Integrabilidad
En matemáticas , la integrabilidad de una función numérica es su capacidad para poder ser integrada, es decir tener una integral definida (que tiene un significado) y finita (que no es igual a infinito ).
La noción de integrabilidad depende de la noción de integral que se considere. Hay varios tipos de integrales, siendo las más conocidas y utilizadas la integral de Riemann y la integral de Lebesgue .
Integrabilidad en el sentido de Riemann
Funciones de escalera
Sea un intervalo cerrado incluido en y . Decimos que es una función de escalera si hay una subdivisión y números reales como[a,B]{\ Displaystyle [a, b]}R{\ Displaystyle \ mathbb {R}}ψ:[a,B]⟶R{\ Displaystyle \ psi: [a, b] \ longrightarrow \ mathbb {R}}ψ{\ Displaystyle \ psi}a=X0<X1<⋯<Xno=B{\ Displaystyle a = x_ {0} <x_ {1} <\ dots <x_ {n} = b} vs1,...,vsno{\ Displaystyle c_ {1}, \ dots, c_ {n}}
ψ(X)=vsI ∀X∈]XI-1,XI[ ∀I∈{1,...,no}{\ Displaystyle \ psi (x) = c_ {i} ~~~ \ forall x \ in \ left] x_ {i-1}, x_ {i} \ right [~~~ \ forall i \ in \ {1, \ puntos, n \}}.
Si es una función escalón, entonces su integral (en el sentido de Riemann) se define como
ψ{\ Displaystyle \ psi}[a,B]{\ Displaystyle [a, b]}
∫aBψ(t)Dt: =∑I=1novsI(XI-XI-1){\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {b} \ psi (t) dt: = \ sum _ {i = 1} ^ {n} c_ {i} (x_ {i} -x_ {i-1}) }.
Integrabilidad en un intervalo cerrado
Sea un intervalo cerrado incluido en y . Suponemos que está acotado , es decir que existe un real tal que para todos . Nota
[a,B]{\ Displaystyle [a, b]}R{\ Displaystyle \ mathbb {R}}F:[a,B]⟶R{\ Displaystyle f: [a, b] \ longrightarrow \ mathbb {R}}F{\ Displaystyle f}METRO>0{\ Displaystyle M> 0}F(X)≤METRO{\ Displaystyle f (x) \ leq M}X∈[a,B]{\ Displaystyle x \ in [a, b]}
I+(F): =inf{∫aBψ(t)Dt:ψ es una función escalonada tal que ψ≥F}{\ displaystyle I _ {+} (f): = \ inf \ left \ {\ int _ {a} ^ {b} \ psi (t) dt: \ psi {\ text {es una función de escalera tal que}} \ psi \ geq f \ right \}} y
I-(F): =sorber{∫aBφ(t)Dt:φ es una función escalonada tal que φ≤F}{\ displaystyle I _ {-} (f): = \ sup \ left \ {\ int _ {a} ^ {b} \ varphi (t) dt: \ varphi {\ text {es una función de escalera tal que}} \ varphi \ leq f \ right \}}.
Entonces decimos que es integrable (en el sentido de Riemann) si y en este caso su integral (en el sentido de Riemann) se define como
F{\ Displaystyle f}I-(F)=I+(F){\ Displaystyle I _ {-} (f) = I _ {+} (f)}
∫aBF(t)Dt: =I-(F)=I+(F){\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (t) dt: = I _ {-} (f) = I _ {+} (f)}.
Integrabilidad en cualquier intervalo
Es un intervalo de no vacío interno incluido en y . Suponemos que es localmente integrable (en el sentido de Riemann) en , es decir que la restricción de en cualquier intervalo cerrado incluido en es integrable (en el sentido de Riemann). Denote el extremo izquierdo de y su extremo derecho. Entonces decimos que es integrable en (en el sentido de integrales de Riemann impropias ) si para todo en el interior de tenemos que los dos límites siguientes convergen:
I{\ Displaystyle I}R{\ Displaystyle \ mathbb {R}}F:I⟶R{\ Displaystyle f: I \ longrightarrow \ mathbb {R}}F{\ Displaystyle f}I{\ Displaystyle I}F{\ Displaystyle f}I{\ Displaystyle I}a{\ Displaystyle a}I{\ Displaystyle I}B{\ Displaystyle b}F{\ Displaystyle f}I{\ Displaystyle I}vs{\ Displaystyle c}I{\ Displaystyle I}
limX→a∫XvsF(t)Dt{\ Displaystyle \ lim _ {x \ to a} \ int _ {x} ^ {c} f (t) dt} y .
limX→B∫vsXF(t)Dt{\ Displaystyle \ lim _ {x \ to b} \ int _ {c} ^ {x} f (t) dt}
En este caso, la integral (en el sentido de integrales de Riemann impropias) de se define como la suma de los dos límites precedentes.
