Zitterbewegung

El Zitterbewegung (que puede traducirse del alemán por "movimiento tembloroso") es un fenómeno de micro-oscilaciones físicas de un solitón , descubierto por Erwin Schrödinger en 1930 en el marco de la mecánica cuántica .

Examinado en el marco de la teoría de la relatividad , da lugar a la paradoja de Klein .

Se supone que explica el espín y el momento magnético del electrón .

General

A un cuanto observable en la representación de Schrödinger corresponde un observable en la representación de Heisenberg . Cuando el operador hamiltoniano es independiente del tiempo y cuándo , los observables y están relacionados como: A^S(t){\ Displaystyle {\ hat {A}} _ {\ rm {S}} (t)}A^H(t){\ Displaystyle {\ hat {A}} _ {\ rm {H}} (t)} H^{\ Displaystyle {\ hat {H}}}A^H(t0)=A^S(t0){\ displaystyle {\ hat {A}} _ {\ rm {H}} (t_ {0}) = {\ hat {A}} _ {\ rm {S}} (t_ {0})}A^S(t){\ Displaystyle {\ hat {A}} _ {\ rm {S}} (t)}A^H(t){\ Displaystyle {\ hat {A}} _ {\ rm {H}} (t)}

A^H(t)=miI(t-t0)H^/ℏA^S(t)mi-I(t-t0)H^/ℏ{\ Displaystyle {\ hat {A}} _ {\ rm {H}} (t) = e ^ {i (t-t_ {0}) {\ hat {H}} / \ hbar} {\ hat {A }} _ {\ rm {S}} (t) e ^ {- i (t-t_ {0}) {\ hat {H}} / \ hbar}}

La derivada de tiempo de viene dada por la ecuación de Heisenberg: A^H(t){\ Displaystyle {\ hat {A}} _ {\ rm {H}} (t)}

DA^H(t)Dt=Iℏ[H^,A^H(t)]+(∂A^S(t)∂t)H{\ Displaystyle {\ frac {d {\ hat {A}} _ {\ rm {H}} (t)} {dt}} = {\ frac {i} {\ hbar}} \ left [{\ hat { H}}, {\ hat {A}} _ {\ rm {H}} (t) \ right] + \ left ({\ frac {\ partial {\ hat {A}} _ {\ rm {S}} (t)} {\ parcial t}} \ derecha) _ {\ rm {H}}}

Derivación matemática de zitterbewegung

Considere la ecuación de Dirac de una partícula libre:

Iℏ∂ψ∂t(X,t)=(metrovs2α0-Iℏvs∑j=13αj∂∂Xj)ψ(X,t){\ Displaystyle i \ hbar {\ frac {\ parcial \ psi} {\ parcial t}} (\ mathbf {x}, t) = \ left (mc ^ {2} \ alpha _ {0} -i \ hbar c \ sum _ {j = 1} ^ {3} \ alpha _ {j} {\ frac {\ parcial} {\ parcial x_ {j}}} \, \ derecha) \ psi (\ mathbf {x}, t) }

Se puede escribir como una ecuación de Schrödinger  :

Iℏ∂ψ∂t(X,t)=H^ψ(X,t){\ Displaystyle i \ hbar {\ frac {\ parcial \ psi} {\ parcial t}} (\ mathbf {x}, t) = {\ hat {H}} \ psi (\ mathbf {x}, t)}

donde es el operador hamiltoniano de la ecuación de Dirac: H^{\ Displaystyle {\ hat {H}}}

H^=metrovs2α0+vs∑j=13αjpag^j{\ Displaystyle {\ hat {H}} = mc ^ {2} \ alpha _ {0} + c \ sum _ {j = 1} ^ {3} \ alpha _ {j} {\ hat {p}} _ {j}}

Las relaciones de conmutación entre los operadores de impulso, posición, hamiltoniano y el son: αj{\ Displaystyle \ alpha _ {j}}

