Densidad asintótica

En las matemáticas , y más particularmente en número teoría , densidad asintótica (o densidad natural , o densidad aritmética ) es una forma de medir el "tamaño" de ciertos subconjuntos de números enteros naturales . La densidad de un conjunto $A$ puede verse como una aproximación de la probabilidad de que un número entero extraído al azar de un intervalo arbitrariamente grande pertenezca a $A$ ; su estudio es parte de la teoría analítica de números .

Contexto

No existe una probabilidad uniforme sobre el conjunto de enteros naturales, porque si cada singleton tuviera la misma probabilidad $p$ , según el axioma de aditividad , el conjunto tendría una probabilidad infinita si $p$ $> 0$ , y cero si $p$ $= 0$ . $\ mathbb {N}$ $\ mathbb {N}$

Incluso demostramos que no hay probabilidad de que satisface la propiedad intuitivamente obvio que la "probabilidad" de que el conjunto de los múltiplos de un número entero estrictamente positivo $una$ es igual a $1 /$ $un$ (existe la posibilidad de $un$ que un entero es un múltiplo de $a$ ). $\ mathbb {N}$

Por otro lado, existe una probabilidad uniforme en todos los conjuntos , lo que motiva las siguientes definiciones. ${\ Displaystyle [1, n] = \ {1,2, .., n \}}$

Definiciones

Un conjunto $A$ de números naturales es densidad natural (donde ) la proporción de los elementos de $A$ entre los números enteros de 1 an se aproxima asintóticamente a cuando n llega al infinito. Formalmente, teniendo en cuenta el número de elementos de $A$ entre 1 y n , la densidad asintótica de $A$ , $D ($ $A$ $)$ , se define por $\alfa$ ${\ Displaystyle 0 \ leqslant \ alpha \ leqslant 1}$ $\alfa$ ${\ Displaystyle N_ {n} = N_ {n} (A)}$

{\ Displaystyle {\ text {D}} (A) = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} {\ frac {N_ {n}} {n}} \}

(si existe este límite ).

Condición necesaria y suficiente

Si $A$ es finito, $A$ tiene densidad cero.

Si $A$ es infinito, sea la secuencia estrictamente creciente de sus elementos distintos de cero. ${\ Displaystyle (a_ {n}) _ {n \ geqslant 1}}$

Entonces :

- si , $A$ tiene densidad cero. ${\ Displaystyle a_ {n} \ gg n}$

- si , $A$ tiene densidad ssi . ${\ Displaystyle a_ {n} = O (n)}$ $\ alpha> 0$ ${\ Displaystyle a_ {n} \ sim {\ frac {n} {\ alpha}}}$

Demostración

Si A es finito, es constante por encima de cierto rango, por lo tanto . ${\ Displaystyle N_ {n}}$ ${\ Displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} {\ frac {N_ {n}} {n}} = 0}$

Supongamos que ; Después de estar estrictamente aumentando el límite infinito . ${\ Displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} {\ frac {n} {a_ {n}}} = \ alpha \ geqslant 0}$ ${\ Displaystyle (a_ {n}) _ {n \ geqslant 1}}$ ${\ Displaystyle a_ {N_ {n}} \ leqslant n <a_ {N_ {n + 1}}}$

Al escribir eso , lo obtenemos . ${\ Displaystyle {\ frac {N_ {n}} {n}} = {\ frac {N_ {n}} {a_ {N_ {n}}}}. {\ frac {a_ {N_ {n}}} { n}} \ leqslant {\ frac {N_ {n}} {a_ {N_ {n}}}}}$ ${\ Displaystyle {\ overline {\ lim}} {\ frac {N_ {n}} {n}} \ leqslant \ alpha}$

Al escribir eso , lo obtenemos . ${\ Displaystyle {\ frac {N_ {n + 1}} {n + 1}} = {\ frac {N_ {n + 1}} {a_ {N_ {n + 1}}}}. {\ frac {a_ {N_ {n + 1}}} {n}}. {\ Frac {n + 1} {n}} \ geqslant {\ frac {N_ {n + 1}} {a_ {N_ {n + 1}}} }. {\ frac {n + 1} {n}}}$ ${\ Displaystyle {\ underline {\ lim}} {\ frac {N_ {n + 1}} {a_ {N_ {n + 1}}}} \ geqslant \ alpha}$