F{\ Displaystyle f}
Criterios de integrabilidad
- Se puede integrar una función regulada en un intervalo cerrado. En particular, se deduce que las continuas , continua por partes , monótonas o incluso funciones de variación acotada son todos integrable sobre un intervalo cerrado.
- Una combinación lineal de funciones integrables es integrable en cualquier intervalo.
- Si son integrables sobre el intervalo cerrado, entoncesF,gramo:[a,B]⟶R{\ Displaystyle f, g: [a, b] \ longrightarrow \ mathbb {R}}[a,B]{\ Displaystyle [a, b]}
- Para todo continuo, el compuesto se puede integrar .Φ:R⟶R{\ Displaystyle \ Phi: \ mathbb {R} \ longrightarrow \ mathbb {R}} Φ∘F{\ Displaystyle \ Phi \ circ f}[a,B]{\ Displaystyle [a, b]}
- El producto se puede integrar .Fgramo{\ displaystyle fg}[a,B]{\ Displaystyle [a, b]}
- El mínimo se puede integrar .min(F,gramo){\ Displaystyle \ min (f, g)}[a,B]{\ Displaystyle [a, b]}
- El máximo se puede integrar .max(F,gramo){\ Displaystyle \ max (f, g)}[a,B]{\ Displaystyle [a, b]}
- El valor absoluto se puede integrar .|F|{\ Displaystyle | f |}[a,B]{\ Displaystyle [a, b]}
- Si el valor absoluto de una función es integrable en cualquier intervalo, la función en sí también. Lo contrario es cierto para un intervalo cerrado, pero es falso para un intervalo no cerrado. Si una función es integrable pero su valor absoluto no lo es, decimos que su integral es semi-convergente .
- Si son positivos, localmente integrables y que además cuando entonces la integrabilidad de on implica a la de . Tenga en cuenta que está marcado si, por ejemplo, o cuándo .F,gramo:[a,B[⟶R+{\ Displaystyle f, g: [a, b [\ longrightarrow \ mathbb {R} _ {+}}F(X)=O(gramo(X)){\ Displaystyle f (x) = O (g (x))}X→B{\ Displaystyle x \ to b}gramo{\ Displaystyle g}[a,B[{\ Displaystyle [a, b [}F{\ Displaystyle f}F(X)=O(gramo(X)){\ Displaystyle f (x) = O (g (x))}0≤F≤gramo{\ Displaystyle 0 \ leq f \ leq g}F(X)∼gramo(X){\ Displaystyle f (x) \ sim g (x)}X→B{\ Displaystyle x \ to b}
- Sea un intervalo interior no vacío cuyos extremos izquierdo y derecho se denotan y . Supongamos que y son finitos. Si es localmente integrable y tiene límites finitos en y luego es integrable en .I{\ Displaystyle I}a{\ Displaystyle a}B{\ Displaystyle b}a{\ Displaystyle a}B{\ Displaystyle b}F:I⟶R{\ Displaystyle f: I \ longrightarrow \ mathbb {R}}a{\ Displaystyle a}B{\ Displaystyle b}F{\ Displaystyle f}I{\ Displaystyle I}
Ejemplos y contraejemplos
- La función indicadora de números racionales entre 0 y 1 no se puede integrar.
