Relación reflexiva
En matemáticas , una relación binaria puede tener, entre otras propiedades, reflexividad o antirreflexividad (o irreflexividad ).
Una relación R en un conjunto X se dice:
- reflexivo si algún elemento de X está relacionado con R- consigo mismo:o si la gráfica de R contiene la diagonal de X (que es la gráfica de igualdad );
- antirreflexivo (o irreflexivo ) si ningún elemento de X está relacionado con R- consigo mismo:o si su gráfica es disjunta de la diagonal de X .
La reflexividad y la anti-reflexividad son dos propiedades incompatibles ( R nunca es tanto reflexiva como anti-reflexiva, a menos que X sea el conjunto vacío ) pero no son la negación de la otra ( R no puede ser ni reflexiva ni anti-reflexiva).
Ejemplos y contraejemplos
Las relaciones de equivalencia y los preordenes (en particular las relaciones de orden ) son reflexivos; las relaciones de orden estricto son antirreflejos (siga los enlaces para ver ejemplos de todos estos tipos de relaciones).
La relación "no es igual a" (≠) es antirreflejos.
En un grupo de personas, la relación "es un hijo de" es anti-reflexiva: nadie es su propio hijo.
Una relación sobre un conjunto de al menos dos elementos no puede ser ni reflexiva ni irreflexiva: basta con que al menos un elemento esté en relación consigo mismo y otro no:
- en el conjunto de enteros naturales , la relación "es primo con " no es ni reflexiva (en general, un número entero no es primo consigo mismo) ni antirreflexiva ( el entero 1 es la excepción);
- en el conjunto de enteros relativos , la relación "es el opuesto de" no es ni reflexiva (en general, un número no es su propio opuesto), ni antirreflexiva ( el entero 0 es la excepción).
Valla reflectante
El cierre reflexivo de una relación R sobre X es la relación sobre X , denotada aquí R refl , cuya gráfica es la unión de la de R y de la diagonal de X :
Este es el más pequeño (en el sentido de incluir gráficos) relación reflexiva que contiene R .
Por ejemplo, cualquier relación de orden ≤ es el cierre reflexivo del orden estricto asociado <.