Deducimos ; si , hemos demostrado bien que si , A es de densidad cero. ${\ Displaystyle {\ text {D}} (A) = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} {\ frac {N_ {n}} {n}} = \ alpha}$ ${\ Displaystyle \ alpha = 0}$ ${\ Displaystyle a_ {n} \ gg n}$

Si , hemos probado que si , A tiene densidad α. ${\ Displaystyle \ alpha> 0}$ ${\ Displaystyle a_ {n} \ sim {\ frac {n} {\ alpha}}}$

Supongamos recíprocamente que ; como , y , entonces . ${\ Displaystyle {\ text {D}} (A) = \ alpha> 0}$ ${\ Displaystyle N_ {a_ {n}} = n}$ ${\ Displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} {\ frac {N_ {a_ {n}}} {a_ {n}}} = \ alpha}$ ${\ Displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} {\ frac {n} {a_ {n}}} = \ alpha}$ ${\ Displaystyle a_ {n} \ sim {\ frac {n} {\ alpha}}}$

Densidades más bajas y más altas

Con las mismas notaciones, definimos la densidad más alta asintótica (o simplemente la densidad más alta ) de $A$ , d ( $A$ ), por

{\ Displaystyle {\ overline {\ text {D}}} (A) = \ limsup _ {n \ rightarrow \ infty} {\ frac {N_ {n}} {n}}}

donde lim sup es el límite superior .

Asimismo, la densidad más baja de $A$ , d ( $A$ ), está definida por

{\ Displaystyle {\ underline {\ text {D}}} (A) = \ liminf _ {n \ rightarrow \ infty} {\ frac {N_ {n}} {n}}}

, donde lim inf es el límite inferior .

$A$ tiene una densidad asintótica si y solo si coinciden las densidades inferior y superior, y entonces. ${\ Displaystyle {\ underline {\ text {d}}} (A) = {\ overline {\ text {d}}} (A) = {\ text {d}} (A)}$

Propiedad de aditividad finita

La densidad asintótica no verifica la propiedad de aditividad contable, pero sí verifica la de aditividad finita .

Sean $A$ y $B$ dos subconjuntos de ; $\ mathbb {N}$

Si son disjuntos y cada uno tiene una densidad, entonces también tiene una densidad y . $A \ taza B$ ${\ Displaystyle {\ text {D}} (A \ cup B) = {\ text {D}} (A) + {\ text {D}} (B)}$

Más generalmente :

Si tres de los cuatro conjuntos tienen densidad, también la tiene el cuarto y . ${\ Displaystyle A, B, A \ cup B, A \ cap B}$ ${\ Displaystyle {\ text {D}} (A \ cup B) + {\ text {D}} (A \ cap B) = {\ text {D}} (A) + {\ text {D}} ( B)}$

Esto es porque . ${\ Displaystyle N_ {n} (A \ cup B) + N_ {n} (A \ cap B) = N_ {n} (A) + N_ {n} (B)}$

Deducimos que si la densidad existe para $A$ , también existe para el complemento c $A$ de $A$ en , y eso es lo que tenemos . $\ mathbb {N}$ ${\ Displaystyle {\ text {d}} (^ {c} A) = 1 - {\ text {d}} (A)}$

Ejemplos de

${\ Displaystyle d (\ mathbb {N}) = 1}$ .
Los subconjuntos finitos son de densidad cero.
El conjunto de cuadrados perfectos tiene densidad cero porque (o porque ). $A = \ {n ^ {2} \ mid n \ in \ mathbb {N} \}$ ${\ Displaystyle N_ {n} (A) \ sim {\ sqrt {n}} \ ll n}$ ${\ Displaystyle n ^ {2} \ gg n}$
Lo mismo ocurre con el conjunto de números primos char (o char ); prueba usando el teorema de los números primos , para una demostración elemental, vea a continuación. ${\ mathbb P}$ ${\ Displaystyle N_ {n} (\ mathbb {P}) \ sim {\ frac {n} {\ ln n}} \ ll n}$ ${\ Displaystyle p_ {n} \ sim n \ ln n \ gg n}$

Demostración

Principales pasos en la demostración de la nulidad de la densidad de números primos (teorema de rarefacción de Legendre (1808)), sin utilizar el teorema de números primos.

