Tensor

En matemáticas, más precisamente en álgebra multilineal y en geometría diferencial , un tensor designa un objeto muy general, cuyo valor se expresa en un espacio vectorial . Se puede utilizar, entre otras cosas, para representar aplicaciones multilineales o multivectoriales . Podríamos considerar erróneamente que un tensor es una generalización con n índices del concepto de matriz cuadrada (la matriz tiene un índice de fila y un índice de columna; un tensor puede tener un número arbitrario de índices inferiores, covariantes e índices superiores, contravariantes , etc.) . no confundir con exponentes), pero la comparación se detiene ahí porque una matriz es simplemente una matriz simple de números que se puede usar para representar objetos abstractos, mientras que el tensor es, como los vectores y los mapeos multilineales, un objeto abstracto cuyo las coordenadas cambian al pasar de una representación en una base dada a otra en otra base.

Podemos considerar la herramienta tensorial en cuatro tipos diferentes de uso:

el caso simple, donde se utiliza por su capacidad para representar objetos algebraicos complejos y donde no necesitamos los conceptos de distancias o ángulos; no se introducirá ningún producto escalar, y en este caso las coordenadas covariantes representan objetos de tipo de aplicación lineal y las coordenadas contravariantes representan objetos de tipo (multi) vectorial;
el caso donde la base es ortonormal, y donde no hay diferencia entre las coordenadas covariantes y contravariantes;
el caso donde la base no es ortonormal, y donde el producto escalar está definido por un tensor métrico . En este caso, el tensor métrico permite convertir las coordenadas covariantes en coordenadas contravariantes (y viceversa );
el caso de los espacios de Riemann curvos y más tarde, la relatividad general , en el que el tensor métrico es de hecho un campo tensorial llamado métrica de Riemann (resp métrica pseudo-riemanniana ) y que por tanto depende de la posición.

En todos estos casos, el término tensor se suele utilizar por extensión, para designar un campo de tensores , es decir, una aplicación que asocia a cada punto de un espacio geométrico un tensor diferente.

En física, los tensores se utilizan para describir y manipular diversas cantidades y propiedades físicas como, por ejemplo, el campo eléctrico , la permitividad , las deformaciones o incluso las tensiones .

El primer uso de la noción y del término tensor se hizo en el marco de la mecánica de los medios continuos , en relación con la necesidad de describir las tensiones y deformaciones sufridas por los cuerpos extendidos, a partir de las cuales se formalizó la mecánica racional . En particular, el tensor de tensión y el tensor de deformación se utilizan en la ciencia de la construcción para definir el estado de tensión y deformación en cualquier punto de una estructura. Además de la mecánica de fluidos y la mecánica de sólidos , los tensores se utilizan en muchos otros campos de la física, como el electromagnetismo . También se utilizan ampliamente en la relatividad general , para describir rigurosamente el espacio-tiempo como una variedad curva de cuatro dimensiones.

Los tensores también se utilizan en geometría diferencial para definir las nociones geométricas de distancia , ángulo y volumen sobre una variedad diferencial . Esto se hace eligiendo un tensor métrico , es decir un producto escalar definido en el espacio tangente de cada punto. Gracias a este concepto, se definen y estudian las cuestiones relacionadas con la curvatura de la variedad. Otros tensores, como el tensor de Riemann y el tensor de Ricci , son herramientas importantes para este estudio.

Introducción

En matemáticas y física, un tensor es un objeto muy general, intrínsecamente definido a partir de un espacio vectorial (o si le agregamos un producto escalar , del espacio euclidiano , generalmente tridimensional, o bien tetradimensional ) y que no depende en un sistema de coordenadas particular. Esta noción física de tensor como "objeto independiente del sistema de coordenadas" es útil para expresar muchas leyes físicas, que por su naturaleza no dependen de los sistemas de coordenadas elegidos. $V$

Con respecto a un sistema de coordenadas fijo, un vector de espacio de dimensión n se expresa como una secuencia finita de números (estos son los componentes del vector), es decir: una n- tupla. Si se cambia el sistema de coordenadas, entonces este vector será expresado por otra n- tupla, diferente en una ley específica. Un tensor, expresado en un sistema de coordenadas particular, es una especie de n- tupla generalizada que puede tener 1 dimensión (una n -tupla), o 2 (una matriz) o más. Mediante un cambio en el sistema de coordenadas, las componentes de un tensor, como las de un vector, son modificadas por una ley precisa. Pero en sí mismo, el vector, como el tensor, no cambia.

En el lenguaje del álgebra lineal, la noción matemática de tensor se realiza de una manera más rigurosa mediante el álgebra multilineal y la definición de un tensor puede darse sin referencia a sistemas de coordenadas (a bases), utilizando la noción de mapeo multilineal y dual. espacio vectorial .

Historia

La palabra tensor proviene del inglés de origen latino tensor , una palabra introducida en 1846 por William Rowan Hamilton para describir la norma en un sistema algebraico (finalmente llamado álgebra de Clifford ). La palabra fue utilizada con su significado actual por Woldemar Voigt en 1899 .

