Coeficiente de Poisson
Resaltado (analíticamente) por Siméon Denis Poisson , el coeficiente de Poisson (también llamado coeficiente de Poisson principal ) permite caracterizar la contracción de la materia perpendicular a la dirección de la fuerza aplicada.
Definición
ν=contracción transversal relativaalargamiento longitudinal relativo=(l0-l)/l0(L-L0)/L0=1-ll0LL0-1{\ displaystyle \ nu = {\ frac {\ text {contracción transversal relativa}} {\ text {alargamiento longitudinal relativo}}} = {\ frac {(l_ {0} -l) / l_ {0}} {(L -L_ {0}) / L_ {0}}} = {\ frac {1 - {\ frac {l} {l_ {0}}}} {{\ frac {L} {L_ {0}}} - 1 }}}
En el caso más general, la relación de Poisson depende de la dirección del alargamiento, pero:
- en el caso importante de los materiales isotrópicos , es independiente de ellos;
- en el caso de un material isotrópico transversal (en), se definen tres coeficientes de Poisson (dos de los cuales están vinculados por una relación);
- en el caso de un material ortotrópico , se definen dos coeficientes de Poisson (vinculados por una relación) para cada una de las tres direcciones principales.
La razón de Poisson es una de las constantes elásticas . Está necesariamente entre -1 y 0,5, pero generalmente es positivo. Algunos materiales artificiales y algunos materiales naturales (algunas rocas sedimentarias ricas en cuarzo ) tienen una relación de Poisson negativa; se dice que estos materiales particulares son auxéticos . Los valores experimentales obtenidos para cualquier material suelen estar cerca de 0,3.
Relaciones
Caso de un material isotrópico
- El cambio de volumen ΔV / V debido a la contracción del material puede estar dado por la fórmula (solo válida para pequeñas deformaciones):
ΔVV0≈(1-2ν)ΔLL0{\ Displaystyle {\ frac {\ Delta V} {V_ {0}}} \ approx (1-2 \ nu) {\ frac {\ Delta L} {L_ {0}}}}
Demostración
Sea un cubo formado por un material isotrópico con un volumen inicial y un volumen final .
Donde la
relación entre los dos es por tanto:
V0=L03{\ Displaystyle V_ {0} = L_ {0} ^ {3}}V=L⋅l2=L0(1+ϵ)⋅(L0(1-ν⋅ϵ))2{\ Displaystyle V = L \ cdot l ^ {2} = L_ {0} (1+ \ epsilon) \ cdot (L_ {0} (1- \ nu \ cdot \ epsilon)) ^ {2}}
ϵ=ΔLL0{\ displaystyle \ epsilon = {\ frac {\ Delta L} {L_ {0}}}}
V=(V0+ΔV)=V0⋅(1+ϵ)⋅(1-ν⋅ϵ)2{\ Displaystyle V = (V_ {0} + \ Delta V) = V_ {0} \ cdot (1+ \ epsilon) \ cdot (1- \ nu \ cdot \ epsilon) ^ {2}} , o desarrollando:
V=(V0+ΔV)=V0⋅(1+ϵ-2⋅ν⋅ϵ+ν2⋅ϵ2-2⋅ν⋅ϵ2+ν2⋅ϵ3){\ Displaystyle V = (V_ {0} + \ Delta V) = V_ {0} \ cdot (1+ \ epsilon -2 \ cdot \ nu \ cdot \ epsilon + \ nu ^ {2} \ cdot \ epsilon ^ { 2} -2 \ cdot \ nu \ cdot \ epsilon ^ {2} + \ nu ^ {2} \ cdot \ epsilon ^ {3})}
La suposición de pequeñas deformaciones permite despreciar los términos de segundo orden, entonces se obtiene:
V0+ΔV=V0⋅(1+ϵ-2⋅ν⋅ϵ){\ Displaystyle V_ {0} + \ Delta V = V_ {0} \ cdot (1+ \ epsilon -2 \ cdot \ nu \ cdot \ epsilon)}
ΔV=V0⋅(ϵ-2⋅ν⋅ϵ){\ Displaystyle \ Delta V = V_ {0} \ cdot (\ epsilon -2 \ cdot \ nu \ cdot \ epsilon)}
dividiendo esta relación por el volumen inicial :
V0{\ Displaystyle V_ {0}}
ΔVV0=(1-2ν)⋅ϵ{\ Displaystyle {\ dfrac {\ Delta V} {V_ {0}}} = (1-2 \ nu) \ cdot \ epsilon}
K=13mi(1-2ν){\ Displaystyle K = {\ frac {1} {3}} {\ frac {E} {(1-2 \ nu)}}}Esta relación muestra que debe permanecer por debajo de la mitad para que el módulo de elasticidad isostático permanezca positivo. También notamos los valores particulares de ν:
ν{\ Displaystyle \ nu}
- para ν = 1/3 era K = E .
