Tamaño de orientación

Una cantidad de orientación es una cantidad física , que se limita a describir la orientación de la cantidad física escalar asociada, de acuerdo con uno de los cuatro elementos de un grupo de Klein , interpretado aquí como tres cantidades direccionales 1 x , 1 y y 1 z , probablemente para representar tres tipos diferentes de orientación, y la magnitud 1 0 , elemento neutro del grupo que representa un escalar. En el análisis dimensional estándar, la dimensión de esta cantidad es "sin unidades" y no juega ningún papel. Una posible interpretación de esta extensión por parte del grupo de Klein es considerar que las cantidades físicas no solo se caracterizan por las cantidades de las unidades base del Sistema Internacional , sino también por una “cantidad de orientación” que da información sobre su relación con la dimensionalidad espacial.

Este enfoque conduce en particular a atribuir al radián una cantidad de orientación intrínseca no escalar, lo que permite formalizar simplemente la analogía entre rotación y traslación , y la diferencia intrínseca entre la cantidad física de las mismas unidades básicas en la UCI, pero sin embargo inconmensurable, como par y trabajo , o frecuencia y velocidad de rotación . Más generalmente, cualquier cantidad física derivada puede igualmente, paso a paso, caracterizarse por una cierta cantidad de orientación, utilizable como tal en una ecuación dimensional .

Otro enfoque consiste en atribuir a un parámetro físico, interviniendo en un problema particular, una cierta cantidad de orientación, esta vez traduciendo la orientación geométrica según la cual esta cantidad interviene en el problema. Permite afinar el análisis dimensional del problema dándole una perspectiva espacial, lo que permite, en particular, tener en cuenta el efecto de las rotaciones angulares, y permite distinguir el efecto de la restricción de homogeneidad impuesta por el ' análisis dimensional de las tres direcciones en el espacio. Si esta cantidad física es un vector o un pseudovector , la cantidad de orientación traduce información sobre la orientación del vector correspondiente, en comparación con el problema inicial.

Estos dos enfoques se pueden utilizar simultáneamente, pero no deben confundirse.

Histórico

¿Cuál es la dimensión de un ángulo?

La idea de que una dimensión particular puede asociarse con medidas angulares no es nueva, pero está plagada de dificultades. Para Maxwell , el análisis dimensional permite, en particular, ser independiente de la elección de un sistema particular de unidades, al permitir trasladar el valor numérico de una medida física de un sistema a otro:

“Conociendo la dimensión de cualquier medida física, podemos deducir inmediatamente su valor numérico expresado en un sistema de unidades a partir de su valor numérico expresado en otro sistema. "

Desde este punto de vista, la ecuación dimensional de una magnitud física describe, por tanto, la forma en que esta medida varía según la elección de la unidad, o se relaciona con la elección ya hecha de las unidades fundamentales de este sistema. En este caso, tiene sentido que también se pueda atribuir una dimensionalidad a las medidas angulares:

"Dado que la medida de un ángulo depende de la elección de una unidad (grados o radianes) y que la elección de esta unidad es independiente de la elección realizada para las otras unidades base, podemos concluir que un" ángulo "no lo es" sin unidad ", pero que las dimensiones [θ] y [Ω] de los ángulos planos y sólidos suelen suprimirse o descuidarse. "

Es relativamente fácil demostrar que la unidad asignada a un ángulo debe ser tal que , pero deducir que es una restricción injustificada. Es suficiente que [θ] sea una raíz cuadrada de la unidad, como se encuentra en números complejos y cuaterniones . ${\ Displaystyle [\ theta] ^ {2} = 1}$ ${\ Displaystyle [\ theta] = 1}$

Enfoque de proyección

Una extensión propuesta por Huntley al análisis dimensional consiste en considerar que las tres componentes de un vector deben ser consideradas como pertenecientes a cantidades distintas. En este caso, en lugar de tener solo una longitud L indiferenciada, tendremos una longitud Lx en la dirección x, y así sucesivamente.

Vemos así que este enfoque consiste en reducir un problema ubicado en el espacio de dimensión tres a varios problemas en espacios lineales de dimensión uno. El fundamento subyacente de tal enfoque es que cada componente de una ecuación dimensionalmente consistente debe ser en sí mismo dimensionalmente consistente, ya sea que la ecuación sea escalar, vectorial o tensorial. Por lo tanto, al proyectar el problema en cualquiera de sus ejes de simetría, uno puede (a veces) identificar ecuaciones independientes, y cada ecuación adicional resolverá una nueva variable.

