Diagonalización

En matemáticas , la diagonalización es un proceso de álgebra lineal que permite simplificar la descripción de ciertos endomorfismos de un espacio vectorial , en particular de ciertas matrices cuadradas . Consiste en encontrar y aclarar una base del espacio vectorial formado por autovectores , cuando existe. En dimensión finita, la diagonalización equivale a describir este endomorfismo utilizando una matriz diagonal .

Por tanto, este proceso se reduce a una reducción máxima del endomorfismo, es decir, a una descomposición del espacio vectorial en una suma directa de líneas vectoriales estables por endomorfismo. En cada una de estas líneas, el endomorfismo se reduce a una homotecia . La diagonalización de un endomorfismo permite un cálculo rápido y sencillo de sus potencias y de su exponencial , lo que permite expresar numéricamente ciertos sistemas dinámicos lineales, obtenidos por iteración o por ecuaciones diferenciales .

Método

A veces es necesario calcular el polinomio característico de la matriz, para determinar sus valores propios y los subespacios propios asociados:
Porque , el polinomio característico es , donde es el indeterminado y I n es la matriz identidad de . Los autovalores λ i son las raíces de , por lo que hay como máximo n autovalores de multiplicidad m i . Luego, se determina, para cada valor propio, el subespacio propio que está asociado con él: $M \ en M_ {n} (K)$ ${\ Displaystyle \ chi _ {M} (X) = {\ rm {det}} (XI_ {n} -M)}$ $X$ $M_n (K)$
$\ chi _ {M}$
$E _ {{\ lambda _ {i}}} = {{\ rm {Ker}}} (M- \ lambda _ {i} I_ {n}).$ La matriz es diagonalizable solo si la dimensión de cada subespacio propio E λ i es igual a la multiplicidad m i del autovalor λ i , lo que significa que para cada uno tenemos una base de m i autovectores que l 'denotamos por X i, j , 1 ≤ j ≤ m yo . Entonces existe una matriz invertible U tal que U −1 MU es igual a una matriz diagonal D cuyos coeficientes diagonales son los λ i repetidos m i veces y U es la matriz cuyas columnas son los vectores X i, j (l 'orden no no importa, pero si tenemos el vector X i, j en la k -ésima columna de U , entonces tenemos el autovalor λ i en la k -ésima columna de D ). ${\ textstyle E _ {{\ lambda _ {i}}}}$
También es posible determinar directamente los valores propios y las bases de los subespacios propios asociados. La matriz M es diagonalizable si y solo si la suma de las dimensiones de los diversos subespacios propios es igual an . Si la matriz es diagonalizable, entonces existe una matriz P invertible que se obtiene colocando una al lado de la otra, las columnas adecuadas forman una base de cada uno de los subespacios, y la matriz D = P −1 MP es entonces diagonal. La dimensión de la espacio característico asociado con un valor propio corresponde a la cantidad de veces que este último se repite en la diagonal de la matriz diagonal D similar a la matriz M .
Un endomorfismo u que tiene solo un número finito de autovalores (que es siempre el caso en dimensión finita) es diagonalizable si y solo si es cancelado por un polinomio dividido con raíces simples . Además, los proyectores en los subespacios adecuados se expresan como polinomios en u (ver Lema de núcleos ).

Ejemplos de

Primer ejemplo

Considere la matriz:

A = {\ begin {pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 2 & -4 & 2 \ end {pmatrix}}.

Esta matriz admite como valores propios :

\ lambda _ {1} = 3, \ quad \ lambda _ {2} = 2, \ quad \ lambda _ {3} = 1.

Así, A, que es de tamaño 3, tiene 3 valores propios distintos, por lo que es diagonalizable.

Si queremos diagonalizar A , necesitamos determinar los vectores propios correspondientes. Hay por ejemplo:

v_ {1} = {\ begin {pmatrix} 1 \\ 1 \\ - 2 \ end {pmatrix}}, \ quad v_ {2} = {\ begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \ end {pmatrix }}, \ quad v_ {3} = {\ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \\ - 2 \ end {pmatrix}}.

Podemos verificarlo fácilmente . $Av_ {k} = \ lambda _ {k} v_ {k}$

Ahora sea P la matriz que tiene estos autovectores como columnas:

P = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ - 2 & 1 & -2 \ end {pmatrix}}.

Entonces " P diagonaliza A ", como muestra un simple cálculo:

P ^ {{- 1}} AP = {\ begin {pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 2 & -4 & 2 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ - 2 & 1 & - 2 \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix}}.

Observe que los valores λ k aparecen en la diagonal de la matriz en el mismo orden que hemos colocado columnas específicas a la forma P .

