En álgebra , una forma sesquilínea en un espacio vectorial complejo E es un mapa de E × E en ℂ, lineal según una de las variables y semilineal con respecto a la otra variable. Por lo tanto, tiene una propiedad de linealidad de "uno y medio" (cf. prefijo sesqui , que significa "en una proporción de uno y medio"). Es el equivalente complejo de las formas bilineales reales.
Las formas sesquilíneas más estudiadas son las formas hermitianas que corresponden a formas bilineales simétricas (reales). Entre estos, las formas hermitianas definidas positivas permiten dotar a E de un producto escalar y abierto al estudio de espacios hermitianos , espacios prehilbertianos complejos y espacios de Hilbert .
Planeada inicialmente como un primer paso para la creación de una forma hermitiana en ℂ, la noción de forma sesquilínea puede extenderse a espacios vectoriales en otros cuerpos e incluso a módulos en anillos .
Sea E un espacio vectorial ℂ, un mapa φ de E a ℂ es una forma semilineal (o antilineal ) si respeta la suma y casi la multiplicación por un escalar: para todo x , y de E , para todo λ de ℂ:
donde λ es el conjugado de λ .
Una aplicación (o formulario) semilineal verifica:
lo que justifica el otro término utilizado: aplicación antilineal.
Las convenciones que siguen imponen una elección del argumento que es lineal. La siguiente opción (forma sesquilínea a la izquierda: primera variable semilineal, segunda variable lineal) es utilizada por todos los físicos, debido originalmente al uso de la notación bra-ket (quizás no universal), pero la opción opuesta ha ha sido común en matemáticas desde la década de 1950.
Sean E y F espacios vectoriales complejos, un mapa f : E × F → ℂ es una forma sesquilínea izquierda si:
a) Es lineal a la derecha: para todo x de E , y , y ' de F , para todo λ de ℂ: b) Se deja semilineal , lo que significa que para todo x , x ' de E y y de F , para todo λ de ℂ: .Las formas sesquilíneas (a la izquierda) constituyen un subespacio vectorial complejo del espacio de los mapas de E × F en ℂ.
Un mapa f : E × F → ℂ es una forma sesquilineal derecha , si y solo si, el mapa g : F × E → ℂ, definido por g ( x , y ) = f ( y , x ) es sesquilinear a la izquierda.
Una forma hermitiana (o sesquilínea ) izquierda (o derecha) sobre un espacio vectorial complejo E es una forma sesquilínea izquierda (o derecha, según la convención elegida) en E × E que satisface la propiedad de simetría hermitiana:
Para todos x y y de E ,En particular, para cualquier vector x de E :, por lo tanto, es un número real.
Por el contrario, una forma sesquilineal f , tal que f ( x , x ) es real para cualquier vector x , es hermitiana.
DemostraciónSi, para todo x , el número complejo f ( x , x ) es real, entonces para todo y y z , e igualmente (reemplazando z por i z ) Los dos números f ( y , z ) yf ( z , y ) tienen, por tanto, una suma real y una diferencia imaginaria pura , es decir, son conjugados.
Las formas hermitianas (izquierda) constituyen un subespacio vectorial real del espacio de formas sesquilíneas (izquierda).
Una forma hermitiana positiva es una forma sesquilínea como:
para cada x de E , ,entonces es hermitiano, según la caracterización anterior.
Una forma hermitiana definida es una forma hermitiana tal que
para todo x de E , implicaUna forma hermitiana no degenerada es una forma hermitiana como:
para todo x de E , si para todo y de E , entoncesCualquier forma hermitiana definida es, por tanto, no degenerada. Para una forma hermitiana positiva, lo contrario es cierto gracias a la desigualdad de Cauchy-Schwarz : se define cualquier forma hermitiana positiva no degenerada.
Una forma hermitiana definida positiva (o positiva no degenerada) también se denomina producto escalar hermitiano .
Deje K un cuerpo y sigma un automorphism orden de 2 (es decir involutivo ) y V un espacio vectorial sobre el campo K . Una forma sesquilínea derecha es un mapa h : V × V → K tal que:
En otras palabras, h es lineal a la izquierda y semilineal a la derecha.
Si además la forma satisface la siguiente propiedad, conocida como simetría hermitiana: la forma sesquilínea es una forma hermitiana y las condiciones 2) y 4) se realizan automáticamente tan pronto como se dan las condiciones 1) y 3).
Sea A un anillo no conmutativo y U y V dos módulos A a la izquierda. Consideramos un anti-automorfismo σ en A , es decir, una biyección en A , verificando, para todo α y β de A , σ (α + β) = σ (α) + σ (β) y σ (αβ) = σ ( β) σ (α).
Una forma sesquilínea derecha en U × V es un mapa h de U × V a A , lineal a la izquierda y semilineal a la derecha, es decir, verificando: