Llamamos raíz de un polinomio real o complejo a raíz de un polinomio P ( X ) con una sola variable cuyos coeficientes son reales o complejos , es decir un número α, real o complejo, que satisface P (α) = 0. En otras palabras, una raíz de un polinomio real o complejo es una solución de una ecuación polinomial cuyos coeficientes se toman de ℝ o ℂ.
Las raíces de los polinomios de primer grado , segundo grado , grado 3 y grado 4 se expresan utilizando las cuatro operaciones habituales y las n - ésimas raíces . Salvo en casos especiales, esto no se generaliza a grados superiores, según el teorema de Abel-Ruffini . Para el grado 5, la solución general de Hermite implica funciones elípticas . Para ecuaciones de grados superiores, excepto en algunos casos especiales, solo queda el cálculo numérico , que también es útil incluso para los grados más pequeños. Entonces surgen los problemas de resolver estas ecuaciones, estimar las soluciones, determinar el signo de estas soluciones, resolver algoritmos y todos los problemas relacionados.
En el XIX XX siglo y la primera mitad del XX XX siglo , estos problemas a menudo se agrupan bajo el término "teoría de las ecuaciones" o "teoría de ecuaciones algebraicas", junto con otros, tales como los relacionados con la resolución de sistemas de ecuaciones lineales , o análisis de la resolución por radicales por la teoría de Galois .
La mayoría de los algoritmos conocidos para calcular una solución se basan en un cebador cercano a la solución buscada. Por tanto, surge la cuestión de determinar una región donde se puedan encontrar las soluciones.
A menudo, no es necesario conocer las soluciones con precisión. Una estimación de estas soluciones es suficiente, o incluso solo el número o el signo de estas soluciones, cuando no es un simple límite superior .
El propósito de este artículo es ofrecer una descripción general de los ingeniosos métodos para estimar estas soluciones, que a veces se han descubierto durante mucho tiempo.
A continuación, los polinomios considerados se dan en forma expandida según la fórmula .
El coeficiente es el coeficiente de la k- ésima potencia de la variable z .
El grado del polinomio P es igual a su coeficiente distinto de cero de rango más alto.
Si la variable considerada es real, se escribirá x .
Llamamos raíz de P a cualquier valor , real o complejo, tal que
El primer objeto de la teoría es el estudio de las relaciones entre los coeficientes y las raíces de un polinomio. Veremos que las relaciones entre los coeficientes y las raíces son cada vez más complicadas a medida que aumenta el grado del polinomio. Elemental en el primer grado, razonable en el segundo, la expresión de raíces en función de los coeficientes se vuelve más difícil con el tercer y cuarto grado, muy compleja en el quinto grado e inextricable más allá.
El polinomio de primer grado tiene por raíz .
El polinomio cuadrático admite dos raíces complejas determinadas por las fórmulas:
donde y las divisiones y la raíz cuadrada a realizar en el conjunto de números complejos.
En esta parte, consideramos un polinomio con coeficientes complejos cuyas raíces complejas buscamos. Según el teorema de d'Alembert-Gauss :
Cualquier polinomio de grado n con coeficientes complejos se descompone en un producto de n términos del primer grado que muestran las raíces complejas .
Hay varias demostraciones, una muy corta de las cuales usa una propiedad de funciones holomórficas dada por el teorema de Liouville (ver el artículo dedicado ).
Sin embargo, la demostración del teorema de d'Alembert-Gauss mediante el teorema de Liouville no proporciona ninguna información sobre la posición de las raíces complejas. Un segundo método viene dado por el teorema de Rouché :
Deje que f y g sea dos funciones holomorfas en un contorno cerrado γ que no se solapa y tal que para cualquier punto z de γ . Entonces, dentro de γ , f y g tienen el mismo número de ceros (contados con sus multiplicidades).
Deducimos en particular el siguiente teorema, más preciso que el teorema de Alembert-Gauss:
Deje que P sea un polinomio de grado n normalizado (el coeficiente de z n es 1) y A el módulo máximo de los otros coeficientes de P . Entonces P tiene exactamente n raíces (contados con sus multiplicidades) dentro del círculo con el centro 0 y el radio 1 + A .
