Residuo cuadrático
En matemáticas , más precisamente en aritmética modular , un número natural q es un residuo cuadrático módulo p si tiene una raíz cuadrada en aritmética modular de módulo p . En otras palabras, q es un residuo cuadrático módulo p si existe un entero x tal que:
X2≡q(modificaciónpag){\ Displaystyle {x ^ {2}} \ equiv q {\ pmod {p}}}.
De lo contrario, decimos que q es un módulo p cuadrático sin residuos
Ejemplos de
Por ejemplo :
- módulo 4, los residuos cuadráticos son los números enteros congruentes con 2 2 ≡ 0 2 = 0 o con (± 1) 2 = 1 por lo tanto, los no residuos cuadráticos son aquellos congruentes con 2 o 3;
- módulo 2, cualquier número entero es un residuo cuadrático;
- módulo p , cualquier múltiplo de p es un residuo cuadrático. Por esta razón, algunos autores excluyen los múltiplos de p de la definición e incluso imponen que p y q sea primos entre sí .
Modulo cualquier entero
Modulo un entero n > 0 , la clase de x 2 depende solo de la de x , por lo que los residuos cuadráticos son los residuos obtenidos en la división euclidiana de x 2 por n variando x en , o en cualquier conjunto de n enteros consecutivos, como ( es decir, d. si n es par y si n es impar).
{0,1,...,no-1}{\ Displaystyle \ left \ {0,1, \ dots, n-1 \ right \}}{⌊-no2⌋+1,⌊-no2⌋+2,...,⌊no2⌋}{\ Displaystyle \ left \ {\ left \ lfloor {\ frac {-n} {2}} \ right \ rfloor +1, \ left \ lfloor {\ frac {-n} {2}} \ right \ rfloor +2 , \ dots, \ left \ lfloor {\ frac {n} {2}} \ right \ rfloor \ right \}} {-no2+1,...,no2}{\ Displaystyle \ left \ {- {\ frac {n} {2}} + 1, \ dots, {\ frac {n} {2}} \ right \}}{-no-12,...,no-12}{\ Displaystyle \ left \ {- {\ frac {n-1} {2}}, \ dots, {\ frac {n-1} {2}} \ right \}}
Incluso podemos limitarnos a , ya que .
X∈{0,1,...,⌊no2⌋}{\ Displaystyle x \ in \ left \ {0,1, ..., \ left \ lfloor {\ frac {n} {2}} \ right \ rfloor \ right \}}(-X)2=X2{\ Displaystyle \ left (-x \ right) ^ {2} = x ^ {2}}
Además, 0 y 1 son siempre residuos cuadráticos.
Ejemplo:
La siguiente tabla de residuos cuadráticos de módulo 10 muestra bien la simetría y muestra a qué podemos restringirnos .
X∈{0,1,...,5}{\ Displaystyle x \ in \ {0,1, ..., 5 \}}
X-4-3-2-1012345X26941014965{\ Displaystyle {\ begin {array} {| c | c | c | c || c | c | c |} x & -4 & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\\ hline x ^ {2} & {\ color {magenta} 6} & {\ color {cyan} 9} & {\ color {blue} 4} & {\ color {green} 1} & {\ color {red} 0} & {\ color {green} 1} & {\ color {blue} 4} & {\ color {cyan} 9} & {\ color {magenta} 6} & {\ color {brown} 5 } \ end {matriz}}}
Deje una y ayb dos números enteros privilegiada entre ellos. Un entero x es un residuo cuadrático mod ab si (y por supuesto solo si) es un residuo cuadrático de mod a y mod b .
X{\ Displaystyle x}
Demostración
Si y , sea (según el teorema chino del residuo ) un número entero tal que y . Entonces, y por lo tanto (según el lema de Gauss ) .
X≡tu2modificacióna{\ Displaystyle x \ equiv u ^ {2} {\ bmod {a}}}X≡v2modificaciónB{\ Displaystyle x \ equiv v ^ {2} {\ bmod {b}}}w{\ Displaystyle w}w≡tumodificacióna{\ Displaystyle w \ equiv u {\ bmod {a}}}w≡vmodificaciónB{\ Displaystyle w \ equiv v {\ bmod {b}}}X≡w2modificacióna{\ Displaystyle x \ equiv w ^ {2} {\ bmod {a}}}X≡w2modificaciónB{\ Displaystyle x \ equiv w ^ {2} {\ bmod {b}}}X≡w2modificaciónaB{\ Displaystyle x \ equiv w ^ {2} {\ bmod {ab}}}
Esta propiedad permite reducir la determinación de los residuos cuadráticos módulo cualquier entero a la de los residuos módulo las potencias de los números primos que aparecen en su descomposición .
Módulo un número primo impar
Sea p un número primo impar. Para cualquier número entero n , el símbolo de Legendre ( n / p ) vale, por definición:
(nopag)={0 Si no es divisible por pag+1 Si no no es divisible por pag y es un módulo de residuo cuadrático pag-1 Si no no es un residuo módulo cuadrático pag.{\ Displaystyle \ left ({\ frac {n} {p}} \ right) = {\ begin {cases} \; \; \, 0 & {\ text {si}} n {\ text {es divisible por} } p \\ + 1 & {\ text {si}} n {\ text {no es divisible por}} p {\ text {y es un módulo de residuo cuadrático}} p \\ - 1 & {\ text {si} } n {\ text {no es un módulo de residuo cuadrático}} p. \ end {cases}}}De acuerdo con el criterio de Euler , es congruentes módulo p a n ( p -1) / 2 . El lema de Gauss proporciona otra expresión.
La ley cuadrática de reciprocidad nos permite calcular (–1 / p ), (2 / p ) y, si q es otro número primo impar, ( q / p ) en función de ( p / q ). Proporciona, por ejemplo, para un entero n dado, un criterio sobre el número primo p en términos de clases de congruencia módulo 4 n , que determina si n es un residuo cuadrático módulo p . El teorema de la progresión aritmética permite deducir que si n no es un cuadrado perfecto , existe una infinidad de primos módulo de los cuales n no es un residuo cuadrático, y que para cualquier conjunto finito existe una infinidad de números primos tales que cada elemento de es un cuadrado .
S⊂Z{\ Displaystyle S \ subconjunto \ mathbb {Z}}pag{\ Displaystyle p}S{\ Displaystyle S}modificaciónpag{\ Displaystyle {\ bmod {p}}}
Módulo 2 r con r ≥ 3, los residuos cuadráticos son 0 y los enteros de la forma 4 k (8 m + 1).
Para p primo impar, cualquier entero no divisible por p que sea un mod cuadrado p también es un mod cuadrado p r - de hecho, el grupo de unidades (ℤ / p r ℤ) × de ℤ / p r ℤ es cíclico , generado por [α (1 + p ) mod p r ] donde [α mod p ] es un generador de (ℤ / p ℤ) × , o si [(α (1 + p )) s mod p ] = [α s mod p ] es un cuadrado, entonces s es par - y los residuos cuadráticos mod p r son p k n con k ≥ r , o ( n / p ) = 1 y k par < r .
Localización
Sea p un número primo impar. El número entero más pequeño n no es una ecuación cuadrática de módulo residuo p cheques e incluso si , .
no<1+pag{\ Displaystyle n <1 + {\ sqrt {p}}}pag≢1(modificación8){\ Displaystyle p \ not \ equiv 1 {\ pmod {8}}}no<pag25+12pag15+33{\ Displaystyle n <p ^ {\ frac {2} {5}} + 12p ^ {\ frac {1} {5}} + 33}
De manera más general, conjeturamos que para todos , para cualquier número primo p suficientemente grande, este entero n es menor que .
ε>0{\ Displaystyle \ varepsilon> 0}pagε{\ displaystyle p ^ {\ varepsilon}}
Notas y referencias
(fr) Este artículo está tomado parcial o totalmente del artículo de Wikipedia en
inglés titulado
" Residuo cuadrático " ( consulte la lista de autores ) .
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Gauss , § 96 y 105.
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(en) Kenneth Ireland y Michael Rosen , Una introducción clásica a la teoría de números moderna , Springer , al. " GTM " ( n o 84);1990( leer en línea ) , pág. 50.
-
(en) Steve Wright, Residuos cuadráticos y no residuos: temas seleccionados Springer al. "Lecture Notes in Mathematics" ( n o 2171),2016( arXiv 1408.0235 , leer en línea ), Teoremas 4.2 y 4.3, y “ Patrones de residuos y no residuos cuadráticos para infinitos números primos ”, J. Teoría de números , vol. 123, n o 1,2007, p. 120-132 ( DOI 10.1016 / j.jnt.2006.06.003 ). Para una generalización simultánea de estos dos teoremas, vea este ejercicio corregido de la lección "Introducción a la teoría de números" en Wikiversidad .
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Pascal Boyer, pequeño compañero de números y sus aplicaciones , París, Calvage y Mounet,2019, 648 p. ( ISBN 978-2-916352-75-6 ) , Aritmética de ℤ, cap. I.3.2 (“Residuos cuadráticos: aplicaciones”), pág. 47-49.
-
Para obtener una demostración sin el teorema de la progresión aritmética, consulte (para n ∈ ℕ) Irlanda y Rosen 1990 , p. 57-58 (cap. 5, § 2, th. 3) o (para n ∈ ℤ) esta tarea corregida de la lección "Introducción a la teoría de números" en Wikiversity .
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Sobre cuestiones relacionadas, consulte el " teorema Grunwald-Wang " y (en) " ¿Existe un número no cuadrado qui es el residuo cuadrático de cada prima? » , En MathOverflow .
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Más precisamente, la densidad asintótica relativa D (en el conjunto de números primos) del conjunto infinito de soluciones es distinta de cero y se puede expresar simplemente: reducimos fácilmente (eliminando de S los elementos redundantes) al caso donde no el producto de los elementos de S es un cuadrado aparte del producto vacío , y demostramos que entonces, D = 2 - | S | , usando la versión cuantitativa del teorema de progresión aritmética : ver Wright 2016 (th. 4.9) o (en) R. Balasubramanian (en) , F. Luca y R. Thangadurai, “ Sobre el grado exacto de sobre ” , Proc. Amargo. Matemáticas. Soc. , vol. 138,pag{\ Displaystyle p} Q(a1,a2,...,aℓ){\ Displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {a_ {1}}}, {\ sqrt {a_ {2}}}, \ ldots, {\ sqrt {a _ {\ ell}}})}Q{\ Displaystyle \ mathbb {Q}}2010, p. 2283-2288 ( DOI 10.1090 / S0002-9939-10-10331-1 ), o la prueba (mucho más simple) del ejercicio corregido en Wikiversity ya mencionado.
Ver también
Artículos relacionados
enlaces externos
- (en) Eric W. Weisstein , " Residuo cuadrático " , en MathWorld
- (en) Walter D. Stangl , “ Contar cuadrados en ℤ n ” , Matemáticas. revista , vol. 69, n o 4,1996, p. 285-289 ( leer en línea )
-
CF Gauss , Arithmetic Research ( leer en línea ), § 101 y 102
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">