Grupo estable

En la teoría de modelos , un grupo estable es una estructura del grupo , posiblemente con otras aplicaciones , relaciones y constantes como la ley de grupo , la teoría completa asociada (in) es estable en el sentido de la teoría de la estabilidad (in) ; la teoría completa asociada con se forma a partir de los enunciados lógicos de primer orden que son satisfechos por . ${\ Displaystyle {\ mathcal {G}} = (G; \, \ cdot \ ,, \ ldots)}$ ${\ Displaystyle \, \ cdot \,}$ $\ mathcal {G}$ $\ mathcal {G}$

El rango de grupo de Morley eventualmente forma una clase importante de ejemplos de tales grupos.

Ejemplos de

Un grupo senior de Morley finito es un grupo , posiblemente con otras funciones, relaciones y constantes como la ley de grupo , tal como la fórmula tiene el rango de Morley (en) terminado en la estructura . Dicho grupo es estable e incluso ω-estable . Los grupos finitos de rango de Morley se comportan como objetos de dimensión finita. Sus sorprendentes similitudes tanto con grupos finitos como con grupos algebraicos son objeto de una investigación activa. ${\ Displaystyle {\ mathcal {G}} = (G; \, \ cdot \ ,, \ ldots)}$ $\ cdot$ ${\ Displaystyle x = x}$ $\ mathcal {G}$
Los grupos finitos son grupos de rango de Morley finito: su rango de Morley es cero.
Los grupos algebraicos definidos en un cuerpo algebraicamente cerrado son grupos finitos de rango de Morley. Esto es cierto si les proporcionamos su estructura algebraica completa inducida por el campo base, y en este caso su rango de Morley es igual a su dimensión como variedad algebraica, pero también si los consideramos como grupos abstractos.
La teoría del campo diferencialmente cerrado (in) es ω-estable. En consecuencia, cualquier grupo interpretable (en) en tal estructura también es ω-permanente; en particular, es un grupo estable.
La teoría de un cuerpo cerrado separablemente es estable sin ser superestable (en) . Por lo tanto, cualquier grupo interpretable en una estructura corporal cerrada separablemente es estable, y generalmente no es superestable (por lo tanto, no es estable en ω).
Un teorema principal de Zlil Sela (en) publicado en 2013 muestra que los grupos libres de tipo finito son estables. Este resultado le valió notablemente el Premio Karp en 2008.

Conjetura de Cherlin-Zilber

La conjetura de Cherlin-Zilber , también llamada conjetura algebraica , fue formulada independientemente por Gregory Cherlin en 1979 y Boris Zilber en 1977. Se lee como sigue:

“Cualquier grupo simple e infinito de rango de Morley finito es un grupo algebraico sobre un campo algebraicamente cerrado. "

En otras palabras, si es un grupo de rango de Morley finito, entonces es isomorfo como grupo abstracto al grupo de puntos racionales de un grupo algebraico simple definido sobre un campo algebraicamente cerrado . De hecho, la declaración inicial de Gregory Cherlin fue un poco más general ya que se refería a grupos groups-estables; sin embargo, esta formulación pasó rápidamente a un segundo plano y rara vez se menciona. ${\ Displaystyle {\ mathcal {G}} = (G; \, \ cdot \ ,, \ ldots)}$ $GRAMO$ $K$ $K$

Otra pregunta formulada por Boris Zilber también conjeturaba vínculos profundos entre la geometría y la teoría del modelo: era la conjetura de la “tricotomía de Zilber”. Se refería a las estructuras de rango de Morley 1 y fue refutada por primera vez por Ehud Hrushovski en 1988, antes de que Ehud Hrushovski y Boris Zilber mostraran en un artículo publicado en 1996 que es cierto bajo ciertas hipótesis de naturaleza topológica.

En la década de 1980, Alexandre Borovik (en) propuso un acercamiento a la conjetura de Cherlin-Zilber basado en la transferencia de ideas que tuvieron éxito para la clasificación de grupos finitos simples ; este enfoque ahora se conoce como el "programa Borovik". Este programa ha permitido importantes avances, incluidos los dos últimos que se mencionan a continuación.

Con respecto a la construcción de un posible contraejemplo a la conjetura de Cherlin-Zilber, los "grupos malos" aparecen como posibles candidatos: un grupo de rango de Morley finito se dice que es un "grupo malo" si está conectado (es decir, sin un subgrupo adecuado definible de índice finito ), sin solución, y si sus subgrupos propios definibles y conectados son todos nilpotentes . Sin embargo, su existencia sigue siendo una cuestión abierta.

Un caso importante de la conjetura se demostró en 2008:

Tuna Altınel , Alexandre Borovik y Gregory Cherlin han demostrado la conjetura para grupos simples de rango finito de Morley que tienen un subgrupo infinito de exponente 2: la prueba es el tema de un libro de 556 páginas editado por la American Mathematical Society en 2008 ( “ Grupos simples de rango finito de Morley ” (consultado el 13 de junio de 2019 ) ).

También se ha demostrado en otros casos especiales, por ejemplo:

un teorema de Markus Reineke muestra que cualquier grupo conectado de rango de Morley 1 es abeliano .
Gregory Cherlin ha demostrado que cualquier grupo relacionado de rango de Morley 2 tiene solución .
Gregory Cherlin ha demostrado que cualquier grupo simple de rango de Morley 3 es un "grupo malo" o isomorfo a PSL ) para un campo algebraicamente cerrado definible en . ${\ Displaystyle _ {2} (K}$ $K$ $GRAMO$
Simon R. Thomas demostró la conjetura para grupos localmente finitos (in) en su tesis de 1983.
Jeffrey Burdges demostró que, en un contraejemplo mínimo de la conjetura de Cherlin-Zilber ("mínimo" se entiende en el sentido de que la conjetura se satisface para los cocientes entre dos subgrupos definibles propios), no hay ningún subgrupo Prüfer 2 con un subgrupo isomorfo a ℤ 2 ℤ 2 ℤ 2 . $\ veces$ $\ veces$

Referencias

(fr) Este artículo está tomado parcial o totalmente del artículo de Wikipedia en inglés titulado " Grupo estable " ( consulte la lista de autores ) .

(en) Tuna Altınel, Alexandre Borovik y Gregory Cherlin, Grupos simples de rango finito de Morley , Providence, RI, American Mathematical Society , coll. "Encuestas y Monografías Matemáticas" ( n o 145)2008, xx + 556 pág. ( ISBN 978-0-8218-4305-5 , DOI 10.1090 / surv / 145 , revisiones de matemáticas 2400564 ).
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