DemostraciónLa demostración consiste en aplicar el teorema de Rouché a P y al polinomio z n que admite 0 como raíz de la multiplicidad n . En el círculo | z | = 1 + A , tenemos:
, de ahí el resultado.Corolario :
Sea P un polinomio de grado n escrito
y sean los dos números
.Las raíces de P están en la corona.
.La relación entre los coeficientes y las raíces es muy complicada. Por tanto, deberíamos esperar obtener resultados interesantes con hipótesis más sólidas. Este es el caso del siguiente teorema, debido a Kakeya y el caso particular de un corolario dado en 1893 por Eneström (de) .
Sea un polinomio con coeficientes reales tales que . Entonces las raíces complejas están fuera del disco unitario.
Similar a la estimación obtenida por el teorema de Rouché pero anterior a este último, este teorema establece un vínculo entre el caso de polinomios con coeficientes complejos y el caso de polinomios con coeficientes reales.
Sea P un polinomio de grado n escrito
y Q el polinomio asociado escrito
Sea r la única raíz positiva de la ecuación Q ( z ) = 0. Entonces todas las raíces de P tienen módulos menores o iguales a r.
Este teorema es en sí mismo una versión compleja de la estimación de Lagrange, un resultado que se dará en el caso real ( ver más abajo ).
Mientras que el teorema de Cauchy da solo un límite superior, el siguiente teorema da el límite inferior correspondiente, mientras mejora el resultado de Cauchy.
Mientras que el teorema de Cauchy y el teorema Grace (en) , Cohn mostró inicialmente que al menos una de las raíces de P era mayor que el módulo . Berwald (de) ha mejorado este resultado .
En las notaciones del teorema de Cauchy, sean las raíces complejas de P. Tenemos la desigualdad
En esta parte, consideramos un polinomio P con coeficientes reales cuyas raíces reales buscamos. Una consecuencia del teorema de d'Alembert-Gauss es que cualquier polinomio de grado n con coeficientes reales puede escribirse como el producto de polinomios de como máximo dos grados con coeficientes reales, los factores cuadráticos no tienen raíz real.
Si conocemos dos números reales a y b tales que y tales que , entonces existe (al menos) una raíz c en el polinomio derivado P ' :
Este teorema es un teorema de separación de las raíces de P y de P ' . Entre dos raíces de P siempre hay al menos una raíz de P ' .
Si P ( una ) y P ( b ) no tienen el mismo signo, existe al menos una raíz real c entre una y b .
" Sea P (x) un polinomio con coeficientes reales tales que los k coeficientes pertenecientes a las mayores potencias sean positivos o cero y llamando a G el mayor de los coeficientes negativos en valor absoluto y el coeficiente del término de mayor grado entonces todos las raíces reales, si las hay , son menores o iguales a
" DemostraciónConsideramos una x real positiva .
P ( x ) es entonces mayor o igual quede la suma de una serie geométrica. Al reducir al mismo denominador, tenemos Ahora, si x > 1, entonces Así que si se tiene y por lo tanto P ( x )> 0. Por lo tanto, si existe , una raíz de la ecuación es necesariamente menor queEsta regla hace que sea muy fácil encontrar un límite inferior para raíces negativas aplicando la regla a P (- x ), siempre que haya alguno.
Aplicando la regla al numerador de P (1 / x ) después de reducir al mismo denominador, encuentre una estimación de la raíz positiva más pequeña, si existe .
Nota: El teorema de Cauchy no es otra cosa que la adaptación al caso complejo de la estimación de Lagrange.
Ejemplo:O bien . Intentamos enmarcar las raíces positivas y negativas.
La aplicación del aumento de Lagrange da y G = 2 . Por otro lado, k = 3 . Entonces las raíces positivas son menores que . Calculemos P (1 / x ). Encontramos que el numerador espor lo tanto , G = 2 y k = 3 . Por tanto, la raíz positiva más pequeña, si la hay, es mayor que .Estimemos las raíces negativas de la misma manera: por lo tanto , G = 3 y k = 1 . Por lo tanto, tenemos que las raíces negativas son todas mayores que –1 - 3 = –4 .
por lo tanto , G = 3 y k = 1 . Cualquier raíz negativa es menor que –1 / (1 + 3/2) = –2/5 .
Un cálculo numérico da dos raíces, equivalentes aproximadamente a –2,7 y –1,2, y no hay ninguna raíz positiva .