Aunque a menudo es útil, por lo tanto, esta extensión del método propuesto por Huntley todavía tiene algunas deficiencias:

No maneja bien situaciones relacionadas con productos vectoriales;
No siempre es fácil asignar a las distintas variables del problema estas cantidades L, L $x$ , L $y$ y L $z$ , es decir identificar ejes de proyección relevantes;
Especialmente no permite gestionar los ángulos considerados como variables físicas.

En lugar de introducir solo tres dimensiones de longitud Lx de orientación distinta, como propone Huntley, Donald Siano propuso representar el carácter vectorial de ciertas cantidades para retener como una cantidad por derecho propio “cantidades de orientación” 1 x , 1 y y 1 z en la ecuación de dimensión, el símbolo que representa por su parte una cantidad escalar sin orientación. Con este enfoque, la dimensión proyectada propuesta por Huntley se convierte en una cantidad derivada compuesta L · 1 x , donde L traduce el carácter de "longitud" y 1 x traduce el carácter de "orientación" en una dirección particular, por lo que el carácter es esencialmente vectorial de esta magnitud. ${\ Displaystyle 1_ {0}}$ $L_x$

En las fórmulas dimensionales, las cantidades escalares a continuación, tienen una dimensión de 1 0 cualquiera que sea la dirección del espacio en el que se proyectan, pero las cantidades vectoriales reciben una dimensión de no cero orientación - de los cuales la elección en x, y, z es relativamente arbitrario siempre que estas opciones se simplifiquen en la ecuación dimensional. La dirección puede ser, por ejemplo, "la del problema" 1 x cuando sólo está involucrada una dirección, pero se convierte en "la otra dirección del plano" 1 y cuando ocurre un segundo, y "la dirección ortogonal a las otras dos" 1 z , según sea necesario.

Álgebra de orientación

Con esta convención, Siano muestra que estos símbolos de orientación siguen un álgebra propia, la del grupo de Klein para su ley aditiva, dada por:

${\ Displaystyle 1_ {0}}$ es el elemento neutral, por tanto . Esto refleja el hecho de que la multiplicación por un escalar no cambia la orientación de un vector. ${\ Displaystyle 1_ {0} .1_ {i} = 1_ {i} .1_ {0} = 1_ {i}}$
Por tanto, cada elemento es su propio inverso . Esto refleja el hecho de que para el producto escalar de dos vectores, uno de los cuales es la orientación , el único componente del segundo que se produce es la proyección del segundo en esta misma orientación , teniendo todos los demás componentes una contribución cero; y el resultado es un escalar de orientación $1$ $0$ . Por lo tanto, que la consecuencia es :, y , es decir que sólo la paridad de los interviene de orientación en la dimensión de una unidad. ${\ Displaystyle 1_ {i} .1_ {i} = 1_ {0}}$ ${\ Displaystyle 1_ {x}}$ ${\ Displaystyle 1_ {x}}$ ${\ Displaystyle 1_ {i} ^ {- 1} = 1_ {i} ^ {2n + 1} = 1_ {i}}$ ${\ Displaystyle 1_ {i} ^ {2n} = 1_ {0}}$
El compuesto de dos tamaños de diferente orientación (no escalares) da el tercero, es decir para los índices diferentes y distintos de cero. Esto refleja el hecho de que en el producto cruzado de dos vectores, uno de los cuales es la orientación , el único componente del segundo que se produce es el componente de orientación ortogonal , teniendo el componente paralelo una contribución cero; y el resultado es un nuevo vector de orientación perpendicular a los dos primeros, por lo tanto, orientación . Sin embargo, tenga en cuenta que, a diferencia del producto vectorial, la multiplicación es conmutativa, el resultado no cambia de signo cuando intercambia las dos direcciones (ya que la orientación es su propia inversa) . ${\ Displaystyle 1_ {i} .1_ {j} = 1_ {k}}$ ${\ Displaystyle 1_ {x}}$ ${\ Displaystyle 1_ {y}}$ ${\ Displaystyle 1_ {z}}$ ${\ Displaystyle 1_ {i} .1_ {j} = 1_ {j} .1_ {i}}$

Por lo tanto, las cantidades de orientación presentan una fuerte analogía con el álgebra de cuaterniones , la diferencia esencial es que donde el producto de los cuaterniones tiene un signo negativo que refleja una orientación de las direcciones del espacio en un sentido particular, el producto de la orientación de las cantidades es siempre positivo, distinguiendo entre tres dimensiones, pero sin precisar su significado.