El cálculo diferencial tensorial se desarrolló alrededor de 1890 bajo el nombre de cálculo diferencial absoluto , y se hizo accesible a muchos matemáticos con la publicación por Tullio Levi-Civita en 1900 del texto clásico del mismo nombre (en italiano, seguido de traducciones). En el XX ° siglo, el sujeto se conoce como el análisis tensorial , y adquiere un reconocimiento más amplio con la introducción de la teoría de la relatividad general de Einstein , alrededor de 1915 .

La relatividad general está completamente formulada en el lenguaje de los tensores. Einstein aprendió a utilizarlos, con cierta dificultad, con la ayuda del topógrafo Marcel Grossmann o quizás del propio Levi-Civita. Los tensores también se utilizan en otros campos, por ejemplo, la mecánica de medios continuos .

Definición y ejemplos

Definición

Un tensor representa un mapa multilineal. El álgebra tensorial se llama álgebra tensorial o álgebra multilineal .

La definición de tensores aquí expuesta es la más intrínseca , porque no hace uso de las bases , y es la más utilizada en matemáticas .

Sea V un espacio vectorial de dimensión n sobre un campo conmutativo . El espacio dual V * es el espacio vectorial formado por todas las formas lineales definidas en V. El espacio V * también es de dimensión n . Los elementos de V y V * se denominan respectivamente vectores y covectores . $K$

Un tensor es un mapa multilineal

{\ Displaystyle T: \ underbrace {V \ times \ ldots \ times V} _ {h} \ times \ underbrace {V ^ {*} \ times \ ldots \ times V ^ {*}} _ {k} \ a K }

Luego, un tensor se asocia con h vectores yk cubre un escalar $T$ ${\ Displaystyle {\ vec {v}} _ {1}, \ ldots, {\ vec {v}} _ {h}}$ ${\ Displaystyle {\ vec {w}} _ {1}, \ ldots, {\ vec {w}} _ {k}}$

{\ Displaystyle T ({\ vec {v}} _ {1}, \ ldots, {\ vec {v}} _ {h}, {\ vec {w}} _ {1}, \ ldots, {\ vec {w}} _ {k}). \, \!}

La multilinealidad asegura que la función sea lineal en cada variable.

El orden o tipo o valencia del tensor es el par ( h , k ). También damos el nombre de orden o rango a la suma h + k .

Representación

En el caso de que el espacio vectorial V sea de dimensión finita n , nos damos una base de V (con los índices ubicados en la parte inferior), entonces V * se le proporciona la base dual , anotada aquí (con los índices señalados arriba). . Debido a la multilinealidad, para determinar un tensor T de tipo ( h , k ), basta con dar los valores que toma cuando se aplica a los vectores base, es decir, dar los valores: $({\ vec {e}} _ {1}, \ puntos, {\ vec {e}} _ {n})$ $({\ vec {e}} ^ {\; 1}, \ dots, {\ vec {e}} ^ {\; n})$

{\ Displaystyle T ({\ vec {e}} ^ {i}, {\ vec {e}} ^ {j}, ..., {\ vec {e}} _ {l}, {\ vec {e }} _ {m}, ...) = {T ^ {ij ...}} _ {lm ...}}

donde las cantidades tienen índices h + k que pueden variar de 1 a n . Entre estos índices, h se indican convencionalmente en la parte superior y k en la parte inferior. Cada uno de los números se llama componente . Por lo tanto, representar un tensor dado de orden h + k requiere componentes. ${\ Displaystyle {T ^ {ij ...}} _ {lm ...}}$ ${\ Displaystyle {T ^ {ij ...}} _ {lm ...}}$ ${\ Displaystyle n ^ {h + k}}$

La posición de los índices distingue los que corresponden a un vector o un covector, colocándolos en la parte superior o en la inferior. Se escribe un vector de V y se denominan componentes contravariantes . Se escribe un vector de V * y se denominan componentes covariantes . De manera similar, con respecto a los componentes del tensor, colocaremos los índices en la parte superior para las contravariantes, en la parte inferior para las covariantes. Por ejemplo, con un tensor del tipo (1,2), estableceremos para cada uno de los componentes de T. $x = \ sum x ^ {i} {\ vec {e}} _ {i}$ $x ^ {i} = {\ vec {e}} ^ {\; i} (x)$ $y = \ sum y_ {i} {\ vec {e}} ^ {\; i}$ $y_ {i} = y ({\ vec {e}} _ {i})$ $T ({\ vec {e}} ^ {\; i}, {\ vec {e}} _ {j}, {\ vec {e}} _ {k}) = {T ^ {i}} _ { jk}$ $n ^ {3}$

Pedido

Un tensor de orden 0 es un escalar. De hecho, este es un número simple, que no depende de ninguna base. Por ejemplo, en la mecánica clásica, la masa , la temperatura y otras cantidades escalares son tensores de orden 0.
Un tensor de orden 1 se puede comparar con un vector o un covector. De hecho, si el espacio V es de dimensión n , un tensor de orden 1 tiene n componentes en una base dada, al igual que un vector. Si uno cambia de base, los componentes cambian, pero el tensor o vector correspondiente permanece igual. Como aplicación, el tensor es una forma lineal definida en V o V * y, por lo tanto, es un elemento de V * o V. La fuerza , el desplazamiento y otras cantidades vectoriales son tensores de orden 1.
Un tensor de orden 2 es una forma bilineal. Se elige una base, esta forma se describe mediante una matriz M y tiene coeficientes que dependen de la base de V. El tensor representa todas las matrices obtenidas de M por cambio de base. $n ^ {2}$
De manera más general, se pueden considerar objetos definidos con tres, cuatro índices . Un objeto definido por índices y que verifica las fórmulas de cambio de base es un tensor de orden . En un espacio vectorial de dimensión finita n , cada índice puede tomar los valores de 1 an . Por tanto, un tensor de orden m en este espacio vectorial tiene coeficientes de acuerdo con una base dada. Por ejemplo, si el tensor de orden representa un mapa multilineal de V × V ×… × V en , entonces: $metro$ $\ left (A_ {ijk \ ldots} \ right)$ $metro$ $metro$ $n ^ {m}$ $metro$ $\ mathbb {K}$

