Impedancia acústica

La bocina acústica adapta la alta impedancia de la membrana fuente a la baja impedancia del aire. Llave de datos

Unidades SI	Pascal segundo por metro
Dimensión	M · L -2 · T -1
Naturaleza	Tamaño del complejo intensivo
Símbolo habitual	${\ Displaystyle Z _ {\ mathrm {ac}}}$
Enlace a otros tamaños	${\ Displaystyle Z _ {\ mathrm {ac}} = {\ frac {p} {v}}}$

La impedancia acústica de un medio para una onda acústica caracteriza la resistencia del medio al paso de esta onda. Esta propiedad se utiliza en geociencias en técnicas geofísicas de prospección sísmica que permiten obtener imágenes del subsuelo de la Tierra a una profundidad de pocos kilómetros.

Definición

Para amplitudes bajas, la presión sonora y la velocidad de la partícula asociada del medio están relacionadas linealmente.

La impedancia acústica (también llamada impedancia acústica específica , porque es una cantidad intensiva ) Z ac de un medio para una onda acústica es la relación entre la presión acústica y la velocidad de la partícula asociada del medio:

{\ Displaystyle Z _ {\ mathrm {ac}} = {\ frac {p} {v}}}

con :

p en Pa ,
v en m / s .

La unidad de impedancia acústica es el segundo pascal por metro ( Pa s / m ), a menudo llamado rayl en honor a John William Strutt , Baron Rayleigh (1842-1919).

Para una onda acústica plana progresiva , el informe vale:

{\ Displaystyle Z _ {\ mathrm {ac}} = \ pm \ rho _ {\ mathrm {m}} \, c}

con

ρ m en kg / m ³ la densidad del medio,
c en m / s la velocidad de la onda acústica en el medio.

El signo depende de la dirección de propagación y la elección de la orientación del eje de propagación de la onda acústica. El producto ρ m c es a menudo más acústicamente importante como una propiedad característica del medio de ρ m o c individualmente. Es por esta razón que ρ m c se denomina impedancia acústica característica del medio.

Aunque la impedancia acústica del medio es una cantidad real para las ondas acústicas planas progresivas, esto ya no es cierto para las ondas acústicas planas estacionarias u ondas acústicas divergentes. En el caso general, Z ac es complejo:

{\ Displaystyle Z _ {\ mathrm {ac}} = R _ {\ mathrm {ac}} + \ mathrm {i} \, X _ {\ mathrm {ac}}}

con R ac la resistencia acústica y X ac la reactancia acústica del medio para la onda considerada.

La impedancia acústica característica de un medio es análoga a la impedancia electromagnética característica √ ( µ / ε ) de un medio ya la impedancia eléctrica característica de una línea de transmisión eléctrica .

Como la densidad y la velocidad del sonido varían con la temperatura , este también es el caso de la impedancia acústica característica. Como ejemplo, la siguiente tabla da la velocidad del sonido en el aire, c , la densidad del aire, ρ m , y la impedancia acústica característica del aire, Z ac = ρ m c , dependiendo de la temperatura, T .

T (° C)	c (m / s)	' ρ' m (kg / m³)	Z ac (Pa s / m)
-10	325,4	1.341	436,5
-5	328,5	1.316	432,4
0	331,5	1,293	428,3
+5	334,5	1.269	424,5
+10	337,5	1.247	420,7
+15	340,5	1.225	417,0
+20	343,4	1.204	413,5
+25	346,3	1,184	410,0
+30	349,2	1,164	406,6

Caso de un componente acústico

Cuando el medio considerado es un componente acústico, como un resonador , un silenciador o un tubo de órgano , la impedancia acústica se mide a la entrada del componente .

La impedancia acústica solo involucra cantidades intensivas (la presión sonora y la velocidad de la partícula), a diferencia de otras definiciones de impedancia que introducen el área de la sección de entrada del componente acústico, una cantidad extensa por naturaleza:

La impedancia mecánica Z m está definida por:

Z _ {{\ mathrm {m}}} = {\ frac {A \, p} {v}} = A \, Z _ {{\ mathrm {ac}}},

A p es la fuerza ejercida a la entrada del componente acústico.

La impedancia hidráulica Z h se define por:

Z _ {{\ mathrm {h}}} = {\ frac {p} {A \, v}} = {\ frac {Z _ {{{\ mathrm {ac}}}} {A}},

Siendo A v el caudal volumétrico acústico en la entrada del componente acústico.

Aplicación a la propagación de ondas en la interfaz entre dos medios

Cuando una onda acústica encuentra la interfaz que separa dos medios de impedancias acústicas diferentes , parte de la onda se transmite en el otro medio mientras que otra parte se refleja en la interfaz. La noción de impedancia acústica permite estudiar este fenómeno de forma completa y cuantitativa y estimar las cantidades de energía acústica transmitida y reflejada.

Leyes y supuestos constitutivos de la acústica lineal

El estudio de la propagación de ondas en la interfaz de dos medios acústicos se puede hacer como una primera aproximación bajo los supuestos de acústica lineal no dispersiva, y restringiéndose a ondas de incidencia normal en la interfaz. En este caso, la termodinámica proporciona una relación constitutiva lineal entre las fuerzas y la deformación:

{\ Displaystyle p (x, t) = - \ rho _ {\ mathrm {m}} \, c ^ {2} \, {\ frac {\ parcial u} {\ parcial x}} (x, t)}

donde x es la variable espacial que sigue la dirección normal a la interfaz, p (x, t) es la presión acústica en el medio, u (x, t) es el campo de desplazamientos, ρ m es la densidad del medio, y c es la velocidad de la onda acústica en el medio.

Esta ecuación es válida para:

un líquido , en cuyo caso ρ c 2 = B es su módulo de compresibilidad ;
un gas , en cuyo caso ρ c 2 = γ p 0 , siendo γ la relación de los calores específicos y p 0 la presión media. En acústica lineal, la presión acústica p es una perturbación de esta presión media;
un sólido del cual se considera solo una dirección preferida para la propagación de las ondas, por ejemplo, una barra en tensión-compresión, siendo ρ c 2 = E el módulo de Young , una cuerda vibrante , siendo ρ c 2 = T / S la relación de la tensión T de la cuerda a su sección S , o una barra de torsión , siendo ρ c 2 = G el módulo de Coulomb o módulo cortante de la barra. Además, la presión acústica p debe ser reemplazada por la tensión σ siguiendo la dirección de propagación de la onda.

Para obtener más detalles, consulte la definición de la velocidad del sonido en los distintos medios mencionados anteriormente.

Escribir la ecuación de onda unidimensional

El principio fundamental de la dinámica aplicada localmente al medio y en la dirección normal a la interfaz está escrito:

{\ Displaystyle \ rho _ {\ mathrm {m}} {\ frac {\ parcial v} {\ parcial t}} (x, t) = - {\ frac {\ parcial p} {\ parcial x}} (x , t)}

Al señalar eso , podemos combinar esta ecuación con la ley constitutiva de la acústica lineal para obtener la ecuación de onda , también llamada ecuación de D'Alembert , que se verifica simultáneamente por la velocidad y la presión sonora: $v = {\ frac {\ parcial u} {\ parcial t}}$

{\ Displaystyle {\ frac {\ parcial ^ {2} v} {\ parcial t ^ {2}}} (x, t) = c ^ {2} \, {\ frac {\ parcial ^ {2} v} {\ partial x ^ {2}}} (x, t)}

{\ estilo de visualización {\ frac {\ parcial ^ {2} p} {\ parcial t ^ {2}}} (x, t) = c ^ {2} \, {\ frac {\ parcial ^ {2} p} {\ partial x ^ {2}}} (x, t)}

Siendo la velocidad v la solución de la ecuación de onda, podemos encontrar una solución de propagación en forma de la suma de una onda directa f y una onda retrógrada g :

{\ Displaystyle v (x, t) = f (x-ct) + g (x + ct)}

Al derivar esta última ecuación, se obtiene:

{\ Displaystyle {\ frac {\ parcial v} {\ parcial x}} (x, t) = f ^ {\ prime} (xc \, t) + g ^ {\ prime} (x + c \, t) }

Asimismo, al derivar el derecho constitutivo:

{\ Displaystyle {\ frac {\ parcial p} {\ parcial t}} (x, t) = - \ rho _ {\ mathrm {m}} \, c ^ {2} \, {\ frac {\ parcial v } {\ parcial x}} (x, t) = - \ rho _ {\ mathrm {m}} \, c ^ {2} \, (f ^ {\ prime} (xc \, t) + g ^ { \ prime} (x + c \, t))}

Sabiendo que la presión acústica también se escribe en forma de solución de propagación, es posible identificarla con la expresión anterior, introduciendo la impedancia acústica característica Z ac = ρ m c :

{\ Displaystyle p (x, t) = Z _ {\ mathrm {ac}} (f (x-ct) -g (x + ct))}

Relación entre la amplitud de onda en la interfaz de dos medios

Caso general

Si elegimos el origen x = 0 en la interfaz entre los dos medios M 1 = { x <0}, con impedancia acústica Z 1 , y M 2 = { x > 0}, con impedancia acústica Z 2 , las siguientes restricciones pueden estar definido:

f 1 la restricción de la función de onda directa en M 1 ;
g 1 la restricción de la función de onda retrógrada en M 1 ;
f 2 la restricción de la función de onda directa en M 2 ;
g 2 la restricción de la función de onda retrógrada en M 2 .