Dimensión de una rotación

Con estas consideraciones, Siano muestra que el ángulo, sin tener una "dimensión" en el sentido habitual del término, puede sin embargo llevar una "cantidad de orientación" adimensional, en el plano geométrico.

De hecho, consideremos la figura geométrica clásica de un triángulo rectángulo, en el que se definen las diversas funciones trigonométricas: con respecto al eje x , un radio del círculo unitario forma un ángulo α. El lado adyacente del triángulo es una longitud llevada por el primer eje x , y por lo tanto tiene la cantidad de orientación geométrica L · 1 x . El lado opuesto está en una dirección perpendicular transportada por un segundo eje y , y por lo tanto tiene la cantidad de orientación geométrica L · 1 y . En consecuencia, la tangente del ángulo α, que es la relación del lado opuesto al lado adyacente, tiene una magnitud de orientación geométrica . ${\ Displaystyle 1_ {x} .1_ {y} ^ {- 1} = 1_ {x} .1_ {y} = 1_ {z}}$

Evidentemente, la función matemática "tangente" no puede imponer por sí misma una dimensión a su resultado, incluso si se limita a una cantidad de orientación. Por lo tanto, esta cantidad se hereda de la dimensión adecuada que debe tener el ángulo α.

Esta dimensión de orientación de un ángulo debe en particular dejar homogénea la fórmula del desarrollo de la función en serie de Taylor :

{\ Displaystyle \ tan (\ alpha) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} | B_ {2n} | {\ frac {4 ^ {n} (4 ^ {n} -1)} {( 2n)!}} \ Alpha ^ {2n-1} = \ alpha + ...}

Por lo tanto, si una tangente tiene una dimensión de orientación 1 z , el ángulo α debe tener necesariamente esta misma dirección de orientación 1 z . Esto solo es posible porque esta dimensión es su propia inversa: como todos los términos en α son de potencia impar en esta expansión en serie, todos tienen la misma dimensión de orientación 1 z , y la totalidad de la suma es, por lo tanto, en este caso de dimensión homogénea. Este no puede ser el caso de dimensiones clásicas como longitudes o masas, porque estas cantidades no son su propia inversa, la serie no sería homogénea y por lo tanto no tiene significado físico; es por esta razón que, en general, una función matemática solo se puede aplicar a una variable adimensional.

Para ser perfectamente exactos, no es el ángulo del plano propiamente dicho el que tiene esta dimensión (es decir, el rumbo con respecto a una posición de referencia), sino la desviación angular que traduce una rotación en un espacio tridimensional :

una rotación es de dimensión 1 z .

El mismo resultado se puede obtener directamente al observar que en coordenadas polares (r, α), una variación elemental dα implica un desplazamiento ortogonal dx = r.dα: siendo dx una cantidad de orientación geométrica en comparación con la distancia r posada de orientación 1 x , la homogeneidad de la fórmula impone que dα tenga una cantidad de orientación geométrica 1 z , que es por tanto aquí la dimensión del radianes . Siendo la figura genérica, también es la magnitud de la orientación atribuida convencionalmente a las rotaciones, por lo tanto a la magnitud de la desviación angular . ${\ Displaystyle 1_ {y}}$

Si este razonamiento muestra que un ángulo puede tener una dimensión de orientación, no impone una en particular, y la asignación de tal orientación a tal cantidad física es en realidad indiferente en comparación con una permutación circular de las tres cantidades de orientación.

Cantidad de orientación de funciones

Funciones trigonométricas

Por lo tanto, expresado el ángulo en unidad de dimensión de orientación 1 z , vemos por una expansión en serie que el seno es igualmente de dimensión 1 z , mientras que el coseno es un escalar de dimensión 1 0 .

Estas dos dimensiones son diferentes, desde el que se puede concluir, por ejemplo, que no puede ser una solución de una ecuación física que es de la forma general , donde $un$ y $b$ sería escalares, porque esta fórmula no sería entonces no homogénea. ${\ Displaystyle \ scriptstyle a \ cos (\ theta) + b \ sin (\ theta)}$

Rotaciones y desviaciones angulares

Sin embargo, debemos tener cuidado con los casos particulares, y notar por ejemplo que una fórmula como es homogénea a pesar de las apariencias, porque es un caso particular de la fórmula que da el seno de una suma de dos ángulos, que en el caso general se escribe, explicando las dimensiones de la orientación: ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ sin (\ theta + \ pi / 2) = \ cos (\ theta)}$

{\ Displaystyle \ sin (a \, 1 _ {\ text {z}} + b \, 1 _ {\ text {z}}) = \ sin (a \, 1 _ {\ text {z}}) \ cos (b \, 1 _ {\ text {z}}) + \ sin (b \, 1 _ {\ text {z}}) \ cos (a \, 1 _ {\ text {z}}),}

En el caso particular donde y , la fórmula se simplifica a , que es bastante homogénea, porque el término en cos es en realidad multiplicado por un pecado invisible (π / 2) que le da la orientación correcta. ${\ Displaystyle \ scriptstyle a = \ theta}$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle b = \ pi / 2}$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ sin (\ theta \, 1 _ {\ text {z}} + (\ pi / 2) \, 1 _ {\ text {z}}) = 1 _ {\ text {z}} \ cos (\ theta \, 1 _ {\ text {z}})}$

En términos de ecuaciones dimensionales, de hecho, las cantidades físicas se definen hasta una constante multiplicativa, pero no mediante una constante aditiva. Por lo tanto, las soluciones en θ son soluciones en k .θ, pero no se pueden traducir inmediatamente a k .θ + Cte.

Función compleja

Algunas cantidades físicas están representadas por un número complejo . De la ecuación:

{\ Displaystyle e ^ {i \ theta} = \ cos (\ theta) + i \ sin (\ theta)}

vemos que el número imaginario puro i debe ser de dimensión de orientación 1 z para que la fórmula sea homogénea, es decir, tiene la misma dimensión de orientación que una rotación.

Una vez adquirido esto, el factor iθ es de hecho un escalar de orientación 1 0 , y toda la fórmula es entonces de dimensión escalar. Además, como la función exponencial no es par ni impar, es muy necesario que su argumento sea un escalar, por lo que la magnitud de orientación de i es la misma que la del ángulo que multiplica.

Funciones pares e impares

De manera más general, el desarrollo de funciones matemáticas en serie muestra fácilmente que:

Una función impar puede aceptar un argumento de dimensión de orientación en 1 z , y en este caso el resultado es de la misma dimensión 1 z ;
Una función par puede aceptar un argumento de dimensión de orientación 1 z , y siempre da un resultado de dimensión escalar en 1 0 ;
En los otros casos, una función matemática solo puede aceptar argumentos escalares en 1 0 (y obviamente da un resultado de dimensión escalar en 1 0 ).

Podemos notar que debido a que i tiene dimensión de orientación , esta regla que gobierna la homogeneidad de fórmulas en el plano físico es idéntica a la regla correspondiente en el nivel matemático: una función analítica aplicada a una variable imaginaria pura será pura imaginaria si la función es impar , será real si la función es par, y se mezclará en los demás casos. ${\ Displaystyle 1_ {z}}$

Cantidad de orientación de una cantidad física

Orientación de una cantidad

El ejemplo anterior muestra que es posible asignar una cantidad de orientación a las cantidades de un problema físico particular. Este ejemplo muestra al mismo tiempo que la asignación es necesariamente arbitraria, pudiendo resolverse el mismo problema de la misma manera módulo una permutación circular arbitraria de las tres cantidades de orientación.

También es posible utilizar estas cantidades de orientación para el análisis dimensional no de un problema físico dado, sino de una cantidad física dada. La asignación de una cantidad de orientación a una cantidad física es en este caso igual de arbitraria, pero es necesariamente fija, no dependiendo de la geometría "del problema", ya que no está vinculada a un problema particular. Tal asignación permite decir, por ejemplo, que una velocidad es una cantidad física intrínsecamente vectorial de dimensión L · T -1 · 1 x $\,$ , en cambio que es una cantidad en L · T -1 $\,$ , que “además es una vector. El carácter vectorial se adjunta entonces a la naturaleza misma de la cantidad física, en lugar de ser una característica añadida a su medida. Asimismo, permite explicar las “unidades auxiliares” que son el radián y el estereorradián , dando un contenido objetivo y específico a las magnitudes físicas asociadas.