- para ν → 0.5 tenemos K → ∞ incompresibilidad (caso de caucho , por ejemplo)
mi=2(1+ν)⋅GRAMO{\ Displaystyle E = 2 (1+ \ nu) \ cdot G}.
Esta relación resalta el hecho de que no puede ser menor que -1, si no su módulo de corte sería negativo (¡se solicitaría en tensión en cuanto se comprima!).
ν{\ Displaystyle \ nu}
Caso de un laminado (isotrópico transversal)
Entonces, una relación de Poisson secundaria se define mediante la siguiente relación:
mi1ν12=mi2ν21{\ Displaystyle {\ frac {E_ {1}} {\ nu _ {12}}} = {\ frac {E_ {2}} {\ nu _ {21}}}}
donde y son los módulos de materiales de Young y es la relación de Poisson secundaria.
mi1{\ Displaystyle E_ {1}}mi2{\ Displaystyle E_ {2}}ν21{\ Displaystyle \ nu _ {21}}
Estuche de materiales naturales
La relación de Poisson se puede calcular a partir del alargamiento longitudinal y la contracción transversal, medidas directamente.
Para materiales muy rígidos puede ser más conveniente medir la velocidad de propagación de las ondas P y S y derivar la relación de Poisson, gracias a la relación:
ν=12[1-1(VPAGVS)2-1]{\ Displaystyle \ nu = {\ frac {1} {2}} \ left [1 - {\ frac {1} {\ left ({\ frac {V _ {\ mathrm {P}}} {V _ {\ mathrm {S}}}} \ right) ^ {2} -1}} \ right]}.
Cuerpos simples
La mayoría de los cuerpos simples en estado sólido tienen una relación de Poisson entre 0,2 y 0,4. De 64 de estos cuerpos simples, solo 6 tienen un coeficiente mayor que 0.4 ( Si : 0.422; Au : 0.424; Pb : 0.442; Mo : 0.458; Cs : 0.460; Tl : 0.468), y 4 un coeficiente menor que 0, 2 ( Ru : 0,188; Eu : 0,139; Be : 0,121; U : 0,095); ninguno es auxético .
Óxidos
160 óxidos probados en 2018, es un solo auxetic en condiciones ambientales , la cristobalita α ( ν = -0,164), y el resto, de 20 a 1500 ° C . El cuarzo también tiene una relación de Poisson significativamente más pequeña que los otros óxidos: ( ν = 0.08 a temperatura ambiente.
