de la serie perturbadora de la solución aproximada al orden deseado.
Ilustremos el método en el siguiente párrafo con el oscilador Duffing.
Ejemplo: el oscilador Duffing de primer orden
Vimos arriba que la ecuación diferencial del oscilador de Duffing estaba escrita:
(miλ) :D2X(t)Dt2+ω02X(t)=-λω02L02X3(t){\ Displaystyle (E _ {\ lambda}) \: \ qquad {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} x (t)} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} + \ omega _ {0} ^ {2} x (t) = - \ lambda {\ frac {\ omega _ {0} ^ {2}} {L_ {0} ^ {2}}} x ^ {3} (t)}
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Hagamos el cambio de escala de tiempo t → sy definamos la nueva función desconocida y de la variable s por:
y(s)=X(t(s))=(X∘t)(s){\ Displaystyle y (s) = x (t (s)) = (x \ circ t) (s)}
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La regla de derivación de la cadena de Leibniz da para la primera derivada:
DXDt=DyDs DsDt{\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} s}} \ {\ frac {\ mathrm {d} s} {\ mathrm {d} t}}}
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y para la segunda derivada:
D2XDt2=DDs(DyDs DsDt) DsDt=D2yDs2 (DsDt)2{\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} x} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} s} } \ left ({\ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} s}} \ {\ frac {\ mathrm {d} s} {\ mathrm {d} t}} \ right) \ { \ frac {\ mathrm {d} s} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} y} {\ mathrm {d} s ^ {2}}} \ \ izquierda ({\ frac {\ mathrm {d} s} {\ mathrm {d} t}} \ derecha) ^ {2}}
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Como tenemos en el primer orden:
DsDt=ω0+λω1+O(λ2){\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} s} {\ mathrm {d} t}} = \ omega _ {0} + \ lambda \ omega _ {1} + O (\ lambda ^ {2})}
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se obtiene para los derivados:
DXDt=(ω0+λω1)DyDs+O(λ2){\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} = (\ omega _ {0} + \ lambda \ omega _ {1}) {\ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} s}} + O (\ lambda ^ {2})}
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D2XDt2=(ω02+2λω0ω1)D2yDs2+O(λ2){\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} x} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} = \ left (\ omega _ {0} ^ {2} +2 \ lambda \ omega _ {0} \ omega _ {1} \ right) {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} y} {\ mathrm {d} s ^ {2}}} + O (\ lambda ^ {2 })}
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La ecuación diferencial de Duffing se convierte en primer orden:
(ω02+2λω0ω1)D2y(s)Ds2+ω02y(s)=-λω02L02y3(s)+O(λ2){\ Displaystyle \ left (\ omega _ {0} ^ {2} +2 \ lambda \ omega _ {0} \ omega _ {1} \ right) {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} y ( s)} {\ mathrm {d} s ^ {2}}} + \ omega _ {0} ^ {2} y (s) = - \ lambda {\ frac {\ omega _ {0} ^ {2}} {L_ {0} ^ {2}}} y ^ {3} (s) + O (\ lambda ^ {2})}
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Introduzcamos ahora la expansión de primer orden de la solución en esta ecuación diferencial:
yλ(s)=y0(s)+λy1(s)+O(λ2){\ Displaystyle y _ {\ lambda} (s) = y_ {0} (s) + \ lambda y_ {1} (s) + O (\ lambda ^ {2})}
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Viene expandiéndose según las potencias de λ :
ω02(D2y0Ds2+y0)+λ[ω02D2y1Ds2+2ω0ω1D2y0Ds2+ω02y1+ω02L02 y03]=0+O(λ2){\ Displaystyle \ omega _ {0} ^ {2} \ left ({\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} y_ {0}} {\ mathrm {d} s ^ {2}}} + y_ { 0} \ right) + \ lambda \ left [\ omega _ {0} ^ {2} {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} y_ {1}} {\ mathrm {d} s ^ {2} }} + 2 \ omega _ {0} \ omega _ {1} {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} y_ {0}} {\ mathrm {d} s ^ {2}}} + \ omega _ {0} ^ {2} y_ {1} + {\ frac {\ omega _ {0} ^ {2}} {L_ {0} ^ {2}}} \ y_ {0} ^ {3} \ right ] = 0 + O (\ lambda ^ {2})}
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Por tanto, tenemos el sistema de dos ecuaciones diferenciales:
D2y0Ds2+y0=0{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} y_ {0}} {\ mathrm {d} s ^ {2}}} + y_ {0} = 0}
