Entero sin factor cuadrado

En matemáticas y más precisamente en aritmética , un número entero sin un factor cuadrado (a menudo llamado, por tradición o conveniencia, quadratfrei o squarefree ) es un número entero relativo que no es divisible por ningún cuadrado perfecto excepto 1. Por ejemplo, 10 no tiene un factor cuadrado. pero 18 no lo es, ya que es igualmente divisible por 9 = 3 2 . Los diez números más pequeños en la secuencia OEIS A005117 de números enteros positivos sin un factor cuadrado son 1 , 2 , 3 , 5 , 6 , 7 , 10 , 11 , 13 , 14 .

Caracterizaciones equivalentes de números sin factor cuadrado

El número entero n no tiene un factor cuadrado si y solo si en la factorización prima de n , ningún número primo aparece más de una vez. Otro punto de vista equivalente es que para cada divisor primo p de n , el número primo p no divide n ⁄ p . Otra formulación es como sigue: n es sin un factor cuadrado si y sólo si en cada descomposición n = ab , los factores a y b son primos entre sí .

Para cualquier número primo p , la valoración p -ádica del entero n es como máximo igual a 1. También decimos a veces que ese número es quadratfrei . Recuerde que para cualquier número primo py cualquier entero natural n , la valoración p-ádica de n (a veces denotada como $ν$ p ( n )) es igual, por definición, al exponente de p en la descomposición de n en el producto de números primos .

Por lo tanto, si tenemos , y es quadratfrei es equivalente a . $n = \ Pi _ {{k = 1 ... s}} (p_ {k} ^ {{\ alpha _ {k}}})$ $\ nu _ {{p_ {k}}} (n) = \ alpha _ {k}$ $no$ $\ forall p \ in {\ mathcal P}, \ nu _ {p} (n) \ in \ {0,1 \}$

Un número entero n > 0 no tiene un factor cuadrado si y solo si su imagen de la función de Möbius no es cero.

Un número entero n > 0 se eleva al cuadrado si y solo si todos los grupos abelianos de orden n son isomorfos , que es el caso si y solo si todos son cíclicos . Esto se sigue del teorema de Kronecker .

Un número entero n > 1 es cuadrado si y solo si el factorial de anillo ℤ / n ℤ es un producto de cuerpo . Esto se sigue del teorema chino del resto y del hecho de que un anillo de la forma ℤ / k ℤ es un campo si y solo si k es un número primo .

Para cada número natural n , el conjunto de todos los divisores positivos de n está parcialmente ordenado por la relación de divisibilidad ; es incluso una red distributiva y acotada . Es un álgebra de Boole si y solo si n no tiene un factor cuadrado.

Un entero estrictamente positivo no tiene un factor cuadrado si y solo si es igual a su radical (es decir, al producto de sus divisores primos).

Función de generador

La serie del generador de Dirichlet de enteros sin un factor cuadrado es

{\ frac {\ zeta (s)} {\ zeta (2s)}} = \ sum _ {{n = 1}} ^ {{\ infty}} {\ frac {| \ mu (n) |} {n ^ {{s}}}} \ \ (\ Re s> 1)

donde ζ ( s ) es la función zeta de Riemann y μ es la función de Möbius .

Puede ser verificado fácilmente por el producto Euleriano.

{\ frac {\ zeta (s)} {\ zeta (2s)}} = \ prod _ {p} {\ frac {(1-p ^ {{- 2s}})} {(1-p ^ {{ -s}})}} = \ prod _ {p} (1 + p ^ {{- s}}).

Distribución de números sin factor cuadrado

Si $Q ( x )$ representa el número de enteros sin un factor cuadrado entre 1 y $x$ , entonces

Q (x) = {\ frac {6x} {\ pi ^ {2}}} + O ({\ sqrt {x}})

(ver pi y notación O grande ). Por tanto, la densidad natural asintótica de números sin factor cuadrado es

\ lim _ {{x \ to \ infty}} {\ frac {Q (x)} {x}} = {\ frac {6} {\ pi ^ {2}}} = {\ frac {1} {\ zeta (2)}}.

Al explotar la región cero-cero más grande conocida de la función zeta de Riemann , determinada por Ivan Vinogradov , Nikolai Korobov y Hans-Egon Richert (de) , Arnold Walfisz pudo reducir el tamaño estimado del término de error, y tenemos

Q (x) = {\ frac {6x} {\ pi ^ {2}}} + O \ left (x ^ {{1/2}} \ exp \ left (-c {\ frac {(\ log x) ^ {{3/5}}} {(\ log \ log x) ^ {{1/5}}}} \ right) \ right).

para una constante positiva c . Bajo la hipótesis de Riemann , este tamaño estimado puede reducirse aún más, y tenemos

Q (x) = {\ frac {6x} {\ pi ^ {2}}} + O \ left (x ^ {{17/54 + \ varepsilon}} \ right).

De manera similar, si $Q ( x, n )$ representa el número de enteros sin un $enésimo$ factor de potencia entre 1 y $x$ , podemos mostrar

\ lim _ {{x \ to \ infty}} {\ frac {Q (x, n)} {x}} = {\ frac {1} {\ zeta (n)}}.

Conjetura de Erd sobre el coeficiente binomial central

El coeficiente binomial

${2n \ elija n}$

nunca es quadratfrei cuando n > 4. Esto fue conjeturado por Paul Erdős , demostrado para todos los enteros suficientemente grandes en 1985 por András Sárközy , y demostrado sin restricción en 1996 por Olivier Ramaré y Andrew Granville .

Referencias

(fr) Este artículo está tomado parcial o totalmente del artículo de Wikipedia en inglés titulado " Entero sin cuadrados " ( consulte la lista de autores ) .

(De) A. Walfisz, Weylsche Exponentialsummen in der neueren Zahlentheorie , Berlín, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften ,1963.
(in) Chao-Hua Jia , " La distribución de números libres de cuadrados " , Science in China , tiene: Matemáticas, vol. 36, n o 21993, p. 154-169Citado en (in) Francesco Pappalardi, " A Survey on k -freeness " ,2003 ; ver también (en) Kaneenika Sinha, " Órdenes promedio de algunas funciones aritméticas " , Revista de la Sociedad Matemática Ramanujan (en) , vol. 21, n o 3,2006, p. 267-277 ( leer en línea ).
(en) András Sárközy, " Sobre divisores de coeficientes binomiales " , J. Teoría de números , vol. 20, n o 1,1985, p. 70-80 ( DOI 10.1016 / 0022-314X (85) 90017-4 ).
(in) Olivier Ramaré y Andrew Granville, " Los límites explícitos son las sumas exponenciales y la escasez de coeficientes binomiales sin cuadrados " , Mathematika , vol. 43, n o 1,1996, p. 73-107 ( leer en línea ).