Desviación hacia el este

La desviación hacia el este es un fenómeno físico que corresponde al hecho de que un cuerpo en caída libre no sigue exactamente la dirección de la gravedad , sino que es ligeramente desviado hacia el este por la fuerza de Coriolis resultante de la rotación de la Tierra. Desde el final del XVIII °  siglo , este fenómeno dio lugar a varios experimentos para ser destacado, sobre todo las de Ferdinand Reich en 1831. Reich llamó proyectiles en un pozo 158 metros de profundidad en Freiberg (Sajonia) . Observó una desviación de 28  mm hacia el este.

Esta rotación hacia el este está relacionada con la dirección de rotación de la Tierra. En una estrella que gira en la dirección opuesta, la desviación sería hacia el oeste.

Historia

La desviación hacia el este fue prevista, aparentemente por primera vez, por Newton en una carta a Hooke el 28 de noviembre de 1679 (8 de diciembre de 1679en el calendario gregoriano ). En pocas palabras, tomemos el caso ecuatorial. Se da cuenta de que el punto A tenía una velocidad Ω · (R + h ), donde Ω es la velocidad de rotación de la Tierra, R su radio, h la altura sobre el suelo. Esta velocidad es mayor que la velocidad del punto O en el suelo en la vertical A hacia abajo . Esta diferencia de velocidad corresponde a una pequeña velocidad hacia el este de Ω · h , por lo que la desviación es hacia el este. Está dado por 2/3 Ω · h · T 0 , donde T 0 es el tiempo de caída, el coeficiente 2/3 no puede ser determinado por esta explicación rudimentaria.

Es con dificultad que se demuestra mediante experimentos: en 1790-1791por el padre Guglielmini (1760-1817); en1794-1795por Tadini (1754-1830); luego en1802-1804por Benzenberg (1777-1846). En1803, Laplace (1749-1827) y Gauss (1777-1855) obtienen, independientemente unos de otros, la expresión matemática de la desviación hacia el este. Los experimentos de Reich en1831se consideran prueba de la desviación, aunque la incertidumbre de las mediciones es mucho mayor que la desviación en sí. Ellos fueron confirmados a principios del XX °  siglo por Salón (1855-1938) en 1902y por Flammarion (1842-1925) en 1903. La existencia de la desviación se verifica mediante1912de Hagen  (en) y al año siguiente de Gianfrancheschi  (de) , ambos con una máquina Atwood .

Importancia

La existencia de este fenómeno prueba, como el experimento del péndulo de Foucault , que la Tierra gira sobre sí misma en un marco de referencia galileo , sin recurrir a la más mínima observación astronómica. Verificar la consistencia de los resultados observados con las predicciones teóricas dadas por la mecánica newtoniana ha sido un desafío experimental.

Fórmula de desviación este

Expresión

La fórmula de desviación hacia el este es una forma simplificada de la representación vectorial descrita en los siguientes párrafos. Permite calcular la desviación hacia el este de un cuerpo en caída libre en un marco de referencia terrestre. Esta desviación se explica por la presencia de la fuerza de Coriolis que aparece en las ecuaciones de movimiento, porque la Tierra que gira sobre sí misma no es un punto de referencia galileano .

La longitud de esta desviación viene dada por la fórmula aproximada:

D=2Ω32h3gramoporque⁡φ{\ Displaystyle d = {\ frac {2 \ Omega} {3}} {\ sqrt {\ frac {2h ^ {3}} {g}}} \ cos \ varphi},

o :

• Ω{\ Displaystyle \ Omega}es la velocidad angular de rotación de la Tierra , expresada en radianes por segundo;
• gramo{\ Displaystyle g}es la aceleración de la gravedad , expresada en metros por segundo 2 (9.806 65 m / s 2 );
• h{\ Displaystyle h}es la altura de la caída, expresada en metros  ;
• φ{\ Displaystyle \ varphi}es la latitud del punto en el que se produce la caída, expresada en radianes .