- Criterio de Riemann: la función es integrable en si y solo si . Esta misma función se puede integrar en si y solo si .X↦X-α{\ displaystyle x \ mapsto x ^ {- \ alpha}}]0,1]{\ Displaystyle] 0.1]} α<1{\ Displaystyle \ alpha <1}[1,+∞[{\ Displaystyle [1, + \ infty [}α>1{\ Displaystyle \ alpha> 1}
- Criterio de Bertrand: la función es integrable en si y solo si o ( y ). Esta misma función se puede integrar en si y solo si o ( y ).X↦X-αen(X)-β{\ Displaystyle x \ mapsto x ^ {- \ alpha} \ ln (x) ^ {- \ beta}}]0,mi-1]{\ Displaystyle] 0, e ^ {- 1}]}α<1{\ Displaystyle \ alpha <1}α=1{\ Displaystyle \ alpha = 1}β>1{\ Displaystyle \ beta> 1}[mi,+∞[{\ Displaystyle [e, + \ infty [}α>1{\ Displaystyle \ alpha> 1}α=1{\ Displaystyle \ alpha = 1}β>1{\ Displaystyle \ beta> 1}
- La función se puede integrar pero no su valor absoluto. Su integral, que se llama integral de Dirichlet , es por lo tanto semi-convergente.X↦pecado(X)/X{\ Displaystyle x \ mapsto \ sin (x) / x}]0,+∞[{\ Displaystyle] 0, + \ infty [}
Integrabilidad en el sentido de Lebesgue
Deje que ( X , ?, μ) sea un espacio medido y f una función en X , con valores en ℝ o ℂ y ? - medible . Decimos que f es integrable sobre X si
∫X|F(X)| Dμ(X)<+∞.{\ Displaystyle \ int _ {X} | f (x) | ~ \ mathrm {d} \ mu (x) <+ \ infty.}
Notas
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Tenga en cuenta que, en la definición de una función de escalera, el valor de en les no es importante. Sin embargo, algunos autores requieren que la igualdad sea cierta en el intervalo semicerrado o incluso .ψ{\ Displaystyle \ psi}XI{\ Displaystyle x_ {i}} [XI-1,XI[{\ Displaystyle [x_ {i-1}, x_ {i} [}]XI-1,XI]{\ Displaystyle] x_ {i-1}, x_ {i}]}
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El hecho de que esté acotado nos permite decir que y están bien definidos; de hecho, los conjuntos de los que son un límite inferior y superior no están vacíos: siempre existen funciones de escalera que aumentan o disminuyen .F{\ Displaystyle f}I+(F){\ Displaystyle I _ {+} (f)}I-(F){\ Displaystyle I _ {-} (f)}F{\ Displaystyle f}
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La hipótesis de integrabilidad local permite asegurar que las integrales y estén bien definidas para todo .∫XvsF(t)Dt{\ Displaystyle \ int _ {x} ^ {c} f (t) dt}∫vsXF(t)Dt{\ Displaystyle \ int _ {c} ^ {x} f (t) dt}X∈]a,B[{\ Displaystyle x \ in \ left] a, b \ right [}
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Los números y pueden ser infinitos.a{\ Displaystyle a}B{\ Displaystyle b}
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La definición de la integral no depende de . Además, basta con mostrar que existe tal que los dos límites mencionados convergen para que eso sea integrable (por lo tanto, no es necesario demostrar que esto es cierto para todo ).vs{\ Displaystyle c}vs{\ Displaystyle c}F{\ Displaystyle f}vs{\ Displaystyle c}
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Esto no es necesariamente cierto en ningún intervalo, por ejemplo, la función de identidad es continua, por lo tanto establecida, pero no integrable en .R{\ Displaystyle \ mathbb {R}}
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Estas 5 propiedades se vuelven falsas cuando el intervalo no está cerrado. Aquí hay algunos contraejemplos: 1) La función es integrable en pero si tomamos entonces no lo es. 2) La función se puede integrar pero el producto no. 3) La función se puede integrar pero no lo está. 4) Del mismo modo no es integrable en . 5) El contraejemplo 3 también funciona en este caso.X↦1/X2{\ displaystyle x \ mapsto 1 / x ^ {2}}[1,+∞[{\ Displaystyle [1, + \ infty [}Φ(t)=t{\ Displaystyle \ Phi (t) = {\ sqrt {t}}}X↦Φ(1/X2)=1/X{\ Displaystyle x \ mapsto \ Phi (1 / x ^ {2}) = 1 / x}F=gramo:X↦1/X{\ Displaystyle f = g: x \ mapsto 1 / {\ sqrt {x}}}]0,1]{\ Displaystyle] 0.1]}Fgramo:X↦1/X{\ displaystyle fg: x \ mapsto 1 / x}F:X↦pecado(X)/X{\ Displaystyle f: x \ mapsto \ sin (x) / x}]0,+∞[{\ Displaystyle] 0, + \ infty [}max(F,-F)=|F|{\ Displaystyle \ max (f, -f) = | f |}min(F,-F)=-|F|{\ Displaystyle \ min (f, -f) = - | f |}]0,+∞[{\ Displaystyle] 0, + \ infty [}
-
Aquí denota la "gran o" de la notación de Landau .O{\ Displaystyle O}
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Esta propiedad se vuelve falsa si omitimos la condición de positividad. Por ejemplo, si tiene una integral semi-convergente, entonces tenemos cuando pero no es integrable.F:[a,B[⟶R{\ Displaystyle f: [a, b [\ longrightarrow \ mathbb {R}}|F|(X)=O(F(X)){\ Displaystyle | f | (x) = O (f (x))}X→B{\ Displaystyle x \ to b}|F|{\ Displaystyle | f |}
-
Si los extremos no están terminados, esta propiedad se vuelve falsa. Por ejemplo, la función admite 0 como límite en pero no es integrable en .X↦1/X{\ Displaystyle x \ mapsto 1 / x}+∞{\ Displaystyle + \ infty}[1,+∞[{\ Displaystyle [1, + \ infty [}
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