Matriz diagonal
En álgebra lineal , una matriz diagonal es una matriz cuadrada cuyos coeficientes fuera de la diagonal principal son cero. Los coeficientes de la diagonal pueden ser cero o no.
Una matriz diagonal es una matriz que corresponde a la representación de un endomorfismo diagonalizable en una base de vectores propios . La matriz de un endomorfismo diagonalizable es similar a una matriz diagonal.
Cualquier matriz diagonal es simétrica , normal y triangular . La matriz identidad I n es diagonal.
Definición
Se dice que una matriz cuadrada es diagonal si:
D=(DI,j)1≤I,j≤no{\ Displaystyle D = (d_ {i, j}) _ {1 \ leq i, j \ leq n}}
∀(I,j)∈[[1,no]]2, I≠j ⇒ DI,j=0.{\ Displaystyle \ forall (i, j) \ in [\! [1, n] \!] ^ {2}, \ i \ neq j \ \ Rightarrow \ d_ {i, j} = 0.}Ejemplos de
Las siguientes matrices son diagonales:
(10000I0000-10000-I),(10000000-3),(0001),(1).{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \ mathrm {i} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - \ mathrm {i} \ end {pmatrix}}, \ quad {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 \ \ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -3 \ end {pmatrix}}, \ quad {\ begin {pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}}, \ quad {\ begin {pmatrix} 1 \ end {pmatrix}}.}Por otro lado, las siguientes matrices no son diagonales:
(000100-100I001000),(10002100-3),(0100).{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & \ mathrm {i} & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \ end {pmatrix}}, \ quad {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & - 3 \ end {pmatrix}}, \ quad {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 0 y 0 \ end {pmatrix}}.}Clasificación
Dado que una matriz diagonal está determinada completamente por la lista de sus elementos diagonales, a menudo se adopta la siguiente notación más concisa:
diag(a1,a2,...,ano)=(a10...00a2⋱⋮⋮⋱⋱00...0ano).{\ Displaystyle \ operatorname {diag} (a_ {1}, a_ {2}, \ ldots, a_ {n}) = {\ begin {pmatrix} a_ {1} & 0 & \ ldots & 0 \\ 0 & a_ {2} & \ ddots & \ vdots \\\ vdots & \ ddots & \ ddots & 0 \\ 0 & \ ldots & 0 & a_ {n} \ end {pmatrix}}.}Usos
Las matrices diagonales aparecen en casi todas las áreas del álgebra lineal. La multiplicación de matrices diagonales es muy sencilla; Además, si una matriz interesante puede ser reemplazada de alguna manera por una matriz diagonal, entonces los cálculos que la involucran serán más rápidos y la matriz más fácil de almacenar en la memoria. Un método para hacer que algunas matrices sean diagonales es la diagonalización .
Una matriz casi diagonal (entonces se dice que es una matriz diagonal dominante ) se puede invertir, sujeta a la no intersección de sus círculos de Gershgorin .
Una matriz diagonal de orden n con coeficientes en K naturalmente tiene vectores propios (los vectores de la base canónica de K n ) y sus coeficientes diagonales son los valores propios asociados.
Si una matriz normal es triangular, entonces es diagonal.
Una matriz compleja es normal si y solo si es unitariamente similar a una matriz diagonal.
Véase también la descomposición de valores singulares , según la cual cualquier matriz compleja (no necesariamente cuadrada) es unitariamente equivalente a una matriz diagonal positiva alineada con ceros.
Propiedades
Multiplicación
- Si es una matriz, entonces:
METRO{\ Displaystyle M}no×metro{\ Displaystyle n \ times m}
-
diag(a1,...,ano)METRO{\ Displaystyle \ operatorname {diag} (a_ {1}, \ dots, a_ {n}) M}se deduce de multiplicar, para todos desde hasta , la -ésima línea de por ;METRO{\ Displaystyle M}I{\ Displaystyle i}1{\ Displaystyle 1}no{\ Displaystyle n}I{\ Displaystyle i}METRO{\ Displaystyle M}aI{\ Displaystyle a_ {i}}
-
METROdiag(B1,...,Bmetro){\ Displaystyle M \ operatorname {diag} (b_ {1}, \ dots, b_ {m})}se deduce de multiplicar, para todo desde hasta , la -ésima columna de por .METRO{\ Displaystyle M}j{\ Displaystyle j}1{\ Displaystyle 1}metro{\ Displaystyle m}j{\ Displaystyle j}METRO{\ Displaystyle M}Bj{\ Displaystyle b_ {j}}