La desviación hacia el este es máxima en el ecuador y es cero en el Polo Norte como en el Polo Sur .

Ecuación rigurosa

La fuerza de Coriolis tiene por expresión:

F→VS=-2metro⋅Ω→∧v→{\ Displaystyle {\ vec {F}} _ {C} = - 2m \ cdot {\ vec {\ Omega}} \ wedge {\ vec {v}}},

o :

• F→VS{\ Displaystyle {\ vec {F}} _ {C}}es la fuerza de inercia de Coriolis;
• metro{\ Displaystyle m} es la masa del cuerpo que cae;
• Ω→{\ Displaystyle {\ vec {\ Omega}}} es la velocidad angular instantánea de rotación de la Tierra;
• v→{\ Displaystyle {\ vec {vb}}} la velocidad instantánea del cuerpo en el marco de referencia terrestre.

Dado que el vector es paralelo (colineal) al eje de rotación de la Tierra, dirigido hacia el norte y orientado hacia el centro de la Tierra, el producto cruzado resultante está orientado hacia el este (cuando está invertido). Esta fuerza depende de la latitud del objeto, su masa y su velocidad de caída. Ω→{\ Displaystyle {\ vec {\ Omega}}}v→{\ Displaystyle {\ vec {vb}}}

La velocidad del cuerpo en caída libre es , donde A es el punto de origen, un marco de referencia giratorio vinculado a la superficie de la Tierra. v→=DAMETRO→Dt{\ Displaystyle {\ vec {v}} = {\ frac {d {\ vec {AM}}} {dt}}}

El principio fundamental de la dinámica permite escribir la aceleración como la suma de la fuerza de atracción de la Tierra y la fuerza de Coriolis:

D2AMETRO→Dt2=1metro(metrogramo→+FVS→)=gramo→-2Ω→∧DAMETRO→Dt{\ Displaystyle {\ frac {d ^ {2} {\ vec {AM}}} {dt ^ {2}}} = {\ frac {1} {m}} (m {\ vec {g}} + { \ vec {F_ {C}}}) = {\ vec {g}} - 2 {\ vec {\ Omega}} \ wedge {\ frac {d {\ vec {AM}}} {dt}}},

donde es el vector de aceleración de la gravedad dirigido a lo largo de la vertical descendente. gramo→{\ Displaystyle {\ vec {g}}}

Resolución

Integramos una vez para encontrar la velocidad:

DAMETRO→Dt=t⋅gramo→-2Ω→∧AMETRO→{\ Displaystyle {\ frac {d {\ vec {AM}}} {dt}} = t \ cdot {\ vec {g}} - 2 {\ vec {\ Omega}} \ wedge {\ vec {AM}} },

Por tanto, se supone que la aceleración de la gravedad g es constante. El modelo utilizado asume una altura de caída que no es demasiado grande y, por lo tanto, un tiempo de caída que tampoco es demasiado grande. La constante de integración es nula porque la velocidad inicial es nula.

Obtenemos así un sistema diferencial lineal , que por tanto es matemáticamente soluble de forma exacta, siendo la solución:

AMETRO→=1-porque⁡(2Ωt)4Ω2⋅gramo→+(pecado⁡(2Ωt)4Ω3-t2Ω2)⋅Ω→∧gramo→+(t22Ω2-1-porque⁡(2Ωt)4Ω4)⟨Ω→|gramo→⟩⋅Ω→{\ Displaystyle {\ vec {AM}} = {\ frac {1- \ cos (2 \ Omega t)} {4 \ Omega ^ {2}}} \ cdot {\ vec {g}} + \ left ({ \ frac {\ sin (2 \ Omega t)} {4 \ Omega ^ {3}}} - {\ frac {t} {2 \ Omega ^ {2}}} \ right) \ cdot {\ vec {\ Omega }} \ wedge {\ vec {g}} + \ left ({\ frac {t ^ {2}} {2 \ Omega ^ {2}}} - {\ frac {1- \ cos (2 \ Omega t) } {4 \ Omega ^ {4}}} \ right) \ langle {\ vec {\ Omega}} | {\ vec {g}} \ rangle \ cdot {\ vec {\ Omega}}} Demostración