\ mathrm {T} ({\ vec {a}} ~, {\ vec {b}} ~, \ ldots, {\ vec {l}} ~) = \ sum _ {i, j, ..., u } a ^ {i} b ^ {j} \ ldots \ l ^ {u} \ \ mathrm {T} (e_ {i}, e_ {j}, \ ldots, e_ {u})

Encontramos los coeficientes del tensor T identificando .

{\ Displaystyle \ mathrm {T} _ {ij \ ldots u} = \ mathrm {T} (e_ {i}, e_ {j}, \ ldots, e_ {u})}

Si el tensor "conecta" espacios vectoriales de diferentes dimensiones , entonces el tensor contiene coeficientes.

metro

n_ {1}, n_ {2}, ... n_ {m}

{\ textstyle \ prod _ {i = 1} ^ {m} n_ {i}}

Clasificación

En las notaciones, representa la componente del tensor T de índices . Cuando se quiere designar un tensor en su totalidad mientras se indica el orden de este tensor, se puede subrayar el nombre del tensor de tantas características como el orden del tensor. Por tanto, con esta notación, se anotará un vector en lugar de , y se anotará un tensor de tensión mecánica (de orden 2) . Esto es particularmente útil cuando se manejan tensores de diferentes órdenes, como es el caso de la deformación elástica , para la cual se caracteriza el comportamiento de deformación de los materiales por un tensor de orden 4, y las deformaciones y tensiones por tensores d orden 2. en la forma más simple. caso de comportamiento elástico lineal . $T _ {{ijk ...}}$ $(yo, j, k, ...)$ ${\ subrayado {u}}$ ${\ vec {u}}$ ${\ underline {\ underline {\ sigma}}}$ ${\ underline {\ underline {\ underline {\ underline {M}}}}}$ $\ underline {\ underline {\ varepsilon}}$ ${\ underline {\ underline {\ sigma}}}$ ${\ Displaystyle {\ underline {\ underline {\ sigma}}} = {\ underline {\ underline {\ underline {\ underline {M}}}}}: {\ underline {\ underline {\ varepsilon}}}}$

Valencia

En las aplicaciones físicas, se distinguen los índices matriciales, según sean contravariantes (poniéndolos en exponente) o covariantes (poniéndolos en índice), según el comportamiento de la cantidad tensorial considerada frente a transformaciones lineales. de l 'espacio. La valencia de un tensor es el número de índices matriciales asociados con el tipo de cada uno de ellos; los tensores del mismo orden pero de distintas valencias no se comportan de la misma forma al cambiar el sistema de coordenadas. Además, un índice covariante se puede convertir en un índice contravariante mediante el producto tensorial contraído con el tensor métrico . Esta operación se llama índices de subida o bajada.

Denotamos la valencia diciendo que el tensor es de tipo ( h , k ) donde h es el número de índices contravariantes yk el número de índices covariantes. La valencia no anota el orden de los índices. La valencia también se usa cuando denotamos el tensor con una letra, un índice en la parte superior significa que el tensor es contravariante para este índice, un índice en la parte inferior significa que el tensor es covariante para este índice. Por lo tanto, denotaremos los vectores con un índice alto y las formas lineales con un índice bajo. Entonces :

los vectores son tensores de primer orden contravariantes. Por tanto, son tensores de valencia (1.0);
las formas lineales son tensores de covariables de orden 1. Son de valencia (0,1);
para el cambio de base de un tensor (1,1), tendremos una multiplicación por la matriz de cambio de base y una multiplicación por su inversa, exactamente como para las matrices de un mapa lineal en álgebra lineal. De hecho, un tensor (1, 1) puede considerarse como un mapa lineal. Sea T un tensor (1,1) definido en . A un par ( w , v ) formado por una forma lineal w y un vector v , asocia un escalar. Para cualquier vector v , el mapa que w asocia T ( w , v ) y que se denota T (., V ) o T ( v ) es entonces una forma lineal en V *, es decir, un vector de V. Por lo tanto, T se asocia con un vector v un vector T ( v ). Además, esta correspondencia es lineal; $V ^ {*} \ veces V$
para el cambio de base de un tensor (0,2), tendremos dos multiplicaciones por la matriz de cambio de base, exactamente como para las matrices de forma bilineal . Un tensor (0, 2) es de hecho una forma bilineal.

La ventaja de tal notación es que en el caso de un cambio de base, da directamente el número de multiplicaciones por la matriz de cambio de base a realizar: k , y por su inverso: h .