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ω02D2y1Ds2+2ω0ω1D2y0Ds2+ω02y1+ω02L02y03=0{\ Displaystyle \ omega _ {0} ^ {2} {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} y_ {1}} {\ mathrm {d} s ^ {2}}} + 2 \ omega _ { 0} \ omega _ {1} {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} y_ {0}} {\ mathrm {d} s ^ {2}}} + \ omega _ {0} ^ {2} y_ {1} + {\ frac {\ omega _ {0} ^ {2}} {L_ {0} ^ {2}}} y_ {0} ^ {3} = 0}
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La primera tiene como solución general: y 0 ( s ) = A cos ( s + φ) donde A y φ son dos constantes. Luego transferimos esta expresión a la segunda ecuación diferencial y obtenemos para la primera corrección y 1 ( s ) :
D2y1(s)Ds2+y1(s)=2ω1Aω0porque(s+φ)-A3L02porque3(s+φ){\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} y_ {1} (s)} {\ mathrm {d} s ^ {2}}} + y_ {1} (s) = {\ frac { 2 \ omega _ {1} A} {\ omega _ {0}}} \ cos (s + \ varphi) - {\ frac {A ^ {3}} {L_ {0} ^ {2}}} \ cos ^ {3} (s + \ varphi)}
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Reutilizamos la fórmula trigonométrica:
porque3α=14 [3porqueα+porque(3α)]{\ Displaystyle \ cos ^ {3} \ alpha = {\ frac {1} {4}} \ \ left [3 \ cos \ alpha + \ cos (3 \ alpha) \ right]}
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de ahí la ecuación diferencial para la función y 1 ( s ) :
D2y1(s)Ds2+y1(s)=[2ω1ω0-3A34L02]porque(s+φ)-A34L02porque(3s+3φ){\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} y_ {1} (s)} {\ mathrm {d} s ^ {2}}} + y_ {1} (s) = \ left [{ \ frac {2 \ omega _ {1}} {\ omega _ {0}}} - {\ frac {3A ^ {3}} {4L_ {0} ^ {2}}} \ right] \ cos (s + \ varphi) - {\ frac {A ^ {3}} {4L_ {0} ^ {2}}} \ cos (3s + 3 \ varphi)}
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Entonces basta con cancelar el coeficiente frente al término en cos ( s + φ) planteando:
2ω1ω0-3A34L02=0⟹ω1=3A38L02ω0{\ displaystyle {\ frac {2 \ omega _ {1}} {\ omega _ {0}}} - {\ frac {3A ^ {3}} {4L_ {0} ^ {2}}} = 0 \ quad \ Flecha_larga \ quad \ omega _ {1} = {\ frac {3A ^ {3}} {8L_ {0} ^ {2}}} \ omega _ {0}}
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Luego obtenemos la ecuación diferencial final para la función y 1 ( s ) :
D2y1(s)Ds2+y1(s)=-A34L02porque(3s+3φ){\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} y_ {1} (s)} {\ mathrm {d} s ^ {2}}} + y_ {1} (s) = - {\ frac {A ^ {3}} {4L_ {0} ^ {2}}} \ cos (3s + 3 \ varphi)}
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Perturbación singular
Sucede que el término que depende de un parámetro de pequeño valor no se puede eliminar estableciendo el parámetro en 0 sin cambiar la naturaleza del problema y tener consecuencias en las propiedades de las soluciones. Luego hablamos de una perturbación singular. Generalmente, las perturbaciones singulares aparecen cuando el parámetro multiplica el término de mayor grado (derivada de mayor orden, mayor potencia ...).
Problemas multiescala
Apéndices
Bibliografía
Biblioteca virtual
- Nils Berglund; Teoría de perturbaciones de sistemas dinámicos (2001). Disponible en ArXiv: math.HO / 0111178 .
Libros de referencia
- Ali H. Nayfeh; Perturbation Methods , John Wiley & Sons (Nueva York-1973), reimpreso en la colección: Wiley Classics Library (2000), ( ISBN 0-471-39917-5 ) .
- Ali H. Nayfeh; Introducción a las técnicas de perturbación , John Wiley & Sons (Nueva York-1981), ( ISBN 0-471-31013-1 ) .
- E. John Hinch; Métodos de perturbación , Textos de Cambridge en matemáticas aplicadas, Cambridge University Press (1991), ( ISBN 0521378974 ) .
- Donald R. Smith; Teoría de la perturbación singular: una introducción con aplicaciones , Cambridge University Press (1985), ( ISBN 0-521-30042-8 ) .
Artículos periodísticos
- Donald R. Smith; El método multivariable en el análisis de perturbaciones singulares , SIAM Review 17 (2) (1975), 221-273.
- AB Vasilieva; Sobre el desarrollo de la teoría de la perturbación singular en la Universidad Estatal de Moscú y en otros lugares , SIAM Review 36 (3) (1994), 440-452.
Aplicaciones a la mecánica celeste
La mecánica hamiltoniana tuvo un gran avance en 1954 con el advenimiento de la " teoría KAM ". Por lo tanto, las referencias a continuación se clasifican según este evento.