[q^j,pag^k]=Iℏδjk{\ Displaystyle [{\ hat {q}} _ {j}, {\ hat {p}} _ {k}] = i \ hbar \ delta _ {jk}} [H^,pag^j]=0{\ Displaystyle [{\ hat {H}}, {\ hat {p}} _ {j}] = 0} [H^,q^j]=-Iℏvsαj{\ Displaystyle [{\ hat {H}}, {\ hat {q}} _ {j}] = - i \ hbar c \ alpha _ {j}} [H^,α^j]=2(vspag^j-αjH^){\ Displaystyle [{\ hat {H}}, {\ hat {\ alpha}} _ {j}] = 2 (c {\ hat {p}} _ {j} - \ alpha _ {j} {\ hat {H}})} [q^j,α^k]=0{\ Displaystyle [{\ hat {q}} _ {j}, {\ hat {\ alpha}} _ {k}] = 0} [pag^j,α^k]=0{\ displaystyle [{\ hat {p}} _ {j}, {\ hat {\ alpha}} _ {k}] = 0}

Pasamos ahora a la representación de Heisenberg planteando:

pagj(t): =(pag^j)H{\ Displaystyle p_ {j} (t): = ({\ hat {p}} _ {j}) _ {\ rm {H}}} qj(t): =(q^j)H{\ Displaystyle q_ {j} (t): = ({\ hat {q}} _ {j}) _ {\ rm {H}}} H(t): =(H^)H{\ Displaystyle H (t): = ({\ hat {H}}) _ {\ rm {H}}} αj(t): =(αj)H{\ Displaystyle \ alpha _ {j} (t): = (\ alpha _ {j}) _ {\ rm {H}}}

Su evolución temporal viene dada por la ecuación de Heisenberg:

DDtpagj(t)=Iℏ[H^,pag^j]H=0{\ Displaystyle {\ frac {d} {dt}} p_ {j} (t) = {\ frac {i} {\ hbar}} [{\ hat {H}}, {\ hat {p}} _ { j}] _ {\ rm {H}} = 0} DDtqj(t)=Iℏ[H^,q^j]H=(vsαj)H=vsαj(t){\ Displaystyle {\ frac {d} {dt}} q_ {j} (t) = {\ frac {i} {\ hbar}} [{\ hat {H}}, {\ hat {q}} _ { j}] _ {\ rm {H}} = (c \ alpha _ {j}) _ {\ rm {H}} = c \ alpha _ {j} (t)} DDtH(t)=0{\ Displaystyle {\ frac {d} {dt}} H (t) = 0} DDtαj(t)=Iℏ[H^,αj]H=2Iℏ(vspagj(t)-αj(t)H(t)){\ Displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ alpha _ {j} (t) = {\ frac {i} {\ hbar}} [{\ hat {H}}, \ alpha _ {j}] _ {\ rm {H}} = {\ frac {2i} {\ hbar}} (cp_ {j} (t) - \ alpha _ {j} (t) H (t))}

Dado que y son constantes, podemos escribir de manera más simple: pagj=pagj(t){\ Displaystyle p_ {j} = p_ {j} (t)}H=H(t){\ Displaystyle H = H (t)}

DDtαj(t)=2Iℏ(vspagj-αj(t)H){\ Displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ alpha _ {j} (t) = {\ frac {2i} {\ hbar}} (cp_ {j} - \ alpha _ {j} (t) H )}