Cambio de sistema de coordenadas

Uno de los usos de los tensores es escribir ecuaciones que son independientes del sistema de coordenadas. Sea, por tanto, un primer sistema de coordenadas, utilizando una notación contravariante, con n vectores :, i = 1 an; y un segundo sistema de coordenadas donde los subíndices se indican con un apóstrofo . El cálculo que permite el paso de un sistema a otro implica el uso del jacobiano apropiado, a saber: ${\ Displaystyle Z = Z ^ {i}}$ ${\ Displaystyle Z ^ {i '}}$

{\ Displaystyle Z ^ {i} = J_ {i '} ^ {i} Z ^ {i'}}

donde se usa la convención de Einstein, es decir, hay una suma implícita en el índice repetido cuando está en contravarianza (arriba) y covarianza (abajo). También podemos ilustrar el jacobiano como una matriz donde la fila en cuestión está en contravarianza (arriba) y la columna en cuestión en covarianza (abajo). Cabe señalar también que la notación tensorial permite unir los componentes, individualmente, de la matriz, de modo que podamos escribir:

{\ Displaystyle Z ^ {i} = J_ {i '} ^ {i} Z ^ {i'} = Z ^ {i '} J_ {i'} ^ {i}}

mientras que con la notación matricial clásica sabemos que el producto de dos matrices no es simétrico, es decir que AB difiere de BA, en general. La notación tensorial permite restablecer la simetría de su álgebra.

Además, la notación nos permite determinar qué jacobiano usar según qué sistema es el original y cuál es el resultado del cálculo. La convocatoria implícita elimina uno de los dos índices del jacobiano, es por tanto:

{\ Displaystyle Z ^ {i} = J_ {i '} ^ {i} Z ^ {i'}}

para hacer desaparecer los apóstrofes durante la suma implícita,

o para calcular los no apóstrofos. ${\ Displaystyle Z ^ {i '} = J_ {i} ^ {i'} Z ^ {i}}$

Por otro lado, es irrelevante aquí, porque no solo el índice i tiene una varianza diferente a cada lado de la igualdad, sino sobre todo, la expresión no implica una suma implícita porque el índice i 'aunque se repite n no es y en contravarianza y en covarianza, como requiere la convención de Einstein para que haya una suma implícita. ${\ Displaystyle Z ^ {i} = J_ {i} ^ {i '} Z ^ {i'}}$

Regla de posiciones de índice

Antes de proporcionar el procedimiento para calcular los jacobianos, nos parece apropiado establecer la regla de los índices en contravarianza y covarianza, cuando se trata de una derivada. Si consideramos la división de dos fracciones que da igualdad , cuando una derivada está involucrada con la notación tensorial, el resultado es tal que . ${\ Displaystyle (a / b) / (c / d) = a \, d / b \, c}$ ${\ Displaystyle {\ frac {\ U_ parcial {j} ^ {i}} {\ V_ parcial {m} ^ {k}}} = R_ {jk} ^ {im}}$

De ello se deduce que para el jacobiano , al permitir pasar de s 'a s, notamos, al comparar con la expresión de fracciones, que s desempeña el papel de i, s' desempeña el papel de k, y que jym están ausentes , entonces ${\ displaystyle J_ {s '} ^ {s}}$ ${\ Displaystyle J_ {s '} ^ {s} = {\ frac {\ Z parcial ^ {i}} {\ Z parcial ^ {i'}}}}$

Entonces, no solo la notación tensorial nos permite saber qué jacobiano usar, sino qué derivadas están involucradas:

${\ Displaystyle J_ {s '} ^ {s} = {\ frac {\ Z parcial ^ {i}} {\ Z parcial ^ {i'}}}}$ y no ${\ Displaystyle J_ {s '} ^ {s} = {\ frac {\ Z parcial ^ {i'}} {\ Z parcial ^ {i}}}}$

La ortogonalidad jacobiana y el símbolo de Kronecker

Se puede demostrar que los dos jacobianos, y son mutuamente inversos, independientemente del sistema de coordenadas inicial o final. En notación tensorial, dicha relación se puede observar usando el símbolo de Kronecker: ${\ Displaystyle J_ {i '} ^ {i}}$ ${\ Displaystyle J_ {i} ^ {i '}}$

${\ Displaystyle J_ {i '} ^ {i} J_ {j} ^ {i'} = \ delta _ {j} ^ {i}}$ donde es igual a 1 si i = j, pero 0 en caso contrario. Tenga en cuenta el uso de un índice adicional, j, para evitar una suma adicional si hubiéramos reutilizado i, en lugar de j. ${\ Displaystyle \ delta _ {j} ^ {i}}$

Puesto que no es, considerar que es una matriz, a continuación, una advertencia implícita porque el índice se repite en la contravariant presencia y covariante: . $\delta$ ${\ Displaystyle \ delta _ {i} ^ {i}}$ ${\ Displaystyle \ delta _ {1} ^ {1} + \ delta _ {2} ^ {2} + \ delta _ {3} ^ {3} = 1 + 1 + 1 = 3}$

Tenga en cuenta también el uso (en una declaración algebraica) del símbolo de Kronecker para "absorber" un índice a otro: . ${\ Displaystyle A_ {i} \ delta _ {j} ^ {i} == A_ {j}}$

Definición de un tensor en transformación

Definimos un tensor de orden 0 en transformación, o verdadero escalar, como un escalar que, además de ser un escalar, no cambia de valor (numéricamente, dadas sus unidades) cuando cambiamos el sistema de información de contacto. Por tanto, una longitud entre dos puntos precisos es un tensor de orden 0. Asimismo, la temperatura en un punto que apunto con la yema del dedo no cambia si cambio el sistema de referencia. Por otro lado, la distancia desde este mismo punto al origen también es un escalar, pero el valor numérico de este escalar cambia si cambio el origen. Por tanto, la distancia al origen no es un tensor de orden 0 en transformación. Aunque la distancia al origen es un escalar, no es un escalar verdadero. La palabra "verdadero" en esta expresión no tiene su sentido común de lenguaje. Podríamos sustituirlo por el adjetivo "super", pero el precedente histórico es usar la palabra verdadero, en este contexto tensorial.