Teniendo en cuenta la cantidad de orientación, es posible distinguir entre unidades que también se basan en las mismas unidades base. Así es como la diferencia entre un par y una energía es intrínseca, porque aunque ambos expresados en kg 2 ⋅ m 2 ⋅ s −2 , un par es un pseudovector en M 2 · L 2 · T - 2 · 1 y $\,$ $\,$ $\,$ teniendo en cuenta su magnitud de orientación, mientras que una energía es un escalar en M 2 · L 2 · T -2 · 1 0 $\,$ $\,$ $\,$ , por lo tanto de dimensionalidad en realidad incompatible. Igualmente :

Aunque ambos en s −1 , una frecuencia es un escalar en T -1 · 1 0 $\,$ , mientras que una velocidad de rotación es un pseudoescalar en T -1 · 1 z $\,$ .
Aunque ambos en kg ⋅ s −1 , una impedancia mecánica es un escalar en M · T -1 · 1 0 $\,$ , mientras que un flujo másico es un flujo en M · T -1 · 1 z $\,$ .
Aunque todo en kg ⋅ m 2 ⋅ s −1 , la acción (física) es un escalar en M · L 2 · T -1 · 1 0 $\,$ $\,$ , al igual que la constante de Planck ; el momento angular es un pseudovector en M · L 2 · T -1 · 1 y $\,$ $\,$ ; y la constante de Planck reducida es un pseudoescalar en M · L 2 · T -1 · 1 z $\,$ $\,$ .

Convenciones de asignación

Orientaciones en 1 x (vectores verdaderos)

En relación con las unidades base del Sistema Internacional , la única cantidad que tiene un carácter intrínsecamente vectorial es la longitud, en forma de desplazamiento. Por convención, siendo la elección arbitraria, se le atribuirá como arriba una cantidad de orientación en 1 x , la de "la línea de escritura": mientras no haya diferencia en la orientación, todos los vectores considerados están alineados en una dirección o en la otros a lo largo de esta línea. Así, un desplazamiento geométrico se realiza esencialmente "en la dirección de referencia", y su dimensión es, por convención, en 1 x .

Las cantidades de orientación de las cantidades físicas derivadas pueden entonces deducirse de ellas, de la misma manera que su dimensión: paso a paso, a través de las relaciones que las unen. En general, se podrá notar que las magnitudes físicas que resultan en vectores verdaderos siempre pueden recibir una orientación en 1 x , sin que esto pueda introducir inconsistencia: la orientación 1 x es la de los vectores verdaderos.

Orientaciones en 1 y (pseudovectores)

El área de un paralelogramo determinada por dos desplazamientos y está dada por el producto cruzado de estos dos vectores: ${\ Displaystyle \ scriptstyle {\ overrightarrow {OA}}}$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle {\ overrightarrow {OB}}}$

{\ displaystyle {\ overrightarrow {S}} = {\ overrightarrow {OA}} \ wedge {\ overrightarrow {OB}}}

En términos de la ecuación dimensional, el producto de las dos dimensiones propias de los dos desplazamientos, en L · 1 x , da una dimensión escalar en L 2 · 1 0 en $\,$ lugar del pseudovector esperado. Por tanto, es el operador “producto vectorial” el que introduce por sí mismo el carácter pseudovectorial específico de la superficie, lo que lleva a asignar a este operador una dimensión anotada 1 y . Esta asignación permite, en particular, encontrar la misma dimensión en 1 y para el elemento de superficie .

En general, podemos encontrar la misma, paso a paso, que la dimensión de orientación 1 no es característico de pseudovecteurs . La asignación de una cantidad de orientación a un operador que es el producto vectorial no es inusual en física, y permite encontrar correctamente las reglas habituales de composición entre vectores y pseudovectores : teniendo en cuenta las reglas sobre l El álgebra de cantidades de orientación, recordó arriba, el producto cruzado de dos vectores verdaderos está en 1 x . 1 y . 1 x = 1 y , por lo tanto, un pseudovector; el producto de dos pseudovectores es 1 y . 1 y . 1 y = 1 y , por lo que también es un pseudovector; mientras que el caso mixto está en 1 x . 1 y . 1 y = 1 x , entonces un vector verdadero.