En x = 0, la condición de continuidad de velocidades y presiones se escribe:

{\ Displaystyle f_ {1} (- ct) + g_ {1} (ct) = f_ {2} (- ct) + g_ {2} (ct)}

{\ Displaystyle Z_ {1} (f_ {1} (- ct) -g_ {1} (ct)) = Z_ {2} (f_ {2} (- ct) -g_ {2} (ct))}

Si nos damos la onda directa que viene de la izquierda f 1 y la onda retrógrada que viene de la derecha g 2 , podemos deducir las ondas transmitidas f 2 y reflejada g 1 :

{\ Displaystyle {\ begin {pmatrix} f_ {2} \\ g_ {1} \ end {pmatrix}} = {\ frac {1} {Z_ {1} + Z_ {2}}} \, {\ begin { pmatrix} Z_ {2} -Z_ {1} & 2 \, Z_ {1} \\ 2 \, Z_ {2} & Z_ {1} -Z_ {2} \ end {pmatrix}} \, {\ begin { pmatrix} g_ {2} \\ f_ {1} \ end {pmatrix}}}

En esta matriz , los elementos tienen el siguiente significado físico (en cuanto a las velocidades de las partículas, ya que las presiones permutan Z 1 y Z 2 ):

$t _ {{12}} = {\ frac {2 \, Z_ {1}} {Z_ {1} + Z_ {2}}}$ es el coeficiente de transmisión en amplitud de las ondas de M 1 a M 2 ;
$r = {\ frac {Z_ {1} -Z_ {2}} {Z_ {1} + Z_ {2}}}$ es el coeficiente de reflexión de la amplitud de las ondas procedentes de M 1 en la interfaz;
$-r = {\ frac {Z_ {2} -Z_ {1}} {Z_ {1} + Z_ {2}}}$ es el coeficiente de reflexión de la amplitud de las ondas provenientes de M 2 en la interfaz;
$t _ {{21}} = {\ frac {2 \, Z_ {2}} {Z_ {1} + Z_ {2}}}$ es el coeficiente de transmisión de amplitud de M 2 a M 1 .

Obviamente, observamos que 1 + r = t 12 .

Estos coeficientes son análogos a los dados por las fórmulas de Fresnel en electromagnetismo .

Estudio de algunos casos límite

Se pueden estudiar con interés tres casos particulares:

en el caso de Z 2 / Z 1 = 0, entonces r = 1, la onda incidente se refleja de manera idéntica en la interfaz para los desplazamientos y cambiando el signo de las presiones;
en el caso de Z 2 / Z 1 = 1, entonces r = 0 y t 12 = 1, la onda incidente se transmite por completo, se dice que la impedancia de los dos medios coincide ;
En el caso Z 2 / Z 1 = , entonces r = -1, la onda incidente se refleja cambiando de signo para los desplazamientos e idénticamente para las presiones. $\ infty$

Relación entre la energía de las olas en la interfaz

La densidad de potencia de una onda acústica en una dirección viene dada en el caso general por:

{\ Displaystyle \ Pi (x, t) = p (x, t) \, v (x, t) = Z \, (f ^ {2} (xc \, t) -g ^ {2} (x + c \, t))}

Es una cantidad homogénea a una potencia por unidad de superficie (expresada en W m −2 ), que a menudo se asimila a la intensidad acústica .

Los coeficientes de transmisión y reflexión de energía se pueden calcular, por ejemplo, considerando el caso de una sola onda directa incidente ( f 1 0 y g 2 = 0). $\ neq$

El coeficiente de reflexión de energía expresa la cantidad de energía contenida en la onda reflejada g 1 , dada una onda incidente directa f 1 :

{\ Displaystyle R = {\ frac {\ Pi (x <0, t> 0)} {\ Pi (x <0, t <0)}} = {\ frac {Z_ {1} \, g_ {1} ^ {2}} {Z_ {1} \, f_ {1} ^ {2}}} = r ^ {2} = \ left ({\ frac {Z_ {1} -Z_ {2}} {Z_ {1 } + Z_ {2}}} \ derecha) ^ {2}}

El coeficiente de transmisión de energía expresa la cantidad de energía contenida en la onda transmitida f 2 , dada una onda incidente directa f 1 :

{\ Displaystyle T = {\ frac {\ Pi (x> 0, t> 0)} {\ Pi (x <0, t <0)}} = {\ frac {Z_ {2} \, f_ {2} ^ {2}} {Z_ {1} \, f_ {1} ^ {2}}} = {\ frac {Z_ {2} \, t_ {12} ^ {2}} {Z_ {1}}} = {\ frac {4 \, Z_ {1} \, Z_ {2}} {(Z_ {1} + Z_ {2}) ^ {2}}}}

Dadas las dos definiciones anteriores, podemos verificar fácilmente la conservación de la energía:

{\ Displaystyle R + T = 1}

Los coeficientes de reflexión y transmisión de energía a menudo se expresan en decibelios , escribiendo:

{\ Displaystyle R _ {\ mathrm {dB}} = 10 \ log _ {10} (R)}

{\ Displaystyle T _ {\ mathrm {dB}} = 10 \ log _ {10} (T)}

Aplicación digital

Si consideramos la interfaz entre agua, impedancia acústica Z 1 = 1,5 × 10 6 Pa s / m, y aire, impedancia acústica Z 2 = 430 Pa s / m, encontramos coeficientes de reflexión y transmisión: