Número de Markov

En matemáticas , un número de Markov es un entero positivo x , y o z que es parte de una solución de la ecuación diofántica de Markov:

{\ Displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = 3xyz. \,}

Los números de Markov fueron nombrados en honor al matemático ruso Andrei Markov .

Listado

Primes Markov (continuación A002559 de OEIS ) son 1 , 2 , 5 , 13 , 29 , 34 , 89 , 169 , 194 , 233 , 433 , 610 , etc. que aparecen como las coordenadas de los triples de Markov (1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 5), (1, 5, 13), (2, 5, 29), (1, 13, 34), (1, 34, 89), (2, 29, 169), (5, 13, 194), (1, 89, 233), (5, 29, 433), (89, 233, 610), etc.

Propiedades

La simetría de la ecuación de Markov permite reordenar las coordenadas, por lo que un triplete de Markov ( a , b , c ) se puede normalizar, como antes, de modo que a ≤ b ≤ c . Excepto en los dos tripletes más pequeños, los tres números enteros de un triplete de Markov son distintos.

La conjetura de unicidad predice que para un número de Markov dado c , existe exactamente una solución normalizada con c como su elemento más grande.

Si ( x , y , z ) es un triplete de Markov, entonces ( x , y , 3 xy - z ) también. Si no cambiamos el orden de los miembros antes de volver a aplicar la transformación, encontramos el triplete inicial. Pero si, por ejemplo, a partir de (1, 1, 2), intercambiamos y y z antes de cada iteración de la transformación, obtenemos tripletes de números de Fibonacci. Del mismo triplete, pero mediante el canje de x y z antes de cada iteración, se obtiene tríos de números Pell.

Más precisamente, los tripletes de Markov normalizados se pueden organizar en un árbol binario infinito: los vecinos de un triplete normalizado se obtienen modificando una de las tres coordenadas como se indicó anteriormente, y luego renormalizando el triplete obtenido. Los números de Markov de las regiones adyacentes a la región de 2 son los números de Pell de índices impares (o nuevamente: los números n tales que 2 n 2 - 1 es un cuadrado, A001653 ), y los números de Markov de las regiones adyacentes a ese de 1 son los números de Fibonacci de índices impares ( A001519 ). Por tanto, existe una infinidad de tripletes de Markov de la forma

{\ Displaystyle (1, F_ {2n-1}, F_ {2n + 1}),}

donde F x es el x- ésimo número de Fibonacci. Asimismo, existe una infinidad de tripletes de Markov de la forma

{\ Displaystyle (2, P_ {2n-1}, P_ {2n + 1}),}

donde P x es el x- ésimo número de Pell.

Después de A030452 de OEIS, enumere los números de Markov que aparecen en soluciones donde uno de los dos términos es 5.

Los tres números de un triplete de Markov son siempre primos entre sí, pero no siempre son primos . Los números primos de Markov son 2, 5, 13, 29, 89, 233, etc. ( A178444 ). Son densidad cero dentro de los números de Markov.

En 1982 , Don Zagier conjeturó que el n -ésimo número de Markov está dado asintóticamente por

{\ Displaystyle m_ {n} = {\ tfrac {1} {3}} e ^ {C {\ sqrt {n}} + o (1)} \ quad {\ text {with}} C = 2,3523418721 \ ldots}

Además, demostró que x 2 + y 2 + z 2 = 3 xyz + 4/9, una aproximación extremadamente buena de la ecuación diofántica original, es equivalente af ( x ) + f ( y ) = f ( z ) con f ( t ) = arcosh (3 t / 2). La conjetura fue demostrada por Greg McShane e Igor Rivin (en) en 1995, mediante técnicas derivadas de la geometría hiperbólica .

El n- ésimo número de Lagrange se puede calcular a partir del n- ésimo número de Markov con la fórmula

{\ Displaystyle L_ {n} = {\ sqrt {9- {4 \ over {m_ {n}} ^ {2}}}}.}

Notas y referencias

(fr) Este artículo está tomado parcial o totalmente del artículo de Wikipedia en inglés titulado " Número de Markov " ( consulte la lista de autores ) .

(en) Jean Bourgain , Gamburd Alex y Peter Sarnak , " Markoff Triples and Strong Approximation "2015( arXiv 1505.06411 ) .
(en) Don B. Zagier, "Sobre el número de números de marcación a continuación se da un límite", Matemáticas. Comp. , Vuelo. 39, n o 160, 1982 p. 709-723 .
(in) Greg McShane e Igor Rivin, " Las curvas simples son toros hiperbólicos " , CR Acad. Sci. París , i. Math., Vol. 320, n o 12,1995.