Teoría pre-KAM
- Pierre-Simon Laplace, mecánica celeste Tratado , ediciones Jacques Gabay , 1990. Reedición de una obra clásica para el final del XIX ° siglo, en 4 volúmenes, disponibles en Gallica . - Nivel universitario de segundo ciclo.
- François-Félix Tisserand, mecánica celeste Tratado , Ediciones Jacques Gabay, 1990. Reedición de una obra clásica para el final del XIX ° siglo, en 4 volúmenes disponibles: Volumen 1 , Volumen 2 , Volumen 3 , en Gallica , Volumen 4 de la Archivo de Internet . - Nivel universitario de segundo ciclo.
- Henri Poincaré, Lecciones de mecánica celeste , 3 volúmenes, 1905-1910, reimpreso por Jacques Gabay, París, 2003, disponible en facsímil en Gallica : tomo I , tomo II parte 1 y parte 2 , tomo III . - Una suma de referencia, del gran matemático que tanto ha aportado al tema. Nivel universitario de segundo ciclo.
- Anders Lindstedt, Abh. K. Akad. Wiss. San Petersburgo , vol. 31, n o 4, 1882 .
- Anders Lindstedt, "Sobre la forma de expresiones de distancias mutuas en el problema de los tres cuerpos", Actas de la Academia de Ciencias , vol. 97, 1883, pág. 1276 y 1353, [ leer en Wikisource ].
- Henri Poincaré, "Sobre la serie de M. Lindstedt", Actas de la Academia de Ciencias , vol. 108, 1889, pág. 21-24 , disponible en Gallica .
- Henri Poincaré, “Sobre la aplicación del método de M. Lindstedt al problema de los tres cuerpos”, Actas de la Academia de Ciencias , vol. 114, 1892, pág. 1305-1309 , disponible en Gallica .
Teoría post-KAM
- Florin Diacu y Philip Holmes; Encuentros celestiales: el origen del caos y la estabilidad , Princeton University Press (1996).].
- VI Arnold, VV Kozlov y AI Neishtadt; Aspectos matemáticos de la mecánica clásica y celeste , Springer-Verlag ( 2 edición electrónica 1997)
- Bibliografía del artículo Mecánica celeste
Artículos relacionados
Referencias
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hecho, existe una solución exacta al problema de los tres cuerpos descubierto por Sundman (1909). Esta solución exacta, en forma de desarrollo en series formales, en la práctica no es explotable, porque si la serie efectivamente converge "en el sentido de los topógrafos", lo hace tan lentamente que hace que su poder predictivo sea casi nulo. Leer: Malte Henkel; Sobre la solución de Sundman al problema de los tres cuerpos , Philosophia Scientiae 5 (2) (2001) págs. 161-184. Texto completo disponible en ArXiv: física / 0203001 .
-
Pierre-Simon Laplace; Tratado de mecánica celeste , Ediciones Jacques Gabay (1990). Nueva edición de una obra clásica de finales del XIX ° siglo, en 4 volúmenes. Nivel universitario de segundo ciclo. Este libro está disponible en formato facsímil en Gallica .
-
François-Félix Tisserand; Tratado de mecánica celeste , Ediciones Jacques Gabay (1990). Nueva edición de una obra clásica de finales del XIX ° siglo, en 4 volúmenes. Nivel universitario de segundo ciclo. Este libro está disponible en formato facsímil en Gallica .
-
Henri Poincaré; Lecciones de mecánica celeste , 3 volúmenes, (1905-1910), editado por Jacques Gabay, París (2003). Una suma de referencia, del gran matemático que tanto ha aportado al tema. Nivel universitario de segundo ciclo. Este libro está disponible en facsímil en Gallica: Tome I , Tome II , Tome III .
-
Henri Poincaré; Nuevos métodos de mecánica celeste , Gauthier-Villars (1892).
-
Jean-Pierre Ramis, Series divergentes y teorías asintóticas , Journées X-UPS (1991).
-
Anders Lindstedt; Abh. K. Akad. Wiss. San Petersburgo 31 (1882), 4.
-
Anders Lindstedt; Sobre la forma de expresiones de distancias mutuas en el problema de los tres cuerpos , Comptes-Rendus de l'Académie des Sciences 97 (1883) 1276 y 1353. Estas dos notas están disponibles en facsímil en Gallica .
-
Henri Poincaré; Sobre la serie de M. Lindstedt , Comptes-Rendus de l'Académie des Sciences 108 (1889) 21-24. Esta nota está disponible en formato facsímil en Gallica .
-
Henri Poincaré; Sobre la aplicación del método de M. Lindstedt al problema de los tres cuerpos , Comptes-Rendus de l'Académie des Sciences 114 (1892) 1305-1309. Esta nota está disponible en formato facsímil en Gallica .
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