Descompongamos en la base (no ortonormal) y denotemos ( a , b , c ) las componentes. Teniendo en cuenta que , el sistema a resolver está escrito: AMETRO→{\ Displaystyle {\ vec {AM}}}(gramo→,Ω→∧gramo→,Ω→{\ Displaystyle ({\ vec {g}}, {\ vec {\ Omega}} \ wedge {\ vec {g}}, {\ vec {\ Omega}}}Ω→∧(Ω→∧gramo→)=⟨Ω→|gramo→⟩Ω→-Ω2gramo→{\ Displaystyle {\ vec {\ Omega}} \ wedge ({\ vec {\ Omega}} \ wedge {\ vec {g}}) = \ langle {\ vec {\ Omega}} | {\ vec {g} } \ rangle {\ vec {\ Omega}} - \ Omega ^ {2} {\ vec {g}}}

{a′=t+2BΩ2B′=-2avs′=-2⟨Ω→|gramo→⟩B{\ Displaystyle {\ begin {cases} a '& = t + 2b \ Omega ^ {2} \\ b' & = - 2a \\ c '& = - 2 \ langle {\ vec {\ Omega}} | { \ vec {g}} \ rangle b \ end {casos}}}

Deducimos eso . La solución general a esta ecuación diferencial de segundo orden es . Deducimos que: a″=1+2B′Ω2=1-4aΩ2{\ Displaystyle a '' = 1 + 2b '\ Omega ^ {2} = 1-4a \ Omega ^ {2}}a=14Ω2+λporque⁡(2Ωt)+μpecado⁡(2Ωt){\ Displaystyle a = {\ frac {1} {4 \ Omega ^ {2}}} + \ lambda \ cos (2 \ Omega t) + \ mu \ sin (2 \ Omega t)}

B=a′-t2Ω2=-t2Ω2-λpecado⁡(2Ωt)Ω+μporque⁡(2Ωt)Ω{\ Displaystyle b = {\ frac {a'-t} {2 \ Omega ^ {2}}} = {\ frac {-t} {2 \ Omega ^ {2}}} - \ lambda {\ frac {\ pecado (2 \ Omega t)} {\ Omega}} + \ mu {\ frac {\ cos (2 \ Omega t)} {\ Omega}}}

Sabiendo eso , tenemos y por lo tanto: a(0)=B(0)=0{\ Displaystyle a (0) = b (0) = 0}λ=-14Ω2,μ=0{\ Displaystyle \ lambda = - {\ frac {1} {4 \ Omega ^ {2}}}, \ mu = 0}

a=1-porque⁡(2Ωt)4Ω2{\ Displaystyle a = {\ frac {1- \ cos (2 \ Omega t)} {4 \ Omega ^ {2}}}} B=-t2Ω2+pecado⁡(2Ωt)4Ω3{\ Displaystyle b = {\ frac {-t} {2 \ Omega ^ {2}}} + {\ frac {\ sin (2 \ Omega t)} {4 \ Omega ^ {3}}}}

Finalmente, y da: vs′=-2⟨Ω→|gramo→⟩B=(tΩ2-pecado⁡(2Ωt)2Ω3)⟨Ω→|gramo→⟩{\ Displaystyle c '= - 2 \ langle {\ vec {\ Omega}} | {\ vec {g}} \ rangle b = ({\ frac {t} {\ Omega ^ {2}}} - {\ frac {\ sin (2 \ Omega t)} {2 \ Omega ^ {3}}}) \ langle {\ vec {\ Omega}} | {\ vec {g}} \ rangle}vs(0)=0{\ Displaystyle c (0) = 0}

vs=(t22Ω2-1-porque⁡(2Ωt)4Ω4)⟨Ω→|gramo→⟩{\ Displaystyle c = ({\ frac {t ^ {2}} {2 \ Omega ^ {2}}} - {\ frac {1- \ cos (2 \ Omega t)} {4 \ Omega ^ {4} }}) \ langle {\ vec {\ Omega}} | {\ vec {g}} \ rangle}