Denotamos por el número primo de rango $k$ y por el conjunto de múltiplos de ; denotamos el conjunto de números naturales que no son divisibles por ningún número primo entre 2 y . Se muestra que los números primos siendo pairwise relativamente primos, la densidad es el producto de las densidades de los conjuntos : . Oro ; es una consecuencia del hecho de que (ver producto infinito ). Además, dado que un número primo nunca es múltiplo de otro, el conjunto contiene todos los números primos a partir de . Si $n$ es un número entero mayor o igual que , por lo tanto , tenemos , por lo tanto . Al tomar los límites superiores, obtenemos eso , esto para todo $k$ . Como , podemos deducir eso . $paquete}$ $M_k$ $paquete}$ ${\ Displaystyle A_ {k} = ^ {C} M_ {1} \ cap ^ {C} M_ {2} \ cap ... ^ {C} M_ {k}}$ $paquete}$ $Alaska$ ${\ Displaystyle ^ {C} M_ {1}, ^ {C} M_ {2}, ... ^ {C} M_ {k}}$ ${\ Displaystyle D (A_ {k}) = \ prod _ {i = 1} ^ {k} \ left (1 - {\ frac {1} {p_ {i}}} \ right)}$ ${\ Displaystyle \ lim _ {k \ rightarrow + \ infty} \ prod _ {i = 1} ^ {k} \ left (1 - {\ frac {1} {p_ {i}}} \ right) = 0}$ ${\ Displaystyle \ sum _ {k} {\ frac {1} {p_ {k}}} = + \ infty}$ $Alaska$ ${\ Displaystyle p_ {k + 1}}$ ${\ Displaystyle p_ {k + 1}}$ ${\ Displaystyle N_ {n} (A_ {k}) \ geqslant N_ {n} ({\ mathbb {P}}) - k}$ ${\ Displaystyle {\ frac {N_ {n} ({\ mathbb {P}})} {n}} \ leqslant {\ frac {N_ {n} (A_ {k})} {n}} + {k \ más de n}}$ ${\ Displaystyle {\ overline {\ lim}} _ {n \ rightarrow + \ infty} {\ frac {N_ {n} ({\ mathbb {P}})} {n}} \ leqslant D (A_ {k} )}$ ${\ Displaystyle \ lim _ {k \ rightarrow + \ infty} D (A_ {k}) = 0}$ ${\ Displaystyle {\ overline {\ lim}} {\ frac {N_ {n} ({\ mathbb {P}})} {n}} = 0 = D ({\ mathbb {P}})}$

Los conjuntos de números pares e impares tienen densidad 1/2. ${\ Displaystyle 2 \ mathbb {N} = \ {2n \ mid n \ in \ mathbb {N} \}}$ ${\ Displaystyle 2 \ mathbb {N} +1 = \ {2n + 1 \ mid n \ in \ mathbb {N} \}}$
De manera más general, el conjunto de valores de una secuencia aritmética entera , tiene por densidad la inversa de su razón, es decir $1 /$ $a$ . ${\ Displaystyle \ {an + b \ mid n \ in \ mathbb {N} \}}$
Si $a$ es un número real , el conjunto de partes enteras tiene una densidad de $1 /$ $a$ . $\ geqslant 1$ ${\ Displaystyle \ {\ left \ lfloor an \ right \ rfloor \ mid n \ in \ mathbb {N} \}}$
El conjunto de enteros sin un factor cuadrado tiene densidad (ver teorema de Cesàro ). ${\ Displaystyle 6 / \ pi ^ {2}}$
El conjunto de números abundantes tiene una densidad entre 0,2474 y 0,2480.
El conjunto (intervalos de números enteros) de números cuya escritura en base $b$ contiene un número impar de dígitos es un ejemplo de un conjunto sin densidad asintótica; de hecho, es de menor densidad y mayor densidad . ${\ Displaystyle A = \ bigcup \ limits _ {n = 0} ^ {\ infty} \ left [b ^ {2n}, b ^ {2n + 1} \ right [}$ ${\ Displaystyle {\ frac {1} {b + 1}}}$ ${\ Displaystyle {\ frac {b} {b + 1}}}$

Demostración

Cada conjunto tiene elementos. Entonces ${\ Displaystyle \ left [b ^ {2n}, b ^ {2n + 1} \ right [}$ ${\ Displaystyle (b-1) b ^ {2n}}$

