Lema de Calderón-Zygmund
En matemáticas, el lema de Calderon-Zygmund es una teoría de resultado fundamental de Fourier , el análisis armónico y la teoría de integrales singulares (en) . Lleva el nombre de los matemáticos Alberto Calderón y Antoni Zygmund .
Para una función integrable dada : ℝ d → ℂ, donde ℝ d denota el espacio euclidiano y ℂ denota el conjunto de números complejos , el lema de Calderón-Zygmund da una forma precisa de dividir ℝ d en dos conjuntos: uno donde es esencialmente pequeño; el otro consiste en una colección contable de cubos donde es esencialmente grande, pero donde mantenemos cierto control de la función.
F{\ Displaystyle f}F{\ Displaystyle f}F{\ Displaystyle f}
Esto conduce a la descomposición de Calderón-Zygmund de asociado con esta partición, en la que se escribe como la suma de una función "buena" y "mala".
F{\ Displaystyle f}F{\ Displaystyle f}
Lema de Calderón - Zygmund
Lema de cobertura
Sea : ℝ d → ℂ una función integrable y una constante estrictamente positiva. Luego están los conjuntos y tales como:
F{\ Displaystyle f}α{\ Displaystyle \ alpha}F{\ Displaystyle F}Ω{\ Displaystyle \ Omega}-
RD=F∪Ω{\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {d} = F \ cup \ Omega} y F∩Ω=∅;{\ Displaystyle F \ cap \ Omega = \ varnothing;}
-
|F(X)|⩽α{\ Displaystyle | f (x) | \ leqslant \ alpha} casi en todas partes ;F{\ Displaystyle F}
-
Ω{\ Displaystyle \ Omega}es una unión de cubos , cuyos interiores están mutuamente desarticulados, y tal que para todo lo que tenemos:Qk{\ Displaystyle Q_ {k}}k{\ Displaystyle k}
α<1metro(Qk)∫Qk|F(X)| DX⩽2Dα.{\ Displaystyle \ alpha <{\ frac {1} {m (Q_ {k})}} \ int _ {Q_ {k}} | f (x) | ~ \ mathrm {d} x \ leqslant 2 ^ {d } \ alpha.}
Calderón - Descomposición de Zygmund
F{\ Displaystyle f}como se indica más arriba, puede escribirse como la suma de una función de "buena" y una función de "malo" , . Para lograr esto, definimos
F{\ Displaystyle f}gramo{\ Displaystyle g}B{\ Displaystyle b}F=gramo+B{\ Displaystyle f = g + b}gramo(X)={F(X),X∈F,1metro(Qj)∫QjF(t) Dt,X∈Qjo,{\ Displaystyle g (x) = \ left \ {{\ begin {array} {cc} f (x), & x \ in F, \\ {\ frac {1} {m (Q_ {j})}} \ int _ {Q_ {j}} f (t) ~ \ mathrm {d} t, & x \ in Q_ {j} ^ {o}, \ end {array}} \ right.}donde denota el interior de , y posamos . Como resultado, tenemos:
Qjo{\ Displaystyle Q_ {j} ^ {o}}Qj{\ Displaystyle Q_ {j}}B=F-gramo{\ Displaystyle b = fg}
B(X)=0{\ Displaystyle b (x) = 0} por todo
X∈F{\ Displaystyle \ scriptstyle x \ in F}
y por cada cubo
∫QjB(X) DX=0{\ Displaystyle \ int _ {Q_ {j}} b (x) ~ \ mathrm {d} x = 0}Qj.{\ Displaystyle Q_ {j}.}
Así, la función tiene como soporte una colección de cubos sobre los que está autorizado a ser "grande", pero también tiene la propiedad beneficiosa adicional de que su valor promedio es cero en cada uno de estos cubos. Simultáneamente para casi todo en , y en cada cubo en , es igual al valor promedio de en este cubo, que gracias a la superposición elegida es menor que .
B{\ Displaystyle b}F{\ Displaystyle f}|gramo(X)|⩽α{\ Displaystyle \ scriptstyle | g (x) | \ leqslant \ alpha}X{\ Displaystyle x}F{\ Displaystyle F}Ω{\ Displaystyle \ Omega}gramo{\ Displaystyle g}F{\ Displaystyle f}2Dα{\ Displaystyle 2 ^ {d} \ alpha}
Referencias
-
(fr) Este artículo está tomado parcial o totalmente del artículo de Wikipedia en inglés titulado “ Calderón - Zygmund lemma ” ( ver lista de autores ) .
- (en) David Gilbarg (de) y Neil Trudinger , Ecuaciones diferenciales parciales elípticas de segundo orden , Springer-Verlag ,1983( ISBN 3-540-41160-7 )
- (en) Elias Stein , Singular Integrals and Diferenciabilidad Propiedades de funciones , Princeton University Press ,1970, 287 p. ( ISBN 978-0-691-08079-6 , leer en línea )
- (en) Elias Stein y Timothy Murphy, Análisis armónico: métodos de variables reales, ortogonalidad e integrales oscilatorias , Princeton University Press ,1993, 695 p. ( ISBN 978-0-691-03216-0 , leer en línea )
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