Segundo ejemplo

Es $A = {\ begin {pmatrix} 0 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \ end {pmatrix}} \ in M_ {3} (\ mathbb {R})$

$\ chi _ {A} (T) = \ operatorname {det} (TI_ {3} -A) = {\ begin {vmatrix} T & -3 & 1 \\ - 2 & T + 1 & -1 \\ 0 & 0 & T-2 \ end {vmatrix}} = (T-2) ^ {2} (T + 3)$ (ver el cálculo de un determinante )

Entonces los valores propios son:

2 de multiplicidad 2,
–3 de multiplicidad 1.

Cálculo de los subespacios propios:

Cálculo de E 2 : Buscamos tal que: $X = {\ begin {pmatrix} x_ {1} \\ x_ {2} \\ x_ {3} \ end {pmatrix}}$ ${\ textstyle (A-2I_ {3}) X = 0}$

Oro :

$(A-2I_ {3}) X = 0 \ Leftrightarrow {{\ begin {pmatrix} -2 & 3 & -1 \\ 2 & -3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \ end {pmatrix}}} { {\ begin {pmatrix} x_ {1} \\ x_ {2} \\ x_ {3} \ end {pmatrix}}} = 0 \ Leftrightarrow -2x_ {1} + 3x_ {2} -x_ {3} = 0$

Entonces ${\ displaystyle E_ {2} = \ operatorname {Vect} \ left \ {{\ begin {pmatrix} 3 \\ 2 \\ 0 \ end {pmatrix}}, {\ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \\ - 2 \ end {pmatrix}} \ right \}}$

Procedemos de la misma forma para E –3 y obtenemos:

$E _ {{- 3}} = \ operatorname {Vect} \ left \ {{\ begin {pmatrix} 1 \\ - 1 \\ 0 \ end {pmatrix}} \ right \}$

Tenemos: y , por tanto, esta matriz es diagonalizable. $\ operatorname {dim} (E_ {2}) = 2 \,$ $\ operatorname {dim} (E _ {{- 3}}) = 1 \,$

Una posible diagonalización es :, con $B = U ^ {{- 1}} AU = {{\ begin {pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & {- 3} \ end {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle U = {\ begin {pmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & -1 \\ 0 & -2 & 0 \ end {pmatrix}}.}$

Proyector

Sea (en cualquier dimensión) p un proyector , es decir, un endomorfismo idempotente : p 2 = p . Está cancelado por el polinomio X 2 - X = ( X - 1) X , que está dividido y tiene raíces simples. Por tanto, es diagonalizable, de valores propios 1 y 0. Los proyectores en los dos correspondientes eigen sub-espacios ( adicional uno de los otros) son p y ID - p . Si el espacio está normalizado (o más generalmente si es un espacio vectorial topológico ) y si p es continuo , estos dos subespacios son, por tanto, incluso topológicos adicionales .

Simetría

Siempre en cualquier dimensión, sea s una simetría , es decir un endomorfismo involutivo : s 2 = id. Se cancela por el polinomio X 2 - 1 = ( X - 1) ( X + 1) que se divide, y con raíces simples en cuanto el campo de los escalares tiene una característica diferente de 2. Es por tanto en este caso diagonalizable, siendo sus dos autovalores (para los autovalores 1 y –1) los (para los autovalores 1 y 0) del proyector p = ( s + id) / 2.

Por ejemplo, en el espacio ℒ ( H ) de operadores acotados en un espacio de Hilbert H en K = ℝ o ℂ , la simetría que a cada operador asocia su adjunto es siempre ℝ-lineal, y diagonalizable como tal : los operadores Hermitians y antihermitians forman dos subespacios vectoriales reales adicionales (topológicos). (Cuando H es de dimensión finita n sobre K , una escritura matricial muestra que sus dimensiones son respectivamente iguales an ( n + 1) / 2 y n ( n - 1) / 2 si H es euclidiana , y ambas iguales an 2 si H es hermitiano .)

Límites y generalidad

No todos los endomorfismos son diagonalizables. Sin emabargo:

el polinomio característico de un endomorfismo se divide si y solo si se divide su polinomio mínimo , y sobre un campo algebraicamente cerrado como ℂ , siempre lo están. En este caso, la descomposición de Dunford asegura que el endomorfismo se descompone como la suma de un endomorfismo diagonalizable y un nilpotente conmutador, lo que facilita el cálculo de sus potencias y exponenciales ;
en el conjunto de matrices cuadradas de tamaño fijo con coeficientes complejos (todos trigonalizables en ℂ), el conjunto de matrices diagonalizables es denso (para la topología habitual );
en el conjunto de matrices cuadradas de tamaño fijo con coeficientes reales que se pueden trigonalizar en ℝ (es decir, cuyos autovalores –complejos a priori– son reales), el conjunto de matrices diagonalizables es denso.