La construcción de un pentágono regular con regla y compás es una de las primeras construcciones no triviales (después del triángulo equilátero y el cuadrado ) que se puede realizar gracias a los axiomas de Euclides .
La construcción exacta de un pentágono regular involucra la proporción áurea y especialmente su contraparte geométrica: el triángulo áureo . Euclides propone una construcción de un pentágono regular inscrito en un círculo dado.
Pero existen otros métodos de construcción más rápidos, algunos de los cuales se analizan a continuación.
Otros matemáticos o topógrafos también ofrecen construcciones aproximadas que se pueden lograr con un solo espaciado de brújula. Este es el caso por ejemplo de Abu l-Wafa en su libro sobre los artesanos indispensables en realidad la construcción ( X º siglo) o Mathias Roriczer en su deutsch Geometría (1486), construido sobre de Alberto Durero (1525).
Euclides construye un pentágono regular ( equilátero y equiángulo ) inscrito en un círculo. Su elemento básico es el triángulo de oro : un triángulo isósceles cuyos ángulos con la base son de doble del ángulo en la parte superior (y por lo que el ángulo en la parte superior es el 5 º del ángulo plano, 180/5 = 36).
En la figura adjunta, I es el punto medio de [AC], AC = AB, IB = ID, AD = AE = BF. Euclides demuestra que el triángulo ABF es un triángulo dorado que usa propiedades bastante largas:
Hoy en día, la demostración es más sencilla porque si anotamos AC = 1, obtenemos
Las dimensiones del triángulo ABF son, por tanto, 1, 1 y . De hecho, es un triángulo dorado.
Euclides demuestra que puede construir un triángulo dorado inscrito en un círculo.
La animación usa la siguiente propiedad: en el pentágono ABCDE de arriba, inscrito en un círculo de radio 1, podemos demostrar, usando el teorema de Pitágoras, que los lados AC y AB tienen sus respectivas longitudes:
De hecho, AC es un lado del ángulo recto en el triángulo rectángulo AA'C, cuyas otras dos dimensiones son 2 y .
En cuanto a DC, la presencia de ángulos rectos en el cuadrilátero ACA'D nos permite afirmar que AA '× DC = 2 × AC × A'C
En la animación presentada, los dos últimos círculos construidos tienen radios AM y AN (ver figura al lado). Sin embargo, AM es la hipotenusa del triángulo rectángulo MOA cuyas otras dos dimensiones son 1 y . Por tanto, el teorema de Pitágoras permite demostrar que AM sí corresponde a la longitud AB.
En cuanto a AN, es la hipotenusa del triángulo rectángulo ONA cuyas otras dimensiones son 1 y por lo tanto AN corresponde bien a la longitud AC.
Podemos simplificar enormemente la construcción de Euclides manteniendo el mismo principio: construye triángulos de oro o plata.
D, D1, D2, D3, D4 forman un pentágono regular.
De hecho, comprobamos que BOD2 es un triángulo dorado y BOD1 un triángulo plateado (sus bases son respectivamente R / φ y φR mientras que sus lados son R ).
Demostración :
Demostremos que OC = cos (2 ) = .
El teorema de Pitágoras en el triángulo AOJ da AJ 2 = (1/2) 2 + 1 2 .
O AB = AJ (rayos del círculo azul) y OB = AB - AO. Por lo tanto OB = AJ - (1/2), o OB = , de ahí el resultado desde OC = 1/2 OB.
Demostración: Si llamamos r al radio del círculo inscrito, podemos demostrar gracias al teorema de Pitágoras que . ¿De dónde viene desde que donde es la proporción áurea. El triángulo OEH es entonces un triángulo dorado y el ángulo EOM es por lo tanto 72 ° (ángulo en el centro en un pentágono regular).
En su libro Instrucciones para la medición, con regla y compás, de líneas, planos y cuerpos sólidos , Alberto Durero propone esta construcción que considera exacta. El interés de esta construcción proviene del hecho de la economía de medios implementada: todos los círculos dibujados tienen el mismo radio.
Sin embargo, el pentágono trazado es de hecho equilátero, pero no es un equiángulo : los ángulos de la base son aproximadamente 108,35 ° en lugar de los 108 ° esperados y el ángulo en la parte superior es un poco más de 109 °. Esta prueba es proporcionada por los topógrafos Giovanni Battista Benedetti y Clavius .
Inspirándonos en la construcción del heptágono, podemos dibujar una construcción aproximada de un pentágono regular, con una regla y un compás, según el método idéntico al dado para el heptágono .
Dibuja el círculo con centro O de radio OX, con un ángulo AÔB = 120 °. Dibuja el arco de un círculo con radio XY y centro X Dibuja el arco de un círculo con radio YX y centro Y Estos arcos se cruzan en una U Dibuja las líneas (UA) y (UB). Cortan el diámetro (XY) en C y D Desde C, en cualquier línea recta, use una brújula con cinco segmentos iguales CE = EF = FG = GH = HI Dibuja la línea (ID) y dibuja el paralelo pasando por G (usando la regla y el compás). Corta (XY) en G '. Dibuja la línea (UG '). Se cruza con el círculo en G' '. Refiérase a la brújula a lo largo del círculo la longitud AG '', luego encontramos los cinco vértices del pentágono regular inscritos en el círculo.Nota: para hacer un pentágono que incluyera el punto B, habría sido necesario tomar el punto F '.
Según esta construcción, el ángulo en el centro AOG 'es de aproximadamente 72,14 grados en lugar de los 72 esperados, o un error relativo de 1,92 por mil.
Este método le permite crear cualquier polígono regular. Es suficiente seccionar el segmento CD en tantos sectores idénticos como lados deseados para el polígono. Luego, tomamos el tercer punto a partir de C (G '), dibujamos el segmento que lo conecta a U y obtenemos G' 'en la intersección entre el círculo y este segmento (en el semiplano inferior a XY). El error en el ángulo central para este método varía de 1,92 por mil a 11,7 por mil, dependiendo del número de lados.
Construcción de regla y brújula