Definimos un tensor de orden 1 en transformación, o vector verdadero, como un vector que, además de ser un vector, está relacionado linealmente por su jacobiano con este mismo vector en otro sistema. es un tensor de orden 1 en transformación si para un cambio del sistema de coordenadas, tenemos . La posición es un vector, pero no un tensor de orden 1 en transformación, como lo muestra el paso de un sistema cartesiano a un sistema de coordenadas polares, cilíndricas o esféricas. La rapidez, primera derivada de la posición, es un tensor de orden 1. ${\ Displaystyle U ^ {i}}$ ${\ Displaystyle U ^ {i '} = J_ {i} ^ {i'} U ^ {i}}$

Ejemplos en física

En física, un ejemplo simple: considere un bote flotando en el agua. Queremos describir el efecto de la aplicación de una fuerza sobre el desplazamiento del centro del barco en el plano horizontal. La fuerza aplicada se puede modelar mediante un vector y la aceleración que experimentará el barco mediante otro vector. Estos dos vectores son horizontales. Pero sus direcciones, que deberían ser idénticas para un objeto circular (un sólido de revolución alrededor de un eje vertical, por tanto), ya no lo son para un barco, que es más alargado en una dirección que en la otra. La relación entre los dos vectores, que por tanto no es una relación de proporcionalidad, es sin embargo una relación lineal, al menos si consideramos una fuerza pequeña. Tal relación se puede describir usando un tensor de tipo (1,1) (1 vez contravariante, 1 vez covariante). Tal tensor puede considerarse como un mapa lineal que transforma un vector del plano (la fuerza) en otro vector del plano (la aceleración). En una base dada, este tensor se puede representar mediante una matriz que, cuando se multiplica por las componentes de un vector, da las componentes de otro vector. De la misma manera que los números que representan un vector cambian cuando cambiamos el sistema de coordenadas, los números que representan el tensor en la matriz cambian cuando cambia el sistema de coordenadas.

En mecánica, también se pueden describir las tensiones, las fuerzas internas sufridas por un sólido o un fluido por un tensor. La palabra tensor en realidad proviene del verbo tender, que significa someterse a tensión. Considere un elemento de superficie dentro del material; las partes del material en un lado de la superficie ejercen una fuerza en el otro lado de la superficie (y viceversa). En general, esta fuerza no es ortogonal a la superficie, sino que dependerá linealmente de la orientación de la superficie. Podemos describirlo mediante un tensor de elasticidad lineal, tensor de tipo (2,0) (2 veces contravariante, 0 veces covariante), o más precisamente, mediante un campo de tensores de tipo (2,0), ya que las fuerzas de tensión varían de un punto a otro.

Componentes

Vectores

En dimensión 3 para simplificar, es decir una base . Las componentes del vector son ( u 1 , u 2 , u 3 ). En otra base , son ( u ' 1 , u' 2 , u ' 3 ). Buscamos la forma de pasar de una representación a otra. $B ({\ vec {e}} _ {1}, {\ vec {e}} _ {2}, {\ vec {e}} _ {3})$ ${\ vec {u}}$ $B '({\ vec {e'}} _ {1}, {\ vec {e '}} _ {2}, {\ vec {e'}} _ {3})$

En la base B , los vectores de la base B ' se escriben:

{\ Displaystyle {\ vec {e '}} _ {j} = {e ^ {1}} _ {j} \ cdot {\ vec {e}} _ {1} + {e ^ {2}} _ { j} \ cdot {\ vec {e}} _ {2} + {e ^ {3}} _ {j} \ cdot {\ vec {e}} _ {3}}

Por tanto, podemos definir la matriz de cambio de base P de B a B ' :

P = {\ begin {pmatrix} {e ^ {1}} _ {1} & {e ^ {1}} _ {2} & {e ^ {1}} _ {3} \\ {e ^ {2 }} _ {1} & {e ^ {2}} _ {2} & {e ^ {2}} _ {3} \\ {e ^ {3}} _ {1} & {e ^ {3} } _ {2} & {e ^ {3}} _ {3} \ end {pmatrix}}

Las columnas de la matriz de cambio de base son los componentes de los vectores de la nueva base en la antigua. Entonces tenemos

{\ begin {pmatrix} u ^ {1} \\ u ^ {2} \\ u ^ {3} \ end {pmatrix}} = P {\ begin {pmatrix} u '^ {1} \\ u' ^ {2} \\ u '^ {3} \ end {pmatrix}}

{\ begin {pmatrix} u '^ {1} \\ u' ^ {2} \\ u '^ {3} \ end {pmatrix}} = P ^ {- 1} {\ begin {pmatrix} u ^ { 1} \ u ^ {2} \\ u ^ {3} \ end {pmatrix}}

Los nuevos componentes se obtienen a partir de los componentes antiguos mediante la multiplicación de una sola matriz: se dice que el tensor es de orden 1. Además, esta matriz es la inversa de la matriz de cambio de base: se dice que estos componentes son contravariantes .

