Ecuación de Navier
En mecánica continua , la ecuación de Navier es la ecuación que relaciona la deformación de un sólido elástico lineal isótropo con las fuerzas aplicadas.
Ecuación de Navier
Se nota el campo de los desplazamientos y la fuerza voluminal que se ejerce.
tu(X,t){\ Displaystyle \ mathbf {u} \ left (\ mathbf {x}, t \ right)}Fv{\ Displaystyle \ mathbf {f} _ {v}}
Se tiene :
ρ0∂2tu∂t2=(λ+μ)gramoraD(DIvtu)+μΔtu+Fv{\ Displaystyle \ rho _ {0} {\ frac {\ parcial ^ {2} \ mathbf {u}} {\ parcial t ^ {2}}} = \ left (\ lambda + \ mu \ right) \ mathbf { grad} \ left (\ mathrm {div} \; \ mathbf {u} \ right) + \ mu \ Delta \ mathbf {u} + \ mathbf {f} _ {v}}
donde y son los coeficientes de Lamé del sólido y su densidad. Se puede escribir esta ecuación de acuerdo con el módulo de Young E y la relación de Poisson :
λ{\ Displaystyle \ lambda}μ{\ Displaystyle \ mu}ρ0{\ Displaystyle \ rho _ {0}} ν{\ Displaystyle \ nu}
ρ0∂2tu∂t2=mi2(1+ν)(1-2ν)gramoraD(DIvtu)+mi2(1+ν)Δtu+Fv{\ Displaystyle \ rho _ {0} {\ frac {\ parcial ^ {2} \ mathbf {u}} {\ parcial t ^ {2}}} = {\ frac {E} {2 (1+ \ nu) (1-2 \ nu)}} \ mathbf {grad} \ left (\ mathrm {div} \; \ mathbf {u} \ right) + {\ frac {E} {2 (1+ \ nu)}} \ Delta \ mathbf {u} + \ mathbf {f} _ {v}}
Demostración
Se nota el tensor de las tensiones y el tensor de las tensiones . La relación fundamental de la dinámica está escrita:
σ {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}} ~}mi {\ displaystyle {\ boldsymbol {e}} ~}
ρ0∂2tu∂t2=DIvσ+Fv{\ Displaystyle \ rho _ {0} {\ frac {\ partial ^ {2} \ mathbf {u}} {\ partial t ^ {2}}} = \ mathbf {div} {\ boldsymbol {\ sigma}} + \ mathbf {f} _ {vb}}
Por otro lado, tenemos la ley de Hooke :
σ=λTr(mi)I+2μmi{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}} = \ lambda \ mathrm {Tr} \ left ({\ boldsymbol {e}} \ right) \ mathbf {I} +2 \ mu {\ boldsymbol {e}}}
por lo tanto (aplicando la suma en los índices ( convención de suma de Einstein )):
(DIvσ)I=λ(DIv(Tr(mi)I))I+2μ(DIvmi)I =λ∂∂Xj(Tr(mi)I)Ij+2μ∂miIj∂Xj =λ∂mill∂XI+2μ∂miIj∂Xj =λ∂2tul∂XI∂Xl+μ∂∂Xj(∂tuI∂Xj+∂tuj∂XI) =(λ+μ)∂2tuj∂XI∂Xj+μ∂2tuI∂Xj2 =(λ+μ)(gramoraD(DIvtu))I+μ(Δtu)I{\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ left (\ mathbf {div} {\ boldsymbol {\ sigma}} \ right) _ {i} & = \ lambda \ left (\ mathbf {div} \ left (\ mathrm { Tr} \ left ({\ boldsymbol {e}} \ right) \ mathbf {I} \ right) \ right) _ {i} +2 \ mu \ left (\ mathbf {div} {\ boldsymbol {e}} \ derecha) _ {i} \\\ & = \ lambda {\ frac {\ parcial} {\ parcial x_ {j}}} \ izquierda (\ mathrm {Tr} \ izquierda ({\ boldsymbol {e}} \ derecha) \ mathbf {I} \ right) _ {ij} +2 \ mu {\ frac {\ e_ parcial {ij}} {\ x_ parcial {j}}} \\\ & = \ lambda {\ frac {\ e_ parcial {ll}} {\ parciales x_ {i}}} + 2 \ mu {\ frac {\ parciales e_ {ij}} {\ parciales x_ {j}}} \\\ & = \ lambda {\ frac {\ parciales ^ {2} u_ {l}} {\ parciales x_ {i} \ parciales x_ {l}}} + \ mu {\ frac {\ parciales} {\ parciales x_ {j}}} \ left ({\ frac { \ parcial u_ {i}} {\ parcial x_ {j}}} + {\ frac {\ parcial u_ {j}} {\ parcial x_ {i}}} \ derecha) \\\ & = (\ lambda + \ mu) {\ frac {\ parcial ^ {2} u_ {j}} {\ parcial x_ {i} \ parcial x_ {j}}} + \ mu {\ frac {\ parcial ^ {2} u_ {i}} {\ partial x_ {j} ^ {2}}} \\\ & = \ left (\ lambda + \ mu \ right) (\ mathbf {grad} \ left (\ mathrm {div} \; \ mathbf {u} \ right)) _ {i} + \ mu (\ Delta \ mathbf {u}) _ {i} \ end {alineado}}}
lo que da la relación buscada.
Notas y referencias
Ver también
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