Siendo la solución válida solo para valores pequeños de t , se pueden calcular expansiones limitadas de cada término. El primer término es equivalente a para valores pequeños de t , que corresponde al movimiento de caída libre sin fuerza de Coriolis. El segundo es equivalente al que da la desviación observada hacia el este. El último término equivale a cuya proyección sobre el meridiano da una desviación adicional hacia el ecuador. t22⋅gramo→{\ Displaystyle {\ frac {t ^ {2}} {2}} \ cdot {\ vec {g}}}-t33⋅Ω→∧gramo→{\ Displaystyle - {\ frac {t ^ {3}} {3}} \ cdot {\ vec {\ Omega}} \ wedge {\ vec {g}}}t46⟨Ω→|gramo→⟩⋅Ω→{\ Displaystyle {\ frac {t ^ {4}} {6}} \ langle {\ vec {\ Omega}} | {\ vec {g}} \ rangle \ cdot {\ vec {\ Omega}}}

Sin embargo, generalmente preferimos determinar estos términos adicionales expresando una solución aproximada usando el método perturbativo  : primero, resolvemos la ecuación sin la fuerza de Coriolis, luego agregamos una fuerza de Coriolis derivada de la solución anterior para obtener una primera corrección dando la desviación hacia el este, luego se reinyecta esta solución corregida para obtener una segunda corrección dando una desviación hacia el ecuador. Para eso, se introduce la desviación respecto a la caída libre sin fuerza de Coriolis.

AMETRO→=t22⋅gramo→+D→(t){\ Displaystyle {\ vec {AM}} = {\ frac {t ^ {2}} {2}} \ cdot {\ vec {g}} + {\ vec {D}} (t)}

La integración de la ecuación encontrada anteriormente da la expresión de la desviación: (que desaparece en el origen A). D→(t)=-2Ω→∧∫0tAMETRO→Dt{\ Displaystyle {\ vec {D}} (t) = - 2 {\ vec {\ Omega}} \ wedge \ int _ {0} ^ {t} {\ vec {AM}} dt}

Aproximación de primer orden

Siendo pequeña la desviación hacia el este en comparación con la desviación debida a la gravedad, tomamos como aproximación:

AMETRO→(t)≈t22⋅gramo→{\ Displaystyle {\ vec {AM}} (t) \ approx {\ frac {t ^ {2}} {2}} \ cdot {\ vec {g}}},

de ahí el resultado:

D→(t)≈-2Ω→∧∫0t(t22⋅gramo→)Dt=-t33⋅Ω→∧gramo→{\ Displaystyle {\ vec {D}} (t) \ approx -2 {\ vec {\ Omega}} \ wedge \ int _ {0} ^ {t} \ left ({\ frac {t ^ {2}} {2}} \ cdot {\ vec {g}} \ right) dt = - {\ frac {t ^ {3}} {3}} \ cdot {\ vec {\ Omega}} \ wedge {\ vec {g }}}

que es válido si D es pequeño en comparación con la altura de caída h , es decir, para T 0 (tiempo de caída) pequeño en comparación con T = 86164 s (período sidéreo):

D(T0)≈-T033⋅Ω→∧gramo→=T023⋅T0⋅(-Ω→∧gramo→){\ Displaystyle D (T_ {0}) \ approx - {\ frac {T_ {0} ^ {3}} {3}} \ cdot {\ vec {\ Omega}} \ wedge {\ vec {g}} = {\ frac {T_ {0} ^ {2}} {3}} \ cdot T_ {0} \ cdot (- {\ vec {\ Omega}} \ wedge {\ vec {g}})}

o, en valor absoluto:

