Automorfismo
Un automorfismo es un isomorfismo de un objeto matemático X dentro de sí mismo. Muy a menudo, es una biyección de X a X que conserva la "estructura" de X. Puede verse como una simetría de X. Los automorfismos de X forman un grupo .
Definición
La definición abstracta de un automorfismo es la siguiente: es un endomorfismo que es al mismo tiempo un isomorfismo . En otras palabras, es un morfismo de un objeto X de una categoría dada en sí mismo, que también es un isomorfismo.
Esta definición es muy general y puede parecer bastante abstracta. En los casos más frecuentes, sin embargo, se reduce a algo mucho más concreto. Por ejemplo, en el caso de una estructura algebraica , un automorfismo será simplemente un mapeo uno a uno que preserva las leyes de composición que definen la estructura.
El conjunto de automorfismos de un objeto X generalmente se denota Aut (X), o cuando queremos especificar que nos colocamos en la categoría C. La composición de funciones (o flechas en el marco general de categorías) le da a Aut (X) una estructura de grupo: el elemento neutro es la función de identidad, y el inverso de un automorfismo es su recíproco.
Ejemplos de
- Si X es un conjunto, el grupo de automorfismos de X es el grupo simétrico de X.
- Si V es un espacio vectorial en un campo conmutativo K, los automorfismos de V son los mapas lineales uno a uno de V en sí mismo. En el caso de que V sea de dimensión finita n , Aut (V) es isomorfo al grupo lineal GL n (K).
- Si X es un espacio topológico , los automorfismos de X son los homeomorfismos de X en sí mismo.
- Si M es una variedad diferencial , los automorfismos de M son los difeomorfismos de M en sí mismo.
- Si K es un campo , un automorfismo de K es simplemente un morfismo de anillo biyectivo de K a K. Por ejemplo, no tiene automorfismos no triviales (es decir, diferentes de identidad ). Por otro lado, tiene dos automorfismos continuos : identidad y conjugación. también tiene otros automorfismos de cuerpos no continuos. El estudio de los automorfismos de los cuerpos constituye el principal objeto de la teoría de Galois .
Automorfismos interiores y exteriores
Si G es un grupo, sus automorfismos son los morfismos uno a uno de G a G.
Para todo , el mapa es un automorfismo de G. El mapa es entonces un morfismo de grupos de G a Aut (G). Su núcleo es el centro de G. Su imagen , denotada Int (G), es un subgrupo normal de Aut (G), cuyos elementos (ellos ) se denominan automorfismos interiores de G. El cociente de Aut (G) por Int ( G) se denota Fuera (G); sus elementos se denominan automorfismos exteriores de G.
Subgrupo del grupo de automorfismo
- A veces podemos estar interesados en un subgrupo del grupo de automorfismos. Uno de los primeros ejemplos llamativos es el de un automorfismo corporal que es la identidad de un subcuerpo; si K es el cuerpo L y el sub-cuerpo, tal automorphism se denomina K-automorfismo de L . Este concepto dio lugar a la teoría de Galois .
- Si tenemos un morfismo, f , de A a B nos pueden interesar los automorfismos de A que sean compatibles con f . Obtenemos así el concepto de morfismo por encima de un objeto, un concepto muy presente en la geometría algebraica . Si el morfismo f es un recubrimiento, encontramos la teoría de Galois vinculada a los recubrimientos.