Compactificado de Alexandrov

En matemáticas , y más precisamente en topología general , el compactificado de Alexandrov (a veces escrito compactificado de Alexandroff ) es un objeto introducido por el matemático Pavel Aleksandrov . Su construcción, denominada compactificación Alexandrov , generaliza la esfera de Riemann para espacios localmente compactos a los que añade un " punto en el infinito ".

Definición

Sea un espacio topológico localmente compacto . Podemos, añadiendo un punto a , obtener un espacio compacto . Para ello, consideramos dónde y definimos una topología de la siguiente manera. $X$ $X$ ${\ Displaystyle {\ tilde {X}} = X \ cup \ {\ omega \}}$ $\ omega \ no \ en X$

El conjunto de aberturas está compuesto por: ${\ tilde X}$

el comienzo de ; $X$
subconjuntos de la forma , donde es el complemento en de un compacto de . ${\ Displaystyle \ {\ omega \} \ cup K ^ {c}}$ ${\ Displaystyle K ^ {c}}$ $X$ $K$ $X$

Se comprueba que así definimos una topología en , y que la topología inicial en es idéntica a la topología inducida por esta topología en . ${\ tilde X}$ $X$ $X$ ${\ tilde X}$

Finalmente, se comprueba que equipado con esta topología es un espacio compacto. ${\ tilde X}$

El espacio se denomina entonces Alexandrov compactificado de espacio localmente compacto ; se llama el punto en el infinito de y también se anota . ${\ tilde X}$ $X$ $\omega$ ${\ tilde X}$ $\ infty$

Esta noción solo es de interés si el espacio de partida no es compacto. De hecho, aplicar el proceso de compactación de Alexandrov a un espacio compacto solo agrega un punto aislado (porque entonces es un abierto de ). $\{\omega\}$ ${\ tilde X}$

Si y son dos espacios localmente compactos, una aplicación continua se extiende a una aplicación continua entre los compactificados de Alexandrov si y solo si está limpio . $X$ $Y$ $f: X \ a Y$

Tenga en cuenta que esta construcción también se aplica si solo se supone que es cuasi-compacta ; entonces obtenemos un espacio cuasi-compacto y tenemos la siguiente propiedad: es separado (por lo tanto compacto) si y solo si es localmente compacto. $X$ ${\ tilde X}$ ${\ tilde X}$ $X$

Unicidad

Se muestra fácilmente que a partir de un espacio topológico localmente compacto y desde un punto dado , el Alexandrov compactificado construido como arriba es la única topología posible en tal que: $X$ $\ omega \ no \ en X$ ${\ Displaystyle {\ tilde {X}} = X \ cup \ {\ omega \}}$ ${\ tilde X}$

${\ tilde X}$ es compacto;
la topología inducida es idéntica a la topología inicial. $X$

Ejemplos de

El Alexandrov compactificado de ℝ n es homeomórfico a la n -esfera , a través, en particular, de la proyección estereográfica de uno de los polos de la n -esfera, proyección completada por . Así, el Alexandrov compacto de ℝ es homeomórfico a un círculo, el de ℝ 2 (o ℂ) a una esfera, comúnmente llamada esfera de Riemann . El punto añadido al espacio se puede imaginar como un punto "en el infinito": en el infinito la línea real "se cierra" en un círculo. $PAG$ $P \ mapsto \ omega$
Cualquier α = [0, α [ ordinal puede estar dotado de la topología del orden . Si α es un ordinal límite , el Alexandrov compactificado de [0, α [es α + 1 = [0, α] (si por el contrario α tiene un predecesor β, entonces [0, α [ es el compacto [0, β + 1 [= [0, β]).
Un espacio Fort (en) es la extensión Alexandroff de un espacio infinito discreto .

Referencias

(en) John L. Kelley , Topología general , Van Nostrand,1955( leer en línea ) , pág. 150.

Enlace externo

El Alexandrov compacto en el sitio les-mathematiques.net