${\ Displaystyle {\ underline {\ text {D}}} (A) = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} (b-1) {\ frac {1 + b ^ {2} + \ cdots + b ^ {2n-2}} {b ^ {2n}}} \ = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} {\ frac {b-1} {b ^ {2} -1}} {\ frac {b ^ {2n} -1} {b ^ {2n}}} \ = {\ frac {1} {b + 1}}}$

${\ Displaystyle {\ overline {\ text {D}}} (A) = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} (b-1) {\ frac {1 + b ^ {2} + \ cdots + b ^ {2n}} {b ^ {2n + 1}}} \ = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} {\ frac {b-1} {b ^ {2} -1}} {\ frac {b ^ {2n + 2} -1} {b ^ {2n + 1}}} \ = {\ frac {b} {b + 1}}}$

Sin embargo, este conjunto tiene una densidad logarítmica (ver más abajo) igual a 1/2 (de hecho, y hay esencialmente n términos de esta forma para sumar). ${\ Displaystyle \ sum _ {k = b ^ {2n}} ^ {b ^ {2n + 1} -1} 1 / k \ sim \ ln b}$

Los conjuntos (diferencia simétrica del conjunto anterior con ) y proporcionan un ejemplo de dos conjuntos que tienen una densidad de la que ni la intersección, ni la unión, ni las dos diferencias tienen densidad. ${\ Displaystyle B = A \, \ Delta \, 2 \ mathbb {N}}$ ${\ Displaystyle 2 \ mathbb {N}}$ ${\ Displaystyle C = 2 \ mathbb {N} +1}$

Demostración

${\ Displaystyle B = (A \ setminus {2 \ mathbb {N}}) \ cup (2 \ mathbb {N} \ setminus {A})}$ está formado por números impares que tienen un número impar de dígitos y números pares que tienen un número par de dígitos. Por lo tanto, su densidad media y $C$ .

Pero no tiene densidad (sus densidades inferior y superior son la mitad de las de $A$ ). también tiene densidades mitades inferior y superior de las de . ${\ Displaystyle B \ cap C = A \ setminus 2 \ mathbb {N}}$ ${\ Displaystyle B \ cup C = \, ^ {c} A \ setminus 2 \ mathbb {N}}$ ${\ Displaystyle ^ {c} A}$

${\ Displaystyle B \ setminus {C} = 2 \ mathbb {N} \ setminus {A}}$ y tampoco tengo uno. ${\ Displaystyle C \ setminus {B} = (2 \ mathbb {N} +1) \ setminus {A}}$

Otro ejemplo de conjunto sin densidad es el conjunto de números cuya escritura en base $b$ comienza con el dígito $c$ ( ). ${\ Displaystyle A = \ bigcup \ limits _ {n = 0} ^ {\ infty} \ left [cb ^ {n}, (c + 1) b ^ {n} \ right [}$ ${\ Displaystyle 1 \ leqslant c \ leqslant b-1}$

De hecho, es de menor densidad y mayor densidad (1/9 y 5/9, por ejemplo, para el número 1 en base 10). ${\ Displaystyle {\ frac {1} {c (b-1)}}}$ ${\ Displaystyle {\ frac {b} {(c + 1) (b-1)}}}$

Demostración

Cada conjunto tiene elementos. Entonces ${\ Displaystyle \ left [cb ^ {n}, (c + 1) b ^ {n} \ right [}$ $b ^ n$

${\ Displaystyle {\ underline {\ text {D}}} (A) = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} {\ frac {1 + b + \ cdots + b ^ {n-1}} {cb ^ {n}}} \ = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} {\ frac {b ^ {n} -1} {cb ^ {n} (b-1)}} \ = {\ frac {1} {c (b-1)}}}$

${\ Displaystyle {\ overline {\ text {D}}} (A) = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} {\ frac {1 + b + \ cdots + b ^ {n}} {(c + 1 ) b ^ {n}}} \ = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} {\ frac {b ^ {n + 1} -1} {(c + 1) b ^ {n} (b-1) }} \ = {\ frac {b} {(c + 1) (b-1)}}}$

Sin embargo, este conjunto tiene una densidad logarítmica (ver más abajo) igual a , en otras palabras, el conjunto de números enteros satisface una ley de Benford logarítmica. ${\ Displaystyle \ log _ {b} (1 + 1 / c)}$

Si es una secuencia igualmente distribuida en [0, 1] y si es la familia de conjuntos $(\ alpha _ {n}) _ {{n \ in \ mathbb {N}}}$ $(A_ {x}) _ {{x \ en [0,1]}}$ $A_ {x}: = \ {n \ in \ mathbb {N} \ mid \ alpha _ {n} <x \}$ entonces, por definición, $d ( A x ) = x$ para todo $x$ .