Integrando encontramos: αj(t){\ Displaystyle \ alpha _ {j} (t)}

αj(t)=vspagjH-1+(αj-vspagjH-1)mi-2I(t-t0)H/ℏ{\ Displaystyle \ alpha _ {j} (t) = cp_ {j} H ^ {- 1} + \ left (\ alpha _ {j} -cp_ {j} H ^ {- 1} \ right) e ^ { -2i (t-t_ {0}) H / \ hbar}}

donde . Por tanto, el operador de velocidad se convierte en: αj=αj(t0){\ Displaystyle \ alpha _ {j} = \ alpha _ {j} (t_ {0})}

vj(t)=DDtqj(t)=vsαj(t)=vs2pagjH-1+vs(αj-vspagjH-1)mi-2I(t-t0)H/ℏ{\ Displaystyle v_ {j} (t) = {\ frac {d} {dt}} q_ {j} (t) = c \ alpha _ {j} (t) = c ^ {2} p_ {j} H ^ {- 1} + c \ izquierda (\ alpha _ {j} -cp_ {j} H ^ {- 1} \ derecha) e ^ {- 2i (t-t_ {0}) H / \ hbar}}

Integrando encontramos: vj(t){\ Displaystyle v_ {j} (t)}

qj(t)=qj(t0)+(t-t0)vs2pagjH-1+Iℏvs2(αj-vspagjH-1)H-1(mi-2I(t-t0)H/ℏ-1){\ Displaystyle q_ {j} (t) = q_ {j} (t_ {0}) + (t-t_ {0}) c ​​^ {2} p_ {j} H ^ {- 1} + {\ frac {i \ hbar c} {2}} \ left (\ alpha _ {j} -cp_ {j} H ^ {- 1} \ right) H ^ {- 1} \ left (e ^ {- 2i (t -t_ {0}) H / \ hbar} -1 \ right)}

Discusión

Velocidad del operador:

v→(t)=vs2pag→H-1+vs(α→-vspag→H-1)mi-2I(t-t0)H/ℏ{\ Displaystyle {\ vec {v}} (t) = c ^ {2} {\ vec {p}} H ^ {- 1} + c \ left ({\ vec {\ alpha}} - c {\ vec {p}} H ^ {- 1} \ right) e ^ {- 2i (t-t_ {0}) H / \ hbar}}

se divide en dos componentes: un componente constante:

vs2pag→H-1{\ Displaystyle c ^ {2} {\ vec {p}} H ^ {- 1}}

y un componente oscilatorio:

vs(α→-vspag→H-1)mi-2I(t-t0)H/ℏ{\ Displaystyle c \ left ({\ vec {\ alpha}} - c {\ vec {p}} H ^ {- 1} \ right) e ^ {- 2i (t-t_ {0}) H / \ hbar }}

Este movimiento oscilatorio se llama Zitterbewegung . La frecuencia angular de esta oscilación es . En otras palabras, encontramos la energía limpia del modo fundamental de un oscilador armónico cuántico  : ω=2mi/ℏ{\ Displaystyle \ omega = 2E / \ hbar}

mi=ℏω2{\ Displaystyle E = {\ frac {\ hbar \ omega} {2}}}

Usando la igualdad , encontramos en particular una longitud de onda: mi=metrovs2{\ Displaystyle E = mc ^ {2}}

λ=2πvsω=12hmetrovs=λVS2{\ Displaystyle \ lambda = {\ frac {2 \ pi c} {\ omega}} = {\ frac {1} {2}} {\ frac {h} {mc}} = {\ frac {\ lambda _ { \ rm {C}}} {2}}}

donde es la longitud de onda de Compton . λVS=h/metrovs{\ Displaystyle \ lambda _ {\ rm {C}} = h / mc}

La interpretación de este resultado ha dado lugar a la explicación de varios fenómenos .

Notas y referencias

1. (in) Kiyoshi Nishikawa, Sistemas cuánticos en química y física: avances en métodos y aplicaciones , Dordrecht, Springer,2012, 572  p. ( ISBN  978-94-007-5297-9 ) , pág.  29-35
2. (en) David Hestenes, "  La interpretación zitterbewegung de la mecánica cuántica  " , Fundamentos de la física ,Octubre de 1990, p.  1213–1232 ( ISSN  0015-9018 )

enlaces externos

• (en) Die Zitterbewegungs-Interpretation der Quanten-Mechanik , una alternativa Erklärung über die Interferenz der positiven und negativen Energiezustände hinaus.

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