Orientaciones en 1 z (flujo y ángulos)

Por tanto, la tercera cantidad de orientación debe ser el producto de las dos anteriores, no en forma vectorial (que todavía introduciría una dimensión en 1 y ), sino en forma de producto escalar. Es por ejemplo esta combinación la que se encuentra en todas las integrales de flujo , en la forma elemental:

{\ Displaystyle \ mathrm {d} \ Phi = {\ overrightarrow {u}} \ cdot {\ overrightarrow {\ mathrm {d} S}}}

Si es una velocidad en L · T -1 · 1 x , su producto por una superficie elemental en L 2 · 1 y se expresará por un caudal , cuya dimensión será por tanto en L 3 · T -1 · 1 z . $\ scriptstyle {\ vec u}$ $\,$ $\,$ $\,$ $\,$

Esta cantidad de orientación es también la de los ángulos, que se puede encontrar en la fórmula que da el producto vectorial, esta vez anotado en forma de escalar multiplicando el vector normal a la superficie:

{\ displaystyle {\ overrightarrow {S}} = {\ overrightarrow {OA}} \ wedge {\ overrightarrow {OB}} = OA.OB. \ sin \ theta. {\ vec {n}}}

Siendo la superficie un pseudovector en 1 y , y el vector normal un vector verdadero 1 x , el que aparece en la fórmula numérica dando el valor de esta superficie debe estar en 1 z , y por lo tanto de manera general es así - arriba la dimensión del ángulo θ formado por los dos vectores. ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ sin \ theta}$

En general, la dimensión de orientación en 1 z es efectivamente la de las cantidades de flujo, ángulos o ángulos sólidos, que son visualmente más significativos. Se pueden hacer algunas observaciones sobre la construcción de esta tercera magnitud de orientación, la de los pseudoescalares:

Si el flujo macroscópico a través de una superficie definida se comporta efectivamente como una cantidad escalar, el flujo elemental es sin embargo una cantidad esencialmente orientada, en la medida en que su valor depende del ángulo entre la superficie y el vector, y que es máximo cuando estos dos (pseudo ) los vectores están alineados. El flujo solo se define con respecto a la orientación de una superficie de referencia; y fundamentalmente, "el flujo en un punto" aparte de la superficie solo puede ser una cantidad orientada.
El flujo es máximo cuando y son de la misma "dirección", aunque uno esté en 1 x y el otro en 1 y : esto muestra claramente la diferencia que debe hacerse entre la orientación de un vector o de un pseudovector particular en un problema físico, y la cantidad de orientación de la unidad asociada: no es porque una cantidad esté intrínsecamente catalogada como en 1 x que estará orientada en la dirección de la x en tal o cual problema físico concreto. $\ scriptstyle {\ vec u}$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle {\ overrightarrow {dS}}}$
A nivel geométrico, el concepto importante para las rotaciones es el de rotación, y el del plano en el que tiene lugar el fenómeno físico considerado. En sí misma, una rotación a lo largo del eje x no cambia este eje, los efectos de una rotación se observan en geometría plana en el eje xy , y el eje de rotación correspondiente, en tres dimensiones, es entonces el del eje z .

Orientación de algunas unidades

La asignación de los cuatro elementos del grupo de Klein a las dimensiones de las magnitudes físicas es convencional y sobre todo refleja la diferencia entre vectores y pseudovectores . La diferencia entre los dos se manifiesta cuando una situación física se transforma por una simetría central (o lo que equivale a lo mismo, por una simetría en un espejo): un vector se transforma en su opuesto, mientras que un pseudovector permanece invariante. Asimismo, en tal transformación, los escalares permanecen sin cambios, mientras que las cantidades de flujo cambian de signo. Las cantidades físicas se distribuyen luego en cuatro clases, cuyas reglas de composición con respecto al producto escalar son las del grupo de Klein , y las relativas al producto cruzado se deducen atribuyendo a este operador una cantidad en 1 z .

El carácter variable de ciertas cantidades con respecto a una simetría central a menudo se ve oscurecido por la convención de orientación que quiere que los volúmenes de los cuerpos físicos, por ejemplo, siempre se cuenten positivamente, lo que equivale a multiplicar la cantidad considerada por una unidad constante en 1 y. : este es el caso de volúmenes, presiones, superficies orientadas "hacia afuera", etc.