Para el 97,4% de los óxidos, la relación de Poisson está entre 0,150 y 0,400 ( media : 0,256; desviación estándar : 0,050). En general, la relación de Poisson se correlaciona positivamente con la densidad : (excluyendo cristobalita y cuarzo) pero el coeficiente de determinación r 2 no es muy alto: 0,28. La correlación es mejor cuando consideramos solo los óxidos que cristalizan en un mismo sistema reticular :
ν≈0,0285ρ-0,1227{\ Displaystyle \ nu \ approx 0 {,} 0285 \, \ rho -0 {,} 1227}
Proporción de óxidos de Poisson
Sistema |
no |
Ecuación de correlación |
r 2
|
---|
hexagonal |
8 |
ν≈0,0506ρ+0,067{\ Displaystyle \ nu \ approx 0 {,} 0506 \, \ rho +0 {,} 067} |
0,99
|
trigonal |
24 |
ν≈0.0852ρ-0,1267{\ Displaystyle \ nu \ approx 0 {,} 0852 \, \ rho -0 {,} 1267} |
0,83
|
cúbico |
70 |
ν≈0.0852ρ-0,1267{\ Displaystyle \ nu \ approx 0 {,} 0852 \, \ rho -0 {,} 1267} |
0,46
|
tetragonal |
19 |
ν≈0.0525ρ-0,0264{\ Displaystyle \ nu \ approx 0 {,} 0525 \, \ rho -0 {,} 0264} |
0,36
|
ortorrómbico |
33 |
ν≈0,0129ρ+0,1873{\ Displaystyle \ nu \ approx 0 {,} 0129 \, \ rho +0 {,} 1873} |
0,27
|
-
El óxido monoclínico único estudiado tiene un índice de Poisson de 2.271.
-
n : número de óxidos considerados en la regresión lineal.
Silicatos
La proporción de Poisson de los 301 silicatos probados en 2018 (9 ciclosilicatos , 43 inosilicatos , 219 neosilicatos , 5 filosilicatos y 25 tectosilicatos ) varía entre 0.080 para cuarzo y 0.365 para circón . Si excluimos estos dos extremos, ν varía entre 0,200 y 0,350 (media: 0,261; desviación estándar: 0,030).
Otros compuestos inorgánicos
La relación de Poisson de carbonatos , haluros , fosfatos , sulfatos y sulfuros oscila entre 0,091 y 0,379:
Relación de Poisson de diferentes compuestos químicos.
Compuestos |
no |
Rango de valores |
Promedio |
Desviación Estándar
|
---|
Carbonatos |
12 |
0,178-0,319 |
0,288 |
0,041
|
Haluros |
10 |
0,133-0,310 |
0,258 |
0,048
|
Fosfatos |
8 |
0.091-0.316 |
0,243 |
0.083
|
Sulfatos |
8 |
0,191-0,379 |
0.305 |
0,057
|
Sulfuros |
10 |
0,160-0,376 |
0,290 |
0,086
|
Algunos valores numéricos
Las características mecánicas de los materiales varían de una muestra a otra. Sin embargo, para los cálculos, los siguientes valores pueden considerarse una buena aproximación. La relación de Poisson no tiene unidad.
|
|
Vidrios, cerámicas, óxidos, carburos metálicos, minerales
Material
|
ν
|
---|
Arcilla húmeda
|
0,40 - 0,50
|
Hormigón
|
0,20
|
Arena
|
0,20 - 0,45
|
Carburo de silicio (SiC)
|
0,17
|
Si 3 N 4
|
0,25
|
Vidrio |
0,18 - 0,3
|
|
Materiales naturales
Material
|
ν
|
---|
Polímeros , fibras
|
0,30 - 0,50
|
Goma |
0,50
|
corcho |
0,05 - 0,40
|
Espuma
|
0,10 - 0,40
|
Plexiglas ( polimetilmetacrilato )
|
0,40 - 0,43
|
|
Notas y referencias
Notas
-
La cristobalita α es una metaestable polimórfica de dióxido de silicio SiO 2.
-
El cuarzo no es estrictamente hablando un silicato (es decir, un óxido ), pero se clasifica como silicatos de estructura en varias clasificaciones de minerales .
Referencias
-
(en) Shaocheng Ji, Le Li, Hem Bahadur Motra, Frank Wuttke, Shengsi Sun et al. , " Proporción de Poisson y propiedades auxiliares de las rocas naturales " , Revista de investigación geofísica - Tierra sólida , vol. 123, n o 2febrero 2018, p. 1161-1185 ( DOI 10.1002 / 2017JB014606 ).
-
(en) A. Yeganeh-Haeri, DJ Weidner y JB Parise, " Elasticidad de la α-cristobalita: un dióxido de silicio con una relación de Poisson negativa " , Science , vol. 257, n o 507031 de julio de 1992, p. 650-652 ( DOI 10.1126 / science.257.5070.650 ).
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