Matrices

Sea M una matriz que representa un mapa lineal ƒ de un espacio a otro para una base dada en cada espacio. Por tanto, podemos cambiar la base en el espacio de salida y en el espacio de llegada. Sean P y Q las matrices de cambio de base, respectivamente, en el espacio inicial y en el espacio de llegada. La matriz M 'que representa f para las dos nuevas bases es . El cambio de base se realiza multiplicando dos matrices de cambio de base: se dice que el tensor es de orden 2. Una de las matrices utilizadas es la matriz de cambio de base, la otra es su inversa: el tensor es de tipo (1,1). $M '= Q ^ {- 1} MP$

Si M es la matriz de una forma bilineal definida en V, luego de un cambio de base de la matriz de paso P , la nueva matriz es . El cambio de base se realiza multiplicando dos matrices de cambio de base: se dice que el tensor es de orden 2. Las dos matrices son relativas a P y no a su inversa: el tensor es doblemente covariante, del tipo (0,2). $M '= ^ {\ rm {t}} PMP$

Formas lineales

Considere una forma lineal ƒ en un espacio V, de dimensión 3, por ejemplo. Esto se asocia con un vector u un escalar

f (u) = f_ {1} u ^ {1} + f_ {2} u ^ {2} + f_ {3} u ^ {3}

Los índices relacionados con los componentes del vector se indican en la parte superior y los relativos a la forma lineal en la parte inferior. Consideremos la base dual señalada aquí compuesta de formas lineales como: $(e ^ {1}, e ^ {2}, e ^ {3})$

e ^ {i} (e_ {j}) = {\ delta ^ {i}} _ {j}

( Símbolo de Kronecker )

e ^ {i} (e_ {j}) = 1

i = j

e ^ {i} (e_ {j}) = 0

si no

Luego se escribe la forma lineal:

f = f_ {1} e ^ {1} + f_ {2} e ^ {2} + f_ {3} e ^ {3}

y tenemos:

f (u) = {\ begin {pmatrix} f_ {1} & f_ {2} & f_ {3} \ end {pmatrix}} \ cdot {\ begin {pmatrix} u ^ {1} \\ u ^ {2 } \ \ u ^ {3} \ end {pmatrix}}

Si hacemos un cambio de base del espacio V mediante la matriz de paso P, entonces las componentes del vector u en la nueva base son

P ^ {- 1} {\ begin {pmatrix} u ^ {1} \\ u ^ {2} \\ u ^ {3} \ end {pmatrix}}

Por otro lado, los componentes de la nueva base dual son $F$

{\ begin {pmatrix} f_ {1} & f_ {2} & f_ {3} \ end {pmatrix}} P

Se ve que en el caso del cambio de base de formas lineales se multiplica por la matriz de cambio de base, mientras que en el caso del cambio de base de vectores se multiplica por su inversa. El tensor asociado a una forma lineal es de orden 1, covariante, por lo tanto del tipo (0,1).

Operaciones sobre tensores

Suma y multiplicación por escalar

La suma de dos tensores del mismo orden y la misma valencia es un tensor del mismo orden y de la misma valencia que los dos tensores iniciales, obtenido sumando las componentes de dos tensores. Por ejemplo, en el caso de los tensores T y U de orden 2, = . $({\ subrayado {\ subrayado {T}}} + {\ subrayado {\ subrayado {U}}}) _ {ij}$ ${\ subrayado {\ subrayado {T}}} _ {ij} + {\ subrayado {\ subrayado {U}}} _ {ij}$

El producto de un tensor y un escalar es un tensor del mismo orden y de la misma valencia que el tensor inicial, obtenido multiplicando las componentes del tensor por el escalar.

Por tanto, el conjunto de tensores de orden y valencia dados forma un espacio vectorial .

Producto tensor

El producto tensorial entre el orden n y el orden p produce un tensor de orden n + p . Los primeros n índices se toman de T, y los siguientes p índices se toman de U. Su valencia es la misma que el índice del que provienen. Cada componente del resultado es el producto: $T$ $U$

del componente de T asociado con los n primeros índices del componente del resultado
del componente de U asociado a los p últimos índices del componente del resultado.

Por tanto, el producto tensorial del tensor por el tensor es el tensor de orden 4 . ${T ^ {i}} _ {j}$ $U _ {{kl}}$ ${T ^ {i}} _ {j} U_ {kl}$

Ejemplos:

Si representamos dos formas lineales f y g por dos tensores (por lo tanto tensores de orden 1 y covariantes), entonces el producto tensorial de los dos tensores representa una forma bilineal, lineal con respecto a cada una de las variables de las formas lineales de partida, definida por: . Por tanto, la noción de producto tensorial proviene directamente de la noción de producto de funciones. ${\ Displaystyle (u, v) \ af (u) g (v)}$
Si multiplicamos por el producto tensorial, un vector uy una forma lineal f , el resultado será un tensor de orden (1,1), es decir, el endomorfismo definido por . Si los componentes de u en una base son the y los componentes de f en la base dual son the , entonces los componentes de la matriz del endomorfismo anterior son the . Al ser esta matriz de rango menor o igual a 1, esto muestra que hay muchos tensores de orden superior que no son el resultado del producto tensorial. ${\ Displaystyle v \ af (v) u}$ ${\ Displaystyle u ^ {i}}$ $f_ {j}$ ${\ Displaystyle u ^ {i} f_ {j}}$

Contracción

Sean A y B dos matrices cuadradas que representan en una base dada dos tensores de tipo (1,1), de término general y respectivo . El producto matricial C = AB representa un tensor de término general (1,1) . Hemos logrado la contracción del producto tensorial de los dos tensores (que tiene un término general ) y que es del tipo (2,2) tomando un índice común, covariante para uno, contravariante para el otro. Asimismo, un tensor puede tener componentes covariantes y contravariantes, y cuando hacemos el producto contraído de dos índices, siempre lo hacemos entre componentes covariantes y contravariantes, lo que explica por qué algunos índices se anotan arriba y otros abajo. ejemplo T a bc . ${\ Displaystyle A_ {j} ^ {i}}$ ${\ Displaystyle B_ {j} ^ {i}}$ ${\ Displaystyle C_ {j} ^ {i} = \ sum _ {k} A_ {k} ^ {i} B_ {j} ^ {k}}$ ${\ Displaystyle A_ {k} ^ {i} B_ {j} ^ {k}}$

El contrato de un tensor en dos índices i y j , uno es covariante y el otro contravariante es un tensor de orden n -2 donde n es el orden del tensor inicial. Los índices i y j han desaparecido en el tensor de resultado; la valencia de los otros índices no cambia.

T ^ {a} = {T ^ {ac}} _ {c}

Aquí hemos sumado todos los valores posibles del segundo y tercer índices, cuando son iguales.

En el ejemplo anterior, del producto tensorial entre un vector y una forma lineal de término general , la contracción del tensor resultante nos da el resultado de aplicar la forma lineal al vector, a saber . ${\ Displaystyle u ^ {i} f_ {j}}$ ${\ Displaystyle \ sum _ {i} u ^ {i} f_ {i}}$

Vemos aquí que el producto tensorial es un medio de combinar dos objetos conservando todas sus propiedades y aplazando ciertas operaciones (es decir, los objetos permanecen más o menos separables, excepto que el producto tensorial de objetos que ya estaban combinados se puede descomponer en varios formas). La contracción, en cambio, equivale a aplicar operaciones que habían quedado en suspenso.

Producto tensor contratado

El producto tensorial contraído entre el orden n y el orden p , es un tensor de orden ( n + p -2). Los primeros n -1 índices provienen de A (sus respectivas valencias son las mismas que los n -1 primeros índices de A), los últimos p -1 provienen de B (sus respectivas valencias son las mismas que los últimos p -1 índices de B). El producto tensorial contraído es un producto tensorial seguido de una contracción entre el índice n y el índice n +1 del tensor de orden n + p . $A$ $B$

Una generalización de este producto contraído es el producto doble contraído (cuyo resultado es un tensor de orden n + p -4), el producto triple contraído (cuyo resultado es un tensor de orden n + p -6), etc. En general, el producto p contraído define un producto escalar para el espacio vectorial de tensores de orden p . El doble producto contraído se usa particularmente para describir la deformación elástica de materiales.

Convención de Einstein

A menudo adoptamos la convención de notación de Einstein de eliminar el signo de suma y considerarlo implícito cuando el índice se repite hacia arriba y hacia abajo en una expresión, por ejemplo

\ sum _ {j} T_ {i} ^ {j} u_ {j}

\ sum _ {j} T_ {j} ^ {i} f ^ {\ j}

se anotan respectivamente

T_ {i} ^ {j} u_ {j}

T_ {j} ^ {i} f ^ {\ j}

Con esta convención se anotarán de forma sencilla las expresiones relativas al producto contraído de dos tensores. Por lo tanto, el producto de las dos matrices de términos generales y es la matriz de términos generales . ${\ Displaystyle A_ {j} ^ {i}}$ ${\ Displaystyle B_ {j} ^ {i}}$ ${\ Displaystyle A_ {k} ^ {i} B_ {j} ^ {k}}$

Producto escalar y tensor métrico

El producto escalar entre los vectores define las nociones de norma y ortogonalidad. No es necesario, pero añade algunas herramientas muy interesantes al cálculo de tensores. De forma ortonormal , tiene una forma canónica simple que consiste en multiplicar una por una las componentes correspondientes de los dos vectores; como luego expresamos los productos contraídos entre componentes covariantes y contravariantes, debemos agregar entre los dos vectores un mapa bilineal que permita convertir los componentes contravariantes en componentes covariantes (o lo contrario). Tenemos, en el caso de una base ortonormal : ${\ Displaystyle {\ vec {1}} _ {i}}$

{\ vec {x}} \ cdot {\ vec {y}} = x ^ {i} {\ vec {1}} _ {i} \ cdot {\ vec {1}} _ {j} y ^ {j } = x ^ {i} \ delta _ {ij} y ^ {j}

En la mayoría de los casos, sin embargo, la base no es ortonormal y puede considerarse como una transformación P de la base canónica . Entonces tenemos :

{\ vec {x}} = x ^ {i} {\ vec {1}} _ {i}

, y

{\ vec {x}} = {x_ {e}} ^ {j} {\ vec {e}} _ {j}

con

{\ vec {e}} _ {j} = P_ {j} ^ {k} {\ vec {1}} _ {k}

Resulta que

{\ vec {x}} \ cdot {\ vec {y}} = {x_ {e}} ^ {i} {\ vec {e}} _ {i} \ cdot {y_ {e}} ^ {j} {\ vec {e}} _ {j} = {x_ {e}} ^ {i} P_ {i} ^ {k} {\ vec {1}} _ {k} \ cdot {\ vec {1}} _ {l} P_ {j} ^ {l} {y_ {e}} ^ {j} = {x_ {e}} ^ {i} P_ {i} ^ {k} \ delta _ {kl} P_ {j } ^ {l} {y_ {e}} ^ {j} = {x_ {e}} ^ {i} g_ {ij} {y_ {e}} ^ {j}

con

g_ {ij} = P_ {i} ^ {k} \ delta _ {kl} P_ {j} ^ {l}

La nueva matriz define el producto escalar en la nueva base E, y se llama tensor métrico del espacio con base E. Como se define al multiplicar el primer y segundo índices de P juntos, es automáticamente simétrico. $g_ {ij}$ $g_ {ij}$

Índice de subida y bajada

Encapotado

Un índice alto se puede cambiar a un índice bajo multiplicando con el tensor métrico , $g_ {ab}$

T_ {ac} = g_ {ab} T_ {c} ^ {b}

(Usamos la convención de Einstein , el signo de suma en el índice b está implícito)
El resultado es un tensor del mismo orden pero de diferente valencia: un índice contravariante se ha vuelto covariante en el tensor de resultado.

Elevación

Un índice bajo se puede cambiar a un índice alto mediante la multiplicación con el tensor métrico inverso : $g ^ {ab}$

{T ^ {a}} _ {c} = g ^ {ab} T_ {bc}

El resultado es un tensor del mismo orden pero de diferente valencia: un índice covariante se ha vuelto contravariante en el tensor de resultado.

Operaciones en campos tensoriales

Degradado

El gradiente de un campo de tensores de orden n es el diferencial de este campo. Obtenemos un campo tensorial de orden n +1. Los primeros n índices tienen la misma valencia que el tensor inicial. El índice adicional es covariante.

Divergencia

La divergencia de un tensor de orden n es el producto tensorial doblemente contraído entre el diferencial de este tensor (es decir, su gradiente) y el tensor métrico. Entonces obtenemos un tensor de orden n −1. El índice que falta es contravariante.

Tipología

En el caso del orden 2, un tensor puede ser simétrico o antisimétrico (o ni uno ni otro).

Para un tensor simétrico, tenemos la relación T a b = T b a .

Para un tensor antisimétrico, tenemos la relación T a b = -T b a .

En general, un tensor no es simétrico ni antisimétrico. Sin embargo, un tensor no especificado se puede descomponer en una parte simétrica S y una parte antisimétrica A, con las relaciones:

S una b = (T un b + T b una ) / 2
A a b = (T a b - T b a ) / 2

Las partes simétricas y antisimétricas juntas recopilan tanta información como el tensor original.

Esta regla se puede extender a tensores de cualquier orden. Entonces diremos que el tensor es simétrico para un par de índices , si es invariante por intercambio de los dos índices, y que es antisimétrico para un par de índices si se transforma en su opuesto por intercambio de las dos pistas.

Los índices del par considerado deben tener la misma valencia. (De lo contrario, la propiedad de simetría dependería de la base elegida).

En el caso particular de un espacio vectorial de dimensión 3, un tensor antisimétrico de orden 2 lleva el nombre de pseudovector .

Tensor simétrico

Un tensor es simétrico si no se modifica mediante permutaciones de índices altos o una permutación de índices bajos. Un tensor de orden (0,2) o (2,0) es simétrico si y solo si sus componentes forman una matriz simétrica . El hecho de que un tensor sea simétrico no depende de la base elegida.

Tensor antisimétrico

Un tensor es antisimétrico si, por cualquier permutación de los índices, sufre un cambio de signo que es el signo de la permutación. Un tensor de orden (0,2) o (2,0) es antisimétrico si y solo si sus componentes forman una matriz antisimétrica. Para un tensor antisimétrico, los componentes en los que un índice se repite al menos dos veces son todos cero. Por ejemplo, en un espacio de dimensión n , las n componentes del tensor son cero. Por lo tanto, un tensor de tipo ( h , k ) con k > n o h > n es necesariamente cero, porque no se pueden tener k ( oh ) valores diferentes en {1, ..., n}. Además (a excepción de una multiplicación por un escalar), solo hay un tensor antisimétrico de orden (0, n): el determinante o tensor de Levi-Civita . $T_ {iij}$ $T_ {abc}$

Se utilizan tensores antisimétricos para construir las formas diferenciales .

Ver también

Bibliografía

Claude Semay, Bernard Silvestre-Brac, Introducción al cálculo de tensores, Aplicaciones a la física , Dunod, 2007, ( ISBN 978-2-10-050552-4 )