En álgebra conmutativa y geometría algebraica , la teoría de la eliminación se ocupa del enfoque algorítmico de la eliminación de variables entre polinomios . El caso lineal ahora se trata comúnmente mediante eliminación gaussiana , más eficiente que el método de Cramer . Asimismo, los algoritmos de eliminación se basan en los cálculos básicos de Gröbner , mientras que existen publicaciones antiguas sobre varios tipos de “eliminadores”, como el resultante para encontrar las raíces comunes de dos polinomios, el discriminante , etc. En particular, el discriminante aparece en la teoría de invariantes y a menudo se construye como el invariante de una curva algebraica o de un polinomio homogéneo . Si bien el discriminante es un caso especial de la resultante, su construcción y significado pueden variar. Gelfand y sus coautores han desarrollado una versión moderna y sistemática de la teoría discriminante . Algunos métodos sistemáticos tienen un contenido homológico que puede hacerse explícito, como en el teorema de las sicigias de Hilbert . Este dominio es al menos tan antiguo como el teorema de Bézout .
El desarrollo histórico del álgebra conmutativa, que originalmente se llamó teoría de los ideales , está íntimamente ligado a los conceptos de la teoría de la eliminación: a partir de las ideas de Kronecker , quien había escrito un importante artículo sobre el tema, fueron adaptados por Hilbert y "linealizados" pero inicialmente con la pérdida de contenido constructivo explícito. El proceso continuó durante varias décadas: el trabajo de Macaulay , que dio nombre a los anillos de Cohen-Macaulay , estuvo motivado por la eliminación.
La teoría de la eliminación también tiene contenido lógico , que aparece en el problema SAT , planteando cuestiones de complejidad algorítmica . La eliminación de los cuantificadores existenciales es posible en ciertos casos, como el de los campos algebraicamente cerrados . Una consecuencia geométrica es que si X es una variedad algebraica sobre un campo algebraicamente cerrado k e Y un Zariski cerrado del producto de X por un espacio proyectivo sobre k , entonces la proyección X 0 de Y a X es cerrada y más generalmente , para cualquier número entero e , el conjunto X e de los puntos de X por encima del cual la fibra en Y es de dimensión mayor o igual que e es un conjunto cerrado. La historia parece mostrar que este hecho influyó en el pensamiento de Hilbert sobre las perspectivas en la teoría de la prueba .