Factor de Lorentz

El factor de Lorentz es un parámetro clave involucrado en muchas fórmulas de relatividad especial de Albert Einstein . Es el factor por el cual el tiempo, las longitudes y la masa relativista cambian para un objeto mientras ese objeto está en movimiento.

Histórico

El factor de Lorentz (en inglés  : factor de Lorentz ) se llama así en honor al matemático y físico holandés Hendrik Antoon Lorentz , ganador del Premio Nobel de Física en 1902 , quien lo introdujo en 1904 como una proporción de proporcionalidad entre dos tiempos, cierto tiempo y hora local , pero que apareció en sus obras anteriores de 1895 como una proporción de dos longitudes.

El factor también se denomina factor gamma de Lorentz o factor de dilatación del tiempo .

Notación y expresión

Se observa comúnmente el factor de Lorentz , la letra minúscula gamma del alfabeto griego . γ{\ Displaystyle \ gamma}

Está definido por:

γ=vsvs2-v2=11-v2vs2=11-β2=1α=DtDτ{\ Displaystyle \ gamma = {\ frac {c} {\ sqrt {c ^ {2} -v ^ {2}}}} = {\ frac {1} {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ { 2}} {c ^ {2}}}}}} = {\ frac {1} {\ sqrt {1- \ beta ^ {2}}}} = {\ frac {1} {\ alpha}} = { \ frac {\ mathrm {d} t} {\ mathrm {d} \ tau}}}

o :

• v{\ Displaystyle v}es la velocidad relativa del móvil considerada;
• vs{\ Displaystyle c}es la velocidad de la luz en el vacío  ;
• β{\ Displaystyle \ beta}es la velocidad reducida , definida como la relación de a  :v{\ Displaystyle v}vs{\ Displaystyle c}

β=vvs{\ Displaystyle \ beta = {\ frac {v} {c}}};

• α{\ Displaystyle \ alpha}es el factor de contracción, que es el inverso de  :γ{\ Displaystyle \ gamma}

α=vs2-v2vs=1-v2vs2=1-β2=DτDt=1γ{\ Displaystyle \ alpha = {\ frac {\ sqrt {c ^ {2} -v ^ {2}}} {c}} = {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}} = {\ sqrt {1- \ beta ^ {2}}} = {\ frac {\ mathrm {d} \ tau} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {1 } {\ gamma}}};

• t{\ Displaystyle t} es la coordenada de tiempo;
• τ{\ Displaystyle \ tau}es tiempo limpio .

Dimensión

En el análisis dimensional , el factor de Lorentz es una cantidad adimensional .

Algunos valores

La siguiente tabla muestra algunos valores del factor de Lorentz correspondientes a diferentes valores de la velocidad, expresados ​​como porcentaje de c .

β=v/vs{\ Displaystyle \ beta = v / c}	γ{\ Displaystyle \ gamma}	α=1/γ{\ Displaystyle \ alpha = 1 / \ gamma}
0.000	1.000	1.000
0,100	1.005	0,995
0,200	1.021	0,980
0.300	1.048	0,954
0.400	1.091	0,917
0.500	1,155	0,866
0,600	1250	0,800
0,700	1.400	0,714
0,800	1.667	0,600
0,866	2.000	0.500
0.900	2,294	0.436
0,990	7.089	0,141
0,999	22.366	0,045

Uso principal

El factor de Lorentz se aplica a la dilatación del tiempo y la contracción de la longitud en relatividad especial .

Podemos describir estos efectos considerando los siguientes experimentos imaginarios (imaginarios porque para que el efecto sea medible es necesario que las velocidades sean cercanas a la de la luz).

Los observadores terrestres ubicados a lo largo de la trayectoria de un cohete dado y observando su reloj a través de la portilla verán que este último gira con menos rapidez. Si Δτ es el intervalo de tiempo leído en el reloj del cohete, le corresponderá para los observadores terrestres un tiempo mayor Δt dado por la fórmula:

Δt=γΔτ.{\ Displaystyle \, \ Delta t = \ gamma \ Delta \ tau \,.}

Esta dilatación del tiempo está en el origen de la famosa paradoja de los gemelos .