Esta regla la dio René Descartes en el Libro III de su obra La Géométrie (1637). Su objeto es determinar el número de raíces positivas y negativas de un polinomio con coeficientes reales.
Descartes se expresa así , donde las raíces "reales" son las positivas, mientras que las raíces "falsas" son las negativas:
"También sabemos por esto cuántas raíces verdaderas puede haber y cuántas falsas en cada ecuación: es decir, puede haber tantas raíces verdaderas como los signos + y - estén allí para ser cambiados, y tantas falsas como haya. veces dos signos + o dos signos, que se suceden. "
Suponemos que el polinomio con una variable y coeficientes reales está ordenado en orden decreciente de exponentes.
Entonces, el número de raíces positivas del polinomio es igual al número de cambios de signo entre dos coeficientes distintos de cero posiblemente reducido por un múltiplo de 2 (para tener en cuenta las raíces complejas conjugadas que no se cuentan), siendo cada raíz positiva contado según su multiplicidad.
Al cambiar la variable x a (- x ), la regla permite encontrar el número de raíces negativas, a un múltiplo de 2, ya que hemos permutado las raíces positivas y negativas por la transformación.
Claramente, si el polinomio admite solo raíces reales, entonces la regla de Descartes da el número exacto de raíces positivas.
De la misma manera, se puede, por la regla de Descartes, determinar cuántas raíces reales son mayores que un valor c dado , mediante el cambio de la variable x transformada en xc en el polinomio.
Si transformamos x en - x , tenemos , lo que da dos cambios de signo. Entonces hay 2 o 0 raíces negativas.
Consideramos aquí no solo polinomios con coeficientes reales, sino también expresiones que se asemejan a polinomios con cualquier exponente real.
En un artículo publicado en 1883, Edmond Laguerre da una prueba de la regla de Descartes a partir del teorema de Rolle y esta prueba le permite concluir que la regla de los signos de Descartes se aplica incluso si los exponentes no son enteros y son números reales, lo que constituye una primera generalización de la regla de Descartes.
Luego, en el mismo artículo ( p. 106 ), Laguerre intenta obtener un incremento de la regla de Descartes:
Teorema de Laguerre : Dado el “polinomio” ordenado según las potencias crecientes de x , los exponentes pueden ser cualquier cosa menos reales.
El número de raíces positivas de la ecuación que son menores que una cantidad A se incrementa por el número de alternancias de la "secuencia" . Y si estos dos números difieren, su diferencia es un número par.
Esto sigue siendo propuesta cuando el número de términos está limitada, siempre que la serie compuesta de estos términos es convergente para x = A .
Se obtiene un caso especial interesante tomando A = 1.
Ejemplos de
ya sea digitalmente
Por lo tanto, hay tres alternancias (+ -; - +; + -) por lo tanto, tres raíces positivas como máximo. Una o tres raíces positivas. Comprobamos gráficamente que solo hay uno alrededor de 0.4473661675.
El teorema de Schur da directamente un límite superior para el número de raíces positivas.
Teorema de Schur :
“Si es un polinomio con coeficientes reales que admite m raíces reales positivas, entonces "Un caso particular es el siguiente teorema, debido a Laguerre:
"Si es un polinomio unitario de grado n, que tiene n raíces reales, entonces estas raíces están todas en el intervalo [a, b] donde ayb son las raíces del polinomio "
Newton había dado sin prueba en la Arithmetica Universalis un aumento en el número de raíces reales de una ecuación, que muchos matemáticos intentaron en vano demostrar, entre ellos MacLaurin, Waring y Euler. Finalmente fue en 1865 cuando Sylvester demostró esto.
El teorema de Gerschgorin se usa a menudo para dar estimaciones de las raíces de polinomios usando una matriz.
Teorema de Gershgorin :
“ Sea A una matriz de coeficientes complejos . Sea la suma de los módulos de los coeficientes no diagonales de la línea . Entonces los autovalores de A se incluyen en la unión de los discos definidos por
El mismo teorema ocurre en columnas. "
Teorema de ostrowski
“ Sea P un polinomio de grado n de la forma tal que
Todas las raíces de P están en el disco con centro 0 y radio (1 + √ 5 ) / 2 . "
Nota: tenga cuidado, el coeficiente de es cero.