Otras definiciones

Densidad de banach

Una noción algo más débil de densidad es la de densidad de Banach ; dado , se define por $A \ subseteq {\ mathbb {N}}$

{\ displaystyle {\ text {D}} ^ {*} (A) = \ limsup _ {NM \ rightarrow \ infty} {\ frac {| A \ bigcap \ {M, M + 1, \ ldots, N \} |} {NM + 1}}}

Densidad de Schnirelmann

La densidad de Schnirelmann se define como el límite inferior del resultado ; aunque es muy sensible a los pequeños enteros de $A$ (es por ejemplo cero si $A$ no contiene 1 desde entonces ), tiene propiedades interesantes que lo hacen más útil que la densidad asintótica en la teoría de números aditivos . ${\ Displaystyle A \ subseteq \ mathbb {N ^ {*}}}$ ${\ Displaystyle \ left ({\ frac {N_ {n}} {n}} \ right)}$ ${\ Displaystyle N_ {1} = 0}$

Densidad logarítmica

Los conjuntos más irregulares se pueden medir por su densidad logarítmica , definida por : asignamos el peso 1 / k al entero k . ${\ displaystyle {\ text {D}} _ {\ log} (A) = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} {\ dfrac {\ sum _ {k \ in [1, n] \ cap A} { \ dfrac {1} {k}}} {{\ underset {k \ in [1, n]} {\ sum}} {\ dfrac {1} {k}}}}}$

Esta densidad se fusiona con la densidad asintótica cuando esta última existe, y hemos visto ejemplos anteriores de conjuntos sin densidad asintótica que tienen, sin embargo, una densidad logarítmica. Por tanto, podemos considerar que se trata de un proceso análogo a las transformaciones que permiten calcular la suma de una serie divergente .

Ejemplo

Cualquier parte $A$ tal que converja la serie armónica lacunar tiene densidad logarítmica cero. Este es el caso, por ejemplo, de los conjuntos de Kempner obtenidos manteniendo solo los números enteros que no comprenden una secuencia de dígitos determinada en una base determinada. ${\ Displaystyle \ sum _ {n \ in A} {\ dfrac {1} {n}}}$

Lo contrario es falso como lo demuestra el conjunto de números primos que tiene una densidad natural, por lo tanto logarítmica, cero, y cuya serie de inversos no converge.

Densidad zeta

Para cualquier real , definimos lo que sería imposible escribir para $s$ $= 1$ debido a la divergencia de la serie armónica . $s> 1$ ${\ Displaystyle {\ text {D}} _ {s} (A) = {\ dfrac {\ sum _ {n \ in A} {\ dfrac {1} {n ^ {s}}}} {{\ underset {n \ in \ mathbb {N} ^ {*}} {\ sum}} {\ dfrac {1} {n ^ {s}}}}}}$

La densidad zeta (del nombre de la función zeta ) se define por . De hecho, coincide con la densidad logarítmica. ${\ Displaystyle {\ underset {n \ in \ mathbb {N} ^ {*}} {\ sum}} {\ dfrac {1} {n ^ {s}}}}$ ${\ Displaystyle \ lim _ {s \ rightarrow 1} D_ {s} (A)}$

Densidad relativa y densidad analítica

Particularmente en el estudio de conjuntos de números primos, nos vemos llevados a definir la densidad natural relativa de ${\ mathbb P}$

{\ Displaystyle {\ text {D}} (A) = \ lim _ {s \ rightarrow 1} {\ frac {\ sum _ {p \ in A} p ^ {- s}} {- \ ln (s- 1)}}}

(que se fusiona con la densidad natural cuando esta última existe).

