Teorema de convergencia dominado

En matemáticas , y más precisamente en análisis , el teorema de convergencia dominado es uno de los principales teoremas de la teoría de integración de Lebesgue .

El teorema de la convergencia dominada

Teorema : sea una serie de funciones medibles sobre un espacio medido , con valores reales o complejos, como: $(f_ {n}) _ {{n \ in \ mathbb {N}}}$ $(E, {\ mathcal A}, \ mu)$

la secuencia de funciones simplemente converge en $E$ a una función $f$ ; $(f_ {n}) _ {{n \ in \ mathbb {N}}}$
existe una función integrable $g$ tal que:

\ forall n \ in \ mathbb {N}, \ forall x \ in E, | f_ {n} (x) | \ leq g (x).

Entonces $f$ es integrable y

\ lim _ {{n \ to \ infty}} \ int _ {E} | f_ {n} -f | ~ {\ mathrm d} \ mu = 0.

En particular :

\ lim _ {{n \ to \ infty}} \, \ int _ {E} f_ {n} ~ {\ mathrm d} \ mu = \ int _ {E} \ lim _ {{n \ to \ infty} } f_ {n} ~ {\ mathrm d} \ mu = \ int _ {E} f ~ {\ mathrm d} \ mu.

Prueba del lema de Fatou

Referencia: Walter Rudin , Análisis real y complejo [ detalle de ediciones ]

Comencemos mostrando que $f$ es integrable:

desde $f$ es un límite simple de una serie de funciones medibles, es medible y como para todo $n$ tenemos , cruzando el límite, por lo tanto, $f$ es integrable. $| f_ {n} (x) | \ leq g (x)$ $| f (x) | \ leq g (x), \ forall x \ in E$

Entonces, tenemos, por lo tanto, podemos aplicar el lema de Fatou , $2g- | f_ {n} -f | \ geq 0$

${\ begin {alineado} \ int 2g ~ {\ mathrm d} \ mu & = \ int \ liminf (2g- | f_ {n} -f |) ~ {\ mathrm d} \ mu \\\ & \ leq \ liminf \ int (2g- | f_ {n} -f |) ~ {\ mathrm d} \ mu \\\ & = \ int 2g ~ {\ mathrm d} \ mu + \ liminf \ int - | f_ {n} -f | ~ {\ mathrm d} \ mu \\\ & = \ int 2g ~ {\ mathrm d} \ mu - \ limsup \ int | f_ {n} -f | ~ {\ mathrm d} \ mu \\ \ end {alineado}}$

y como entonces, $\ int g ~ {\ mathrm d} \ mu <\ infty \;$ $\ limsup \ int | f_ {n} -f | ~ {\ mathrm d} \ mu \ leq 0$

de donde

\ lim \ int | f_ {n} -f | ~ {\ mathrm d} \ mu = 0

Deducimos de esto:

\ left | \ int f_ {n} ~ {\ mathrm d} \ mu - \ int f ~ {\ mathrm d} \ mu \ right | = \ left | \ int (f_ {n} -f) ~ {\ mathrm d} \ mu \ right | \ leq \ int | f_ {n} -f | ~ {\ mathrm d} \ mu \ to 0

y entonces

\ int f_ {n} ~ {\ mathrm d} \ mu \ rightarrow \ int f ~ {\ mathrm d} \ mu.

Demostración mediante el teorema de la convergencia monótona

Vamos a posar

g_ {n} = | f_ {n} -f |, \ quad {\ text {luego}} \ quad h_ {n} = \ sup _ {{m \ geq n}} g_ {m} \ quad {\ text {y}} \ quad k_ {n} = 2g-h_ {n}.

El forman una secuencia creciente de funciones medibles positivo, límite . De acuerdo con el teorema de la convergencia monótona, por lo tanto, tenemos $k_ {n}$ $2g$

\ lim \ int k_ {n} ~ {\ mathrm d} \ mu = \ int 2g ~ {\ mathrm d} \ mu

y por lo tanto

\ lim \ int h_ {n} ~ {\ mathrm d} \ mu = 0, \ quad {\ text {luego}} \ quad \ lim \ int g_ {n} ~ {\ mathrm d} \ mu = 0 \ quad {\ text {coche}} \ quad 0 \ leq g_ {n} \ leq h_ {n}.

El final de la prueba es el mismo que antes.

Ejemplos de

Un caso especial elemental pero útil

Sea una serie de funciones continuas con valores reales o complejos sobre un intervalo $I$ de la recta real. Hacemos las siguientes dos suposiciones: $(f_ {n}) _ {{n \ in \ mathbb {N}}}$

la secuencia simplemente converge a una función $f$ ; $(f_ {n}) _ {{n \ in \ mathbb {N}}}$
existe una función continua $g$ tal que $\ forall n \ in \ mathbb {N}, \ forall x \ in I, | f_ {n} (x) | \ leq g (x) {\ text {y}} \ int _ {I} g (x) {{\ rm {d}}} x <+ \ infty.$ Entonces $\ int _ {I} \ vert f (x) \ vert {{\ rm {d}}} x <+ \ infty {\ text {y}} \ lim _ {{n \ rightarrow + \ infty}} \ int _ {I} f_ {n} (x) {{\ rm {d}}} x = \ int _ {I} f (x) {{\ rm {d}}} x.$

Notas sobre la hipótesis de la dominación

La existencia de una función integrable $g$ superando todas las funciones $| f n |$ es equivalente a la integrabilidad de la función $sup n | f n | : t \mapsto sup n | f n ( t ) |$ (la función más pequeña que supera todas las funciones $| f n |$ ).

Esta suposición es esencial para aplicar el teorema: por ejemplo, en $[0, + \infty [$ , la secuencia de funciones $f n = 1 / no 1 [0, n [$ - donde $n > 0$ y $1 [0, n [$ denota la función indicadora del intervalo $[0, n [$ - simplemente converge a la función cero (la convergencia es uniforme ) pero la secuencia de integrales de $f n$ , lejos de tender hacia la integral (cero) de este límite, es constantemente igual a $1$ . Según el teorema, $sup n | f n |$ por tanto, no es integrable. (Efectivamente: $sup n | f n ( t ) | = 1 / E ( t ) + 1$ , pero la serie armónica diverge.)

Sin embargo, puede suceder que la conclusión deseada sea cierta sin poder deducirla del teorema: por ejemplo en $[0, + \infty [$ , la secuencia de funciones $f n = 1 [ n , n + 1 / no [$ converge a $0$ tanto simplemente como en $L 1$ , aunque $sup n | f n |$ no se puede integrar.

Convergencia de una serie de indicadores

Aplicar el teorema en el caso en que cada $f n$ es el indicador de una porción $A n$ de $E$ . Dado que estas funciones tienen valores reales, la simple convergencia de esta serie de funciones equivale a la igualdad de sus límites inferior y superior , respectivamente iguales a los indicadores de los límites inferior y superior de la serie de conjuntos . Por tanto obtenemos:

Sea una serie de partes medibles de un espacio medido como: $(A_ {n}) _ {{n \ in \ mathbb {N}}}$ $(E, {\ mathcal A}, \ mu)$

los límites inferior y superior de la secuencia son iguales; $(A_ {n}) _ {{n \ in \ mathbb {N}}}$
$\ mu (\ cup _ {{n \ in \ mathbb {N}}} A_ {n}) <\ infty.$

Entonces el conjunto medible $A$ definido por

A: = \ liminf _ {n} A_ {n} = \ limsup _ {n} A_ {n}

es de medida finita y verifica:

\ lim _ {{n \ to \ infty}} \ mu (A_ {n} \ Delta A) = 0,

donde la notación $Δ$ denota la diferencia simétrica .

En particular :

\ lim _ {{n \ to \ infty}} \ mu (A_ {n}) = \ mu (A).

Sin embargo, tenga en cuenta que podemos obtener este resultado directamente, sin recurrir al teorema de convergencia dominado. En efecto

\ mu (A_ {n} \ Delta A) = \ mu (A_ {n} \ cup A) - \ mu (A_ {n} \ cap A) \ leq \ mu (\ cup _ {{p \ geq n} } A_ {p}) - \ mu (\ cap _ {{p \ geq n}} A_ {p}) {\ xrightarrow [{n \ to \ infty}] {}} \ mu (\ limsup _ {n} A_ {n}) - \ mu (\ liminf _ {n} A_ {n}) = 0.

Generalización

En la teoría de la medición podemos definir la noción de propiedad en casi todas partes , por lo que podemos enunciar el teorema de la convergencia dominada de una manera más general:

Teorema - Sea una serie de funciones medibles sobre un espacio medido , con valores en ℝ o ℂ, tales que: $\ scriptstyle (f_ {n}) _ {{n \ in \ mathbb {N}}}$ $\ scriptstyle (E, {\ mathcal A}, \ mu)$

la secuencia de funciones admite un límite en casi todas partes, es decir, existe para casi todo $x$ ; $\ scriptstyle (f_ {n}) _ {{n \ in \ mathbb {N}}}$ $\ scriptstyle \ lim _ {{n \ to \ infty}} f_ {n} (x)$
existe una función integrable $g$ tal que para cada número natural $n$ , $| f_ {n} (x) | \ leq g (x)$ μ-casi en todas partes.

Entonces, existe una función integrable $f$ tal que $f n$ converge $af$ casi en todas partes, y

\ lim _ {{n \ to \ infty}} \ int _ {E} f_ {n} ~ {\ mathrm d} \ mu = \ int _ {E} f ~ {\ mathrm d} \ mu.

Para demostrar este teorema, basta con asegurarse de volver al caso anterior eliminando las partes despreciables.

Demostración

Cualquiera de un conjunto insignificante en el que adicionales converge y es, para cualquier número entero , . Todos estos conjuntos son insignificantes, así que al posar , siempre lo hemos hecho . Para concluir, basta con aplicar el teorema de la convergencia dominada en el caso simple (sobre el complemento de ), y completar la definición del límite eligiéndolo nulo en . $N_ {0}$ $f_n$ $k> 0$ $N_ {k} = \ {x: | f_ {k} (x) |> g (x) \}$ $\ scriptstyle N = \ cup _ {{k = 0}} ^ {\ infty} N_ {k}$ $\ mu (N) = 0$ $NO$ $F$ $NO$

Nota :

En el caso de una medida de probabilidad , la primera hipótesis puede modificarse mediante:

la secuencia de funciones converge en probabilidad a una función medible $f$ . $\ scriptstyle (f_ {n}) _ {{n \ in \ mathbb {N}}}$

Ejemplo de aplicacion

Si , su transformada de Fourier es continua. La verificación de la hipótesis de dominación es inmediata, ya que ; el teorema de la convergencia dominada nos permite ver que es secuencialmente continuo , por lo tanto continuo. $f \ en L ^ {1} (\ mathbb {R})$ $\ widehat {f} (y) = \ int _ {{- \ infty}} ^ {{+ \ infty}} f (x) {{\ rm {e}}} ^ {{- {{\ rm {i }}} xy}} {{\ rm {d}}} x$ $\ green f (x) {{\ rm {e}}} ^ {{- {{\ rm {i}}} xy}} \ green = \ green f (x) \ green$ $\ widehat {f} \,$

Ver también

enlaces externos

Teorema de convergencia dominado de Lebesgue. Corolarios en les-mathematiques.net
El teorema de convergencia dominada para funciones integrables de Riemann , J.-F. Burnol, notas de un curso DEUG en la Universidad de Lille
Teoremas de Lebesgue en un caso simple