Teoremas de Guldin

Designamos con el nombre de teoremas de Guldin dos enunciados de la geometría euclidiana establecidos por el matemático suizo Paul Guldin . Es probable que Pappus de Alejandría ya conociera estos resultados y por eso también se encuentra el nombre de teorema de Pappus-Guldin (no confundir con el teorema de Pappus ). Expresa bajo ciertas condiciones:

• el área de la superficie generada por un arco de una curva;
• medir el volumen generado por una superficie.

Otra aplicación común de este teorema es el cálculo de la posición del centro de gravedad de un arco curvo o una superficie.

Primera declaración

Teorema  -  La medida del área generada por la rotación de un arco de curva plana alrededor de un eje de su plano, y que no cruza el arco de curva, es igual al producto de la longitud del arco de curva por la longitud de la curva. circunferencia descrita por su centro de gravedad  :

A=α⋅rS⋅s{\ Displaystyle {\ mathcal {A}} = \ alpha \ cdot r_ {S} \ cdot s}

donde α es la medida (expresada en radianes ) del ángulo descrito por la rotación, r S es la distancia desde el centro de gravedad ( C ) al eje y s la longitud del arco.

Ejemplos:

• el área del toro abierto de rayos r y R esA=(2πr)(2πR)=4π2rR{\ Displaystyle {\ mathcal {A}} = (2 \ pi r) (2 \ pi R) = 4 \ pi ^ {2} rR}
• el área generada por un semicírculo de radio R y centro de gravedad G es la esfera de área . Viene r G =A=(2πrGRAMO)(πR)=4πR2{\ Displaystyle {\ mathcal {A}} = (2 \ pi r_ {G}) (\ pi R) = 4 \ pi R ^ {2}}2/πR .

Segunda declaración

Teorema  :  la medida del volumen generado por la revolución de un elemento de superficie plana alrededor de un eje ubicado en su plano y que no lo intersecta es igual al producto del área de la superficie por la longitud de la circunferencia descrita por su centro de gravedad:

V=α⋅D⋅A{\ Displaystyle {\ mathcal {V}} = \ alpha \ cdot d \ cdot {\ mathcal {A}}}

Ejemplos:

• el volumen interno de las abiertas torus de los rayos r y R es la pena .V=(πr2)(2πR)=2π2r2R{\ Displaystyle V = (\ pi r ^ {2}) (2 \ pi R) = 2 \ pi ^ {2} r ^ {2} R}
• el volumen generado por un semidisco de radio R y centro de gravedad G es la bola de medición . Viene r G =V=(12πR2)(2πrGRAMO)=43πR3{\ Displaystyle V = ({\ tfrac {1} {2}} \ pi R ^ {2}) (2 \ pi r_ {G}) = {\ tfrac {4} {3}} \ pi R ^ {3 }}4/3πR .

enlaces externos

• (en) Eric W. Weisstein , "  Teorema del centroide de Pappus  " , en MathWorld

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