D≈23ΩT0hporque⁡(L){\ Displaystyle D \ approx {\ frac {2} {3}} \ Omega \, T_ {0} \, h \ cos (L)}

Aproximación de segundo orden

Si tomamos ahora: para calcular la desviación , aparece otro término, aún más débil, que da una desviación hacia el sur en el hemisferio norte, y hacia el norte en el hemisferio sur: es igual a un valor absoluto . AMETRO→=t22⋅gramo→-t33⋅Ω→∧gramo→{\ Displaystyle {\ vec {AM}} = {\ frac {t ^ {2}} {2}} \ cdot {\ vec {g}} - {\ frac {t ^ {3}} {3}} \ cdot {\ vec {\ Omega}} \ wedge {\ vec {g}}}D→(t){\ Displaystyle {\ vec {D}} (t)}16gramoΩ2t4pecado⁡(L)porque⁡(L)≃2h2Ω23gramopecado⁡(L)porque⁡(L){\ Displaystyle {\ frac {1} {6}} g \ Omega ^ {2} t ^ {4} \ sin (L) \ cos (L) \ simeq {\ frac {2h ^ {2} \ Omega ^ { 2}} {3g}} \ sin (L) \ cos (L)}

Complementos

• Una gran pregunta que se hicieron los teóricos: al reducir la Tierra a un punto central de masa, ¿cuál sería la desviación en una caída de R = 6.400  km  ? Usando la elipse de Kepler , Encontramos: D = parámetro de la elipse = R · (1/17) 2 = R / 289 o aproximadamente 22 kilómetros.
• Podemos notar la relación de la ecuación de fuerza de Coriolis con la del efecto Hall en la electricidad .

Experiencias

• En 1679, Jean-Dominique Cassini (1625-1712), con un pozo ubicado en el edificio Perrault del Observatorio de París .
• En 1831, Ferdinand Reich (1799-1882), en el pozo de una mina de Freiberg en Sajonia.

Notas y referencias

Notas

1. Desde lo alto de la torre Asinelli en Bolonia .
2. Desde lo alto de la torre de la Iglesia de San Miguel en Hamburgo .
3. En una torre de Harvard .
4. Con bolas de acero caídas desde lo alto de la cúpula del Panteón de París .

Referencias

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Ver también

Bibliografía

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• Stirling, DR La desviación hacia el este de un objeto que cae, Am. J. Phys., 1983, vol. 51 (3), págs. 236
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Publicaciones originales

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Diccionarios y enciclopedias

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Manuales del curso

• [Gibaud y Henry 2019] Alain Gibaud y Michel Henry , Mécanique du point (curso y ejercicios corregidos), París, Dunod , coll.  "Ciencias superiores / Física",abril de 2019, 2 nd  ed. ( 1 st  ed. Junio ​​de 1999), 1 vol. , VII -328  p. , il., 17 × 24  cm ( ISBN  978-2-10-079853-7 , EAN  9782100798537 , OCLC  1101586621 , SUDOC  11749836X , presentación en línea , leer en línea ).
• [Daniel y Peter 2019] Jean-Yves Daniel y Patrick Peter , Cosmología: la ciencia del Universo (cursos y ejercicios corregidos), Louvain-la-Neuve, De Boeck Supérieur , coll.  "LMD / Ciencias de la Tierra y del Universo",octubre de 2019, 1 st  ed. , 1 vol. , IV -284- [8]  pág. , il., 17 × 24  cm ( ISBN  978-2-8073-2124-3 , EAN  9782807321243 , OCLC  1127536715 , SUDOC  240590430 , presentación en línea , leer en línea ).

Otro

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Artículos relacionados

• Bola de Mersenne
• Marco de referencia no inercial
• fuerza Coriolis

enlaces externos

• [Chamaraux y Clusel 2002] François Chamaraux y Maxime Clusel , “  La misteriosa“ fuerza de Coriolis ”  ”, Planète-Terre , ENS Lyon ,1 st de mayo de de 2002, sv desviación hacia el este ( leer en línea ).
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