La contracción de longitudes queda ilustrada por la paradoja del tren . Si un tren de longitud adecuada L 0 (es la longitud medida por un observador en reposo con respecto al tren) pasa por un túnel de la misma longitud natural L 0 , los observadores ubicados en la vía podrán observar que en un instante dado para ellos el tren parece más corto que el túnel, su longitud "aparente" L es más corta que el túnel y está dada por la fórmula:

L=L0/γ.{\ Displaystyle \, L = L_ {0} / \ gamma \,.}

Demostración

Razones especiales de relatividad sobre eventos identificados en un espacio-tiempo de cuatro dimensiones por una coordenada temporal ty tres coordenadas espaciales ( x, y, z ). Si consideramos dos eventos E1 y E2 con coordenadas ( t 1 , x 1 , y 1 , z 1 ) y ( t 2 , x 2 , y 2 , z 2 ) definimos el cuadrado del intervalo espacio-temporal Δτ entre estos dos eventos por la fórmula:

vs2Δτ2=vs2(t2-t1)2-(X2-X1)2-(y2-y1)2-(z2-z1)2,{\ Displaystyle \, c ^ {2} \ Delta \ tau ^ {2} = c ^ {2} (t_ {2} -t_ {1}) ^ {2} - (x_ {2} -x_ {1} ) ^ {2} - (y_ {2} -y_ {1}) ^ {2} - (z_ {2} -z_ {1}) ^ {2} \ ,,}

o :

vs2Δτ2=vs2Δt2-Δs2{\ Displaystyle \, c ^ {2} \ Delta \ tau ^ {2} = c ^ {2} \ Delta t ^ {2} - \ Delta s ^ {2}}

si Δt y Δs representan la distancia temporal y la distancia espacial entre los dos eventos.

La relatividad especial plantea que esta cantidad es independiente de la marca de referencia en la que se calcula. Se dice que es invariante por cambio de coordenadas.

Apliquemos esta propiedad de invariancia a dos eventos que ocurren en el cohete. Consideremos, pues, dos destellos sucesivos separados por un intervalo de tiempo Δτ medido en el cohete (basta con leer el tiempo indicado por el reloj de a bordo). En el marco fijo, los dos observadores terrestres en coincidencia con los destellos 1 y 2 anotan la hora en su reloj y miden una diferencia de tiempo igual a Δt . Estos dos observadores terrestres están ubicados a una distancia igual av Δt si v es la velocidad del cohete. Esta cantidad representa la distancia espacial entre los eventos E1 y E2 en el marco fijo. Como los dos rayos se emiten en el cohete, la distancia espacial entre estos mismos dos eventos evaluados en el marco del cohete es cero. Escribiendo la invariancia de la cantidad c 2 Δt 2  -  Δs 2 obtenemos:

vs2Δτ2-0=vs2Δτ2=vs2Δt2-v2Δt2.{\ Displaystyle \, c ^ {2} \ Delta \ tau ^ {2} -0 = c ^ {2} \ Delta \ tau ^ {2} = c ^ {2} \ Delta t ^ {2} -v ^ {2} \ Delta t ^ {2} \,.}

Esta fórmula devuelve bien:

Δt=Δτ/1-(v2/vs2){\ Displaystyle \ Delta t = \ Delta \ tau / {\ sqrt {1- (v ^ {2} / c ^ {2})}}} igual por definición a γΔτ{\ Displaystyle \ gamma \ Delta \ tau}

Nota

Introduciendo el parámetro de velocidad angular θ definido por la fórmula:

θ=atanoh(v/vs){\ Displaystyle \ theta \, = \, \ mathrm {atanh} \, (v / c)}

se tiene :

β=(v/vs)=tanh⁡θ{\ Displaystyle \, \ beta = (v / c) = \ tanh \ theta}

y:

γ=aporrear⁡θ.{\ Displaystyle \, \ gamma = \ cosh \ theta \,.}

Este cambio de variable permite escribir las fórmulas de Lorentz de forma más sencilla .

