Unión (matemáticas)

En la teoría de conjuntos , la unión o reunión es una operación básica de conjuntos . En álgebra de Boole , la unión está asociada con el operador lógico o inclusivo .

Unión de dos conjuntos

La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto que contiene todos los elementos que pertenecen a una o pertenecen a B . Lo denotamos A ∪ B y lo decimos "A unión B"

Formalmente:

X∈A∪B⇔(X∈A∨X∈B){\ Displaystyle x \ in A \ cup B \ Leftrightarrow \ left (x \ in A \ lor x \ in B \ right)}.

Por ejemplo, la unión de los conjuntos A = {1, 2, 3} y B = {2, 3, 4} es el conjunto {1, 2, 3, 4}.

Propiedades algebraicas

• La unión es asociativa , es decir, para cualesquiera conjuntos A , B y C , tenemos:
  ( A ∪ B ) ∪ C = A ∪ ( B ∪ C ).
• La unión es conmutativa , es decir que para los conjuntos A y B hay, tenemos:
  A ∪ B = B ∪ A .
• La intersección es distributiva en la unión, es decir, para los conjuntos A , B y C , tenemos:
  A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ).
• La unión es distributiva en la intersección, es decir, para los conjuntos A , B y C , tenemos:
  A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ).

Unión de una familia de conjuntos

Generalizamos este concepto a cualquier conjunto de conjuntos (no necesariamente reducido a un par , ni siquiera finito ): su unión, denotada , tiene como elementos todos los para los que existe tal que (si X es el conjunto vacío , este encuentro por lo tanto, está vacío ). El axioma del reencuentro es la afirmación de que es un conjunto. X{\ Displaystyle X}⋃X{\ Displaystyle \ bigcup X}X{\ Displaystyle x}mi∈X{\ Displaystyle E \ en X}X∈mi{\ Displaystyle x \ in E}⋃X{\ Displaystyle \ bigcup X}

Entonces podemos definir el reencuentro de cualquier familia de conjuntos  : es el reencuentro del conjunto . Esta reunión señalada es, por tanto, el conjunto de elementos para los que existe tal que . Formalmente: (miI)I∈I{\ Displaystyle (E_ {i}) _ {i \ in I}}X={miI|I∈I}{\ Displaystyle X = \ {E_ {i} | i \ in I \}}⋃I∈ImiI{\ Displaystyle \ bigcup _ {i \ in I} E_ {i}}X{\ Displaystyle x}I∈I{\ Displaystyle i \ in I}X∈miI{\ Displaystyle x \ en E_ {i}}

X∈⋃I∈ImiI⇔(∃I∈I, X∈miI){\ Displaystyle x \ in \ bigcup _ {i \ in I} E_ {i} \ Leftrightarrow (\ existe i \ en yo, \ x \ en E_ {i})}.

La distributividad de la intersección anterior se extiende a las familias:

A∩(⋃I∈ImiI)=⋃I∈I(A∩miI){\ Displaystyle A \ cap \ left (\ bigcup _ {i \ in I} E_ {i} \ right) = \ bigcup _ {i \ in I} (A \ cap E_ {i})}.

Notas y referencias

1. En este contexto, estas dos palabras son sinónimos ( cf. entradas de unión y reunión en el portal léxico de la CNRTL ). Se usan indistintamente, a veces en la misma obra, como S. Balac y L. Chupin , Analyze et algebre: curso de matemáticas de segundo año con ejercicios e ilustraciones corregidos con Maple , Lausanne, PPUR ,2008, 1035  p. ( ISBN  978-2-88074-782-4 , leer en línea ).
2. Jean-Pierre Ramis , André Warusfel et al. , Matemáticas todo en uno para la licencia 1 , Dunod ,2018, 3 e  ed. ( leer en línea ) , pág.  22.
3. René Cori y Daniel Lascar , Lógica matemática II . Funciones recursivas, teorema de Gödel, teoría de conjuntos, teoría de modelos [ detalle de ediciones ], p.  124 de la edición de 1993.

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• Álgebra de las partes de un conjunto
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