1 0 escalar	1 x vector	1 y Pseudovector	1 z Pseudoescalar
			Ángulo plano : 1 z
Masa de inercia : M · 1 0	Desplazamiento : L · 1 x	Tamaño : L 2 · 1 son $\,$	Volumen : L 3 · 1 z $\,$
Frecuencia : T -1 · 1 0 $\,$	Velocidad : L · T -1 · 1 x $\,$		Velocidad de rotación : T -1 · 1 z $\,$
Energía : M · L 2 · T -2 · 1 0 $\,$ $\,$	Fuerza : M · L · T -2 · 1 x $\,$	Pareja : M · L 2 · T -2 · 1 y $\,$ $\,$	Presión : M · L -1 · T -2 · 1 z $\,$ $\,$
Momento de inercia : M · L 2 · 1 0 $\,$	Momento : M · L · T -1 · 1 x $\,$	Momento angular : M · L 2 · T -1 · 1 y $\,$ $\,$	Ángulo sólido : 1 z
Carga eléctrica : T · I · 1 0	Campo eléctrico : M · L · T -3 · I -1 · 1 x $\,$ $\,$	Campo magnético : M · T −2 · I −1 · 1 y $\,$ $\,$	Caudal : L 3 · T -1 · 1 z $\,$ $\,$
Corriente eléctrica : I · 1 0		Densidad de corriente : L -2 · I · 1 y $\,$	Densidad de carga : L -3 · T · I · 1 z $\,$

Si es relativamente sencillo distinguir entre vectores en 1 x y pseudovectores en 1 y , la distinción entre escalares y cantidades en 1 z no es obvia y, a veces, es contrintuitiva. Por lo tanto, si puede parecer lógico asignar una cantidad de flujo a un caudal de 1 y , la misma asignación para el volumen parece extraña. Sin embargo, es lógico, ya sea porque una cantidad es necesariamente del mismo tipo que su velocidad de evolución , o porque un volumen es efectivamente el producto de una superficie (pseudovector) por una altura (vector).

Efecto del acuerdo de orientación

El volumen, por sí solo, es de hecho una magnitud en 1 z , que por lo tanto cambia de signo cuando el marco de referencia está sujeto a simetría central. Sin embargo, dado que no existe un cuerpo físico con volumen negativo, el volumen de un sistema físico real siempre se cuenta positivamente, lo que equivale a multiplicarlo por la convención de orientación en 1 z . El volumen de un cuerpo físico es entonces un escalar, debido a la convención de orientación.

Asimismo, un elemento de superficie es normalmente un pseudovector en 1 y , pero la convención de orientación que quiere que su orientación en una superficie cerrada se dirija hacia afuera equivale a multiplicarlo por la convención de orientación en 1 z , lo que lo convierte en un vector en 1 x .

El uso de esta convención de orientación puede ser problemático en el análisis dimensional, porque corresponde a una cantidad que de otro modo sería generalmente invisible en los datos del problema.

Cantidad de orientación en ecuación dimensional

Ejemplo

Como ejemplo de aplicación, Siano toma el problema del alcance de un proyectil. Con respecto a la dirección del punto de impacto, el ángulo de disparo α impone una rotación de esta dirección en un plano perpendicular, y puede notarse ; y la gravedad es un vector en este mismo plano vertical pero girado con respecto a , por tanto, de orientación . Con estas convenciones de orientación, el pentagrama $P$ tiene entonces la forma: ${\ Displaystyle 1_ {x}}$ ${\ Displaystyle 1_ {y}}$ ${\ Displaystyle 1_ {x}}$ ${\ Displaystyle 1_ {z}}$

{\ Displaystyle P \ propto g ^ {a} \, v ^ {b} \, \ alpha ^ {c}}

, lo que implica :

{\ Displaystyle {\ mathsf {L}} \, 1 _ {\ mathrm {x}} \ sim \ left ({\ frac {{{\ mathsf {L}} \, 1 _ {\ text {z}}} {{\ mathsf {T}} ^ {2}}} \ right) ^ {a} \ left ({\ frac {\ mathsf {L}} {\ mathsf {T}}} \ right) ^ {b} \ , 1_ {\ mathsf {y}} ^ {c}. \,}

La homogeneidad dimensional impone entonces correctamente que $a = -1$ y $b = 2$ ; y con respecto a la cantidad de orientación, $c$ debe ser un número entero impar (por lo tanto, puede tomarse igual a la unidad).

Un análisis adicional muestra que la función buscada en α, necesariamente impar por razones de homogeneidad, es periódica con período 2π (por lo tanto de la forma ) y desaparece para α = 0 y α = π / 2: por lo tanto n = 2 y la función deseada es . Entonces tenemos : ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ sin (n \ alpha)}$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ sin (2 \ theta)}$

{\ Displaystyle P \ propto {\ frac {v ^ {2}} {g}}. \ sin (2 \ alpha)}

Determinación de funciones angulares.

En una ecuación dimensional, tener en cuenta una cantidad de orientación, por lo tanto, permite obtener información adicional con respecto a una dimensión angular, donde el enfoque convencional elimina por completo este parámetro, pero esta información permanece muy fragmentaria. La única información que se obtiene realmente es del tipo “par / impar”, es decir, si dicha función existe o no. Además, hay que tener en cuenta tres puntos en la búsqueda de la solución por vías complementarias:

Cuando una ecuación dimensional que involucra un ángulo muestra que esta dimensión se puede imputar a una función trigonométrica, la solución puede estar en el primer orden de la forma si la dimensión está en o en si la dimensión está en , pero en todos los casos, el El ángulo es bastante necesariamente la desviación angular desde cero, y no desde "hasta una constante arbitraria" (una constante angular aditiva impondría un desplazamiento angular en la dirección y, en consecuencia, modificaría su orientación en la ecuación). ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ sin (k. \ alpha)}$ ${\ Displaystyle 1_ {z}}$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ cos (k. \ alpha)}$ ${\ Displaystyle 1_ {0}}$ ${\ Displaystyle 1_ {z}}$

La función trigonométrica involucrada, de la forma, está determinada solo a una constante multiplicativa. Un análisis complementario rápido de una solución a menudo permite identificar el valor del coeficiente de proporcionalidad arbitrario (pero a menudo pequeño) k : la solución suele ser periódica en 2π, lo que implica que k es un número entero; y los ceros de la función a menudo son fácilmente identificables, lo que permite identificar los posibles valores de k . ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ sin (k. \ alpha)}$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ sin (k. \ alpha)}$

Si el análisis dimensional muestra que el factor debe ser de dimensión de orientación en , la función buscada es en el caso general de tipo , donde f es una función impar. Por tanto, una solución así identificada sólo es válida en el primer orden, pudiendo la fórmula real incluir además los armónicos de esta función básica. Este suele ser el caso, por ejemplo, del período de oscilación del péndulo pesado . ${\ Displaystyle 1_ {z}}$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle f (\ sin (k. \ alpha))}$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ sin (k. \ alpha)}$

Orientación de un problema físico

El ejemplo anterior también muestra que la asignación de una cantidad de orientación a una variable particular depende de la geometría del problema caso por caso, ya que el vector que determina el punto de impacto se anota en 1 x , el campo gravitacional se anota en 1 y porque es ortogonal al primero .

Las interacciones entre cantidades orientadas corresponderán a productos escalares o productos vectoriales, siempre es posible, resolver la ecuación con las dimensiones de un problema físico particular, considerar que el problema solo se desarrolla en tres direcciones perpendiculares dos a dos: las componentes que no sean paralelos u ortogonales tendrán de todos modos una contribución cero a la solución.

Debe enfatizarse que la cantidad de orientación, aunque siempre sigue el álgebra del grupo de Klein , corresponde a dos casos de uso distintos dependiendo de si se aborda la ecuación de dimensión de un problema físico dado o la de una cantidad física particular. Si es necesario tener en cuenta al mismo tiempo las cantidades de orientaciones correspondientes a las direcciones vectoriales y las correspondientes a las cantidades físicas involucradas, las dos son inconmensurables y es importante no confundirlas. En este caso el problema puede ser tratado efectivamente según los dos aspectos, porque la ecuación física debe ser homogénea al mismo tiempo según las cantidades de orientación de las cantidades físicas, y según la orientación geométrica que tome tal o cual vector o pseudovector en el problema particular. La notación puede reflejar fácilmente esta restricción, por ejemplo, notando 1 zx un pseudovector (en z ) que estaría alineado a lo largo del eje x en el problema particular.

Notas y referencias

Referencias

Encyclopaedia Britannica, novena edición. VII, 241
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Desde el 20 ª Conferencia General de la Oficina Internacional de Pesos y Medidas , el radián perdió su estatus único como "unidad auxiliar" y ahora se ve como una unidad derivada, "unidad sin dimensión cuyo nombre y el símbolo se puede utilizar, pero no necesariamente , en expresiones de otras unidades derivadas del SI, según corresponda ”. Por tanto, su uso es siempre opcional en lo que respecta a la expresión de unidades del Sistema Internacional de Unidades .
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Vínculos internos

enlaces externos

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