Ejemplo numérico

Designando por el número primo de rango $k$ , deducimos del hecho de que la densidad de los múltiplos de a $es$ igual a $1 /$ $a$ , la siguiente tabla: $paquete}$

		Densidad de enteros Divisible por $paquete}$	Densidad de enteros no divisible por $paquete}$	Densidad de enteros no divisible por , .., $p_1$ $paquete}$	Densidad de enteros divisibles por al menos una primera entre y $p_1$ $paquete}$
k	$paquete}$	${\ Displaystyle 1 / p_ {k}}$	${\ Displaystyle 1-1 / p_ {k}}$	${\ Displaystyle \ prod _ {i = 1} ^ {k} \ left (1 - {\ frac {1} {p_ {i}}} \ right)}$	${\ Displaystyle 1- \ prod _ {i = 1} ^ {k} \ left (1 - {\ frac {1} {p_ {i}}} \ right)}$
1	2	50,0%	50,0%	50,0%	50,0%
2	3	33,3%	66,7%	33,3%	66,7%
3	5	20,0%	80,0%	26,7%	73,3%
4	7	14,3%	85,7%	22,9%	77,1%
5	11	9,1%	90,9%	20,8%	79,2%
6	13	7,7%	92,3%	19,2%	80,8%
7	17	5,9%	94,1%	18,1%	81,9%
8	19	5,3%	94,7%	17,1%	82,9%
9	23	4,3%	95,7%	16,4%	83,6%
10	29	3,4%	96,6%	15,8%	84,2%
11	31	3,2%	96,8%	15,3%	84,7%
12	37	2,7%	97,3%	14,9%	85,1%
13	41	2,4%	97,6%	14,5%	85,5%
14	43	2,3%	97,7%	14,2%	85,8%
15	47	2,1%	97,9%	13,9%	86,1%
dieciséis	53	1,9%	98,1%	13,6%	86,4%
17	59	1,7%	98,3%	13,4%	86,6%
18	61	1,6%	98,4%	13,2%	86,8%
19	67	1,5%	98,5%	13,0%	87,0%
20	71	1,4%	98,6%	12,8%	87,2%
21	73	1,4%	98,6%	12,6%	87,4%
22	79	1,3%	98,7%	12,4%	87,6%
23	83	1,2%	98,8%	12,3%	87,7%
24	89	1,1%	98,9%	12,2%	87,8%
25	97	1,0%	99,0%	12,0%	88,0%

Esta tabla dice lo siguiente: la línea para $k = 2$ muestra que en términos casi matemáticos (casi porque una densidad no es una probabilidad) parece que un número entero tiene "una probabilidad entre tres" de ser divisible. Ni por 2 ni por 3, o, lo que equivale a lo mismo, "dos posibilidades en 3" de ser divisible por 2 o por 3 (o por ambos). En términos comunes, parece que "dos de cada tres números enteros son pares o múltiplos de 3."

Y de manera similar, mirando el resultado para $k = 25$ ( $p = 97$ ) parece que "el 88% de los enteros son divisibles por un número primo menor que 100".

Ver también

El teorema de Szeremedi , que establece que cualquier conjunto de densidad superior estrictamente positiva tiene progresiones aritméticas de cualquier orden.
Conjetura de Erdös sobre progresiones aritméticas

Enlace externo

Density , artículo sobre densidad asintótica en OEIS .

Notas

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(en) Dr. Jörn Steuding, " Teoría probabilística de números " , p. 9
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(en) W. Narkiewicz, Teoría de números , Polonia, World Scientific,1983( ISBN 9971-950-13-8 , leer en línea ) , p. 80 y 81
(de) H. Davenport , “ Über numeri abundantes ” , Preuss. Akad. Wiss. Sitzungsber. , vol. 27,1933, p. 830-837.
(in) Mark Deléglise , " Límites para la densidad de números enteros abundantes " , Experimental Mathematics , vol. 7, n o 21998, p. 137-143 ( leer en línea ).
Diaconis 1974 , p. 2
A. Fuchs y G. Letta, " El problema del primer dígito decimal para números primos ", The Foata Festschrift. Electron, J. Combin. 3, n ° 2 ,1996( leer en línea )
Ver (en) Andrew Granville y Greg Martin , " Carreras de números primos " , American Mathematical Monthly , vol. 113,2006, p. 1–33 ( JSTOR 27641834 , leer en línea )

Referencias

(fr) Este artículo está tomado parcial o totalmente del artículo de Wikipedia en inglés titulado " Densidad natural " ( consulte la lista de autores ) .
(en) Persi Diaconis , promedios débiles y fuertes en probabilidad y teoría de los números , Universidad de Harvard, coll. "Tesis",1974( leer en línea )
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(es) Jörn Steuding, " Teoría probabilística de números "
Gérald Tenenbaum , Introducción a la teoría de números analítica y probabilística , París, Belin,2012