Espiral hiperbólica

Una espiral hiperbólica , o espiral recíproca , es una curva plana cuya ecuación polar en el marco de referencia (O, u) es: ρ=metroθ{\ Displaystyle \ rho = {\ frac {m} {\ theta}}}.

Fue estudiado en 1696 por el padre jesuita Pierre Nicolas, luego por Pierre Varignon en 1704. Es citado por Jean Bernoulli en 1710 y por Roger Cotes en 1722 cuando estudian movimientos de fuerzas centrales inversamente proporcionales al cubo de la distancia. La espiral hiperbólica es de hecho un caso especial de la espiral Odds .

Propiedades geométricas

La curva está formada por dos ramas simétricas entre sí por simetría de ejes (O, v). Tiene una línea asintótica de ecuación polar (línea paralela a (O, u) y a una distancia m del polo O) y tiene el polo O como punto asíntota. ρ=metropecado⁡θ{\ Displaystyle \ rho = {\ frac {m} {\ sin \ theta}}}

Es una curva trascendente .

Es una curva con una sub-tangente polar constante. Más precisamente, si T es el punto de intersección de la tangente en M con la recta perpendicular a OM que pasa por O, cualquiera que sea el punto M, tenemos OT = m. Esta propiedad es característica de las espirales hiperbólicas.

Su radio de curvatura es: R=metro(1+θ2)32θ4=ρ(metro2+ρ2)32metro3=METRONO3ONO×OT{\ Displaystyle R = m {\ frac {\ left (1+ \ theta ^ {2} \ right) ^ {\ frac {3} {2}}} {\ theta ^ {4}}} = \ rho {\ frac {(m ^ {2} + \ rho ^ {2}) ^ {\ frac {3} {2}}} {m ^ {3}}} = {\ frac {MN ^ {3}} {ON \ veces OT}}} donde T y N son los puntos de intersección de la perpendicular a (OM) con la tangente y la normal a la curva en M.

Esta propiedad permite a Franck Balitrand proponer una construcción del centro de curvatura: considerando el punto de intersección ω del paralelo a la normal que pasa por T y de la perpendicular al radio (OM) que pasa por M, la línea (Oω) encuentra la normal a la curva en su centro de curvatura.

Su curvilínea de abscisas s cheques: DsDθ=metroθ21+θ2{\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} s} {\ mathrm {d} \ theta}} = {\ frac {m} {\ theta ^ {2}}} {\ sqrt {1+ \ theta ^ { 2}}}}

La longitud de un arco curvo entre dos puntos M 1 y M 2 ubicados en la misma rama viene dada por la fórmula: L=gramo(METRO2T2)-gramo(METRO1T1){\ Displaystyle L = g (M_ {2} T_ {2}) - g (M_ {1} T_ {1})} donde los puntos T i se definen como anteriormente y donde la función g se define por: gramo(t)=t+32en⁡(t-metrot+metro){\ Displaystyle g (t) = t + {\ frac {3} {2}} \ ln \ left ({\ frac {tm} {t + m}} \ right)} Por tanto, la espiral se enrolla alrededor de su polo en una espiral de longitud infinita.

El área barrida por un rayo entre los puntos M 1 y M 2 viene dada por la fórmula: A=12metro(ρ1-ρ2){\ Displaystyle A = {\ frac {1} {2}} m (\ rho _ {1} - \ rho _ {2})}

Relaciones con otras curvas

Para todo θ , tenemos ρθ = m . Esta igualdad debe compararse con la igualdad en las coordenadas cartesianas xy = m que caracteriza a la hipérbola . Esta es la razón por la que esta curva se denomina "espiral hiperbólica". Podemos traducir esta propiedad geométricamente llamando A M , el punto de intersección del círculo con el centro O que pasa por M con la media línea [O, u) y notando que la longitud del arco A M M es constante. Los puntos de salida de los corredores colocados en pistas circulares concéntricas, deben colocarse en una espiral hiperbólica si todos deben cubrir la misma distancia antes de cruzar la línea de meta.

La espiral hiperbólica es la imagen por inversión , con polo O y un círculo de radio m , de la espiral de Arquímedes con ecuación polar ρ = mθ .

La espiral hiperbólica es la proyección cónica de una hélice circular. Más exactamente: si (Γ) es una hélice circular de radio R , si C es un punto en el eje de la hélice y (p) un plano perpendicular al eje de la hélice y a una distancia d del punto C , entonces la proyección cónica del centro C en el plano (p) envía la hélice a la espiral hiperbólica del parámetro m = R / d. Así, una escalera de caracol vista desde el eje de la escalera se desarrolla como una espiral hiperbólica.

Su pie en relación al poste es la espiral de tracción ( tractor del círculo para una longitud l igual al radio).

Es él mismo el polar de la involuta del círculo.

Cuando rueda en línea recta, su poste describe un tractor .

Notas y referencias

1. Nicolas 1696 , p.  23-44.
2. Varignon 1704 , p.  94-103.
3. cf. Respuesta de Monseur Bernoulli a Monsieur Herman, fechada el 7 de octubre de 1710, Observación final
4. Curva matemática .
5. Teixeira 1909 .
6. Balitrand 1916 .
7. Olivier 1843 , p.  77.
8. Franck Balitrand "  en la espiral de tracción en una curva asociada  " Annals of Mathematics News , 4 th series, vol.  15,1915, p.  347-354 ( leer en línea ).
9. Teixeira 1909 , p.  198.
10. Robert C. Yates, Un manual sobre curvas y sus propiedades , Edwards Brothers, Ann Arbor,1947, p. 212

Bibliografía

• (la) Pierre Nicolas, De lineis Logarithmicis, & Spiralibus Hyperbolicis Exercitationes Geometrica , Toulouse,1696( leer en línea ) , pág.  23-44.
• Pierre Varignon, "  Nueva formación de espirales - ejemplo II  ", Memoria de la Academia de Ciencias del Institut de France ,Abril 1704, p.  94-103 ( leer en línea ).
• Théodore Olivier, Desarrollos en geometría descriptiva , Carilian-Goeury y vor Dalmont,1843( leer en línea ) , pág.  76-87.
• Francisco G. Teixeira , Obras sobre Mathematica: Tratado sobre curvas planas e izquierdas notables especiales , vol.  V, Coimbra, Imprensa da Universidade,1909( leer en línea ) , pág.  72-73.
• Frank H. Balitrand, "  Construcción de la curvatura de la espiral hiperbólica de centro  ," Annals of Mathematics News , 4 ª serie, vol.  dieciséis,1916, p.  223-225 ( leer en línea ).
• Robert Ferreol, "  Espiral hiperbólica  " , en Enciclopedia de formas matemáticas notables ,2014(consultado el 2 de diciembre de 2018 )