- En particular, diag(a1,...,ano)diag(B1,...,Bno)=diag(a1B1,...,anoBno){\ Displaystyle \ operatorname {diag} (a_ {1}, \ dots, a_ {n}) \ operatorname {diag} (b_ {1}, \ dots, b_ {n}) = \ operatorname {diag} (a_ { 1} b_ {1}, \ dots, a_ {n} b_ {n})}
por lo tanto .∀k∈NO∗diag(a1,...,ano)k=diag(a1k,...,anok){\ Displaystyle \ forall k \ in \ mathbb {N} ^ {*} \ quad \ operatorname {diag} (a_ {1}, \ dots, a_ {n}) ^ {k} = \ operatorname {diag} (a_ {1} ^ {k}, \ dots, a_ {n} ^ {k})}
- Para cualquier anillo conmutativo A , las matrices diagonales de orden n forman una subálgebra conmutativa deMETROno(A){\ Displaystyle \ mathrm {M} _ {n} (A)}
En otras palabras, para todas las matrices diagonales y tenemos:D=diag((DI)1≤I≤no){\ Displaystyle D = \ operatorname {diag} ((d_ {i}) _ {1 \ leq i \ leq n})}mi=diag((miI)1≤I≤no){\ Displaystyle E = \ operatorname {diag} ((e_ {i}) _ {1 \ leq i \ leq n})}
- ∀(λ,μ)∈A2λD+μmi=diag((λDI+μmiI)1≤I≤no){\ Displaystyle \ forall (\ lambda, \ mu) \ in A ^ {2} \ quad \ lambda D + \ mu E = \ operatorname {diag} ((\ lambda d_ {i} + \ mu e_ {i}) _ {1 \ leq i \ leq n})}
- Dmi=miD=diag((DImiI)1≤I≤no){\ Displaystyle DE = ED = \ operatorname {diag} ((d_ {i} e_ {i}) _ {1 \ leq i \ leq n})}
Determinando
El determinante de una matriz diagonal es igual al producto de sus elementos diagonales:
det(diag(a1,a2,...,ano))=|a10...00a2⋱⋮⋮⋱⋱00...0ano|=∏k=1noak{\ Displaystyle \ det (\ operatorname {diag} (a_ {1}, a_ {2}, \ ldots, a_ {n})) = {\ begin {vmatrix} a_ {1} & 0 & \ ldots & 0 \ \ 0 & a_ {2} & \ ddots & \ vdots \\\ vdots & \ ddots & \ ddots & 0 \\ 0 & \ ldots & 0 & a_ {n} \ end {vmatrix}} = \ prod _ {k = 1} ^ {n} a_ {k}}
Reversibilidad
De acuerdo con la expresión de los productos de una matriz diagonal por cualquier matriz ( ver arriba ), una matriz diagonal con coeficientes en un anillo unitario A (no necesariamente conmutativa) es invertible en si y solo si todos son invertibles en A (es decir, no -cero, si A es un campo ) y en este caso,
diag(a1,a2,...,ano){\ Displaystyle \ operatorname {diag} (a_ {1}, a_ {2}, \ dots, a_ {n})} METROno(A){\ Displaystyle \ mathrm {M} _ {n} (A)}aI{\ Displaystyle a_ {i}}
diag(a1,a2,...,ano)-1=diag(1/a1,1/a2,...,1/ano){\ Displaystyle \ operatorname {diag} (a_ {1}, a_ {2}, \ dots, a_ {n}) ^ {- 1} = \ operatorname {diag} (1 / a_ {1}, 1 / a_ { 2}, \ dots, 1 / a_ {n})}.
Esto hace posible, para una matriz diagonal invertible, extender a los exponentes enteros relativos la regla para calcular las potencias vista anteriormente.
Matriz escalar
Una matriz escalar es una matriz diagonal (con coeficientes en un anillo ) de la cual todos los coeficientes diagonales son iguales, es decir de la forma λ I n donde λ es un escalar y I n la matriz identidad de orden n .
En otras palabras, es una matriz escalar si D es cuadrado y si:
D=(aI,j){\ Displaystyle D = (a_ {i, j})}
aI,j={λSi I=j0Si I≠j{\ Displaystyle a_ {i, j} = {\ begin {cases} \ lambda & {\ text {si}} i = j \\ 0 & {\ text {si}} i \ neq j \ end {cases}} }
es decir, todos los elementos de la diagonal principal son iguales y todos los demás elementos son cero.
Es la matriz en cualquier base de la escala vectorial de razón .
λ{\ Displaystyle \ lambda}
Si K es un cuerpo conmutativo, el centro de la grupo lineal GL ( n , K ) se forma escalares no cero matrices en n filas y n columnas y con coeficientes en K . Más en general, si A es un anillo unitario, el GL centro ( n , A ) está formada de distintas de cero matrices escalares de tamaño n coeficientes en el centro de A .
Notas y referencias
-
N. Bourbaki , Álgebra , cap. 2, París, 1970, pág. II.151.
-
Por ejemplo, véase (en) JJ Rotman, Una Introducción a la teoría de grupos , 4 ª edición, edición de 1999, el Teorema 8.9, p. 222.
-
(en) VP Platonov , "Grupo lineal general" en Michiel Hazewinkel , Encyclopedia of Mathematics , Springer ,2002( ISBN 978-1556080104 , leer en línea ).
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">