Energía

Deducimos del valor energético de una partícula de masa en reposo , γ{\ Displaystyle \ gamma}metro0{\ Displaystyle m_ {0}}

mi=metrovs2=γmetro0vs2{\ Displaystyle E = mc ^ {2} = \ gamma m_ {0} c ^ {2}}

donde es la velocidad de la luz en el vacío y la masa de la partícula en movimiento (que depende de su velocidad). vs{\ Displaystyle c}metro{\ Displaystyle m}

Usando una expansión en serie entera de esta función,

mi=metro0vs21-v2vs2=metro0vs2+12metro0v2+38metro0v4vs2+...+metro0vs2(2no)!22no(no!)2v2novs2no+...{\ Displaystyle E = {\ frac {m_ {0} c ^ {2}} {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}} = m_ {0 } c ^ {2} + {\ frac {1} {2}} m_ {0} v ^ {2} + {\ frac {3} {8}} {\ frac {m_ {0} v ^ {4} } {c ^ {2}}} + ... + m_ {0} c ^ {2} {\ frac {(2n)!} {2 ^ {2n} (n!) ^ {2}}} {\ frac {v ^ {2n}} {c ^ {2n}}} + ...}

Encontramos la energía en reposo contenida en la masa (v = 0):

mi0=metro0vs2{\ Displaystyle E_ {0} = m_ {0} c ^ {2}}

mi=mi0+mivs{\ Displaystyle E = E_ {0} + E_ {c}}

mivs=(γ-1)metro0vs2{\ Displaystyle E_ {c} = (\ gamma -1) m_ {0} c ^ {2}}

γ=1+mivsmetro0vs2{\ Displaystyle \ gamma = 1 + {\ frac {E_ {c}} {m_ {0} c ^ {2}}}}

Además de la aproximación de la energía cinética para velocidades bajas (v << c):

mivs≈12metro0v2{\ Displaystyle E_ {c} \ approx {\ frac {1} {2}} m_ {0} v ^ {2}} con metro0≈metro{\ Displaystyle m_ {0} \ approx m}

Notas y referencias

1. Clemente 2017 , cap.  2 , secc. 1 , §  1.1 , pág.  19.
2. Semay y Silvestre-Brac 2016 , cap.  2 , secc. 2.1 , §  2.1.4 , pág.  30.
3. Taillet, Villano y Febvre 2013 , sv factor de Lorentz de, p.  269, col.  2 .
4. Steane 2012 , cap.  2 , secc. 2.1 , pág.  17.
5. Gourgoulhon 2010 , Nota histórica, p.  113.
6. (in) Hendrik A. Lorentz , "  Fenómenos electromagnéticos en un sistema que se mueve con una velocidad menor que la de la luz  " , Actas de la Sección de Ciencias, Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen, Amsterdam , vol.  6,1904, p.  809-831
7. Rax 2005 , cap.  2 , secc. 2.1 , pág.  40.
8. Braid n. d .
9. Ruffini et al. , fig. 1 , pág.  31.
10. Taillet, Villain y Febvre 2013 , factor sv de Lorentz, p.  270, col.  1 .
11. Cox y Forshaw , 2012 , cap.  3 , pág.  42.
12. Taillet, Villain y Febvre 2013 , sv rapidité, p.  575, col.  1 .
13. Taillet, Villain y Febvre 2013 , transformación sv de Lorentz, p.  691, col.  1 .
14. Douglas C. Giancoli , Física general: ondas, óptica y física moderna , vol.  3: Ondas, óptica y física moderna,2004, 488  p. ( ISBN  2-8041-1702-2 , leer en línea ), p.  207 ( leer en línea )

Ver también

Bibliografía

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Artículos relacionados

• Relatividad restringida , fórmulas de Lorentz
• Intervalo espacio-tiempo
• E = mc 2
• Transformación de Lorentz

enlaces externos

• [Tresse nd] L. Tresse , "  El factor Lorentz  " , sobre Astrofísica personalizada de la Unidad de Formación y Docencia del Observatorio de París , n. d .
• (in) Factor de Lorentz ( factor de Lorentz) en el Diccionario Etimológico de Astronomía y Astrofísica del Observatorio de París .