Radián

Información
Radián
Definición del ángulo en radianes.
Sistema	Unidades derivadas del Sistema Internacional
Unidad de…	Ángulo plano
Símbolo	rad
Conversiones
1 rad en ...	es igual a...
giro completo	2 π rad

El radianes (símbolo: rad ) es la unidad derivada del Sistema Internacional que mide los ángulos de los planos . Aunque la palabra " radián " fue acuñada en la década de 1870 por Thomas Muir y James Thomson , los matemáticos han medido ángulos desde hace mucho tiempo utilizando la relación entre la circunferencia y la longitud del radio como una unidad.

Definición

Considere un sector angular, formado por dos líneas concurrentes distintas, y un círculo de radio r dibujado en un plano que contiene estas dos líneas, cuyo centro es el punto de intersección de las líneas. Entonces, el valor del ángulo en radianes es la relación entre la longitud L del arco de un círculo interceptado por las líneas y el radio r .

Un ángulo de radianes intercepta en la circunferencia de este círculo un arco de longitud igual al radio. Un círculo completo representa un ángulo de 2 π radianes, llamado ángulo completo .

L'utilisation des radians est impérative lorsque l'on dérive ou intègre une fonction trigonométrique ou encore lorsque l'on utilise un développement limité de cette fonction trigonométrique : en effet, l'angle pouvant se retrouver en facteur, seule la valeur en radians a un sentido. Por tanto, el cálculo de funciones trigonométricas mediante una serie de Taylor supone la expresión de los ángulos en radianes, al igual que la aplicación de la fórmula de Euler , quien la planteó especificando que los ángulos debían medirse por la longitud en radio del arco. interceptan, más de un siglo antes de la invención del término radián .

Pequeños ángulos

Para ángulos pequeños expresados en radianes, sen x ≈ tan x ≈ x .

Para un ángulo de valor inferior a 0,17 radianes (es decir, ~ 10 °), el error es inferior al 1%;
Para un ángulo de valor inferior a 0,05 radianes (es decir, ~ 3 °), el error es inferior al 0,1%.

En el campo de la topografía , donde tratamos con ángulos débiles, utilizamos mil angulares , una unidad práctica, definida como el ángulo interceptado por una longitud de 1 mm a una distancia de 1 m . Se utiliza, por ejemplo, para determinar la distancia desde un bastón de altura conocida midiendo su tamaño aparente . En las condiciones en las que sirve, esta unidad se identifica con un milirradiano .

Relaciones entre grados, grados y radianes

Una vuelta completa equivale a 2 π radianes, 360 grados, 400 grados.

En consecuencia,

Un radián es aproximadamente 57,3 ° o 57 ° 18 '(360 ° ÷ 2π);
un grado equivale aproximadamente a 17,5 milirradianes.

Las fórmulas de conversión entre grados y radianes son:

\ theta _ {{deg}} = \ theta _ {{rad}} \ cdot {180 \ over \ pi}

\ theta _ {{rad}} = \ theta _ {{deg}} \ cdot {\ pi \ over 180}

Las fórmulas de conversión entre grados y radianes son:

\ theta _ {{gra}} = \ theta _ {{rad}} \ cdot {200 \ over \ pi}

\ theta _ {{rad}} = \ theta _ {{gra}} \ cdot {\ pi \ over 200}

. Algunos ángulos particulares en radianes, grados, grados y giros:

nombre del ángulo	valor en radianes	valor en grados	valor en grados	valor por turnos
ángulo cero	0 rad	0 gon	0 °	0 tr
milliradian	0,001	0,063 661977 gon	0 ° 3 ′ 26 ″ 16 ‴ o 0,0573 °	0.00015915494 tr
	π / 6 rad	33,333 333 gon	30 °	0,08333 tr (1/12 tr)
	π / 4 rad	50 gon	45 °	0.125 tr (1/8 tr)
radián	1 rad	63,661,977 gon	57 ° 17 ′ 44 ″ 48 ‴	0,1591549430919 tr (1 / π / 2 tr)
	π / 3 rad	66,666 666 gon	60 °	0,1666 tr (1/6 tr)
ángulo recto	π / 2 rad	100 gon	90 °	0,25 tr
	2π / 3 rad	133,333 333 gon	120 °	0.333 tr
	3π / 4 rad	150 gon	135 °	0,375 rpm
ángulo plano	π rad	200 gon	180 °	0,5 tr
	5π / 4 rad	250 gon	225 °	0,625 tr
	3π / 2 rad	300 gon	270 °	0,75 rpm
	7π / 4 rad	350 gon	315 °	0,875 rpm
ángulo completo	2π rad	400 gon	360 °	1 tr

Ver también

Bibliografía

Richard Taillet, Loïc Villain y Pascal Febvre, Diccionario de Física , Bruselas, De Boeck ,2013, "Radian", pág. 569

Notas y referencias

(en) AR Crathorne , " La palabra" Radian " " , American Mathematical Monthly , vol. 19, n os 10-11,Octubre-noviembre de 1912, p. 166 ( DOI 10.2307 / 2971878 , JSTOR 2971878 ).
(en) Robert J. Whitaker, " ¿De dónde viene el '' Radian ''? " , El profesor de física (en) , vol. 32, n o 7,Junio de 1998, p. 444–445 ( DOI 10.1119 / 1.2344073 ).
Taillet, Villain y Febvre 2013 , p. 39.