La numeración mesopotámica es un sistema de numeración en sesenta de base utilizado en Mesopotamia desde el III º milenio antes de Cristo. AD . Este sistema no continúa perfeccionándose hasta al menos el III ° siglo antes de Cristo. AD , durante la era seléucida . Es adoptado por las civilizaciones griega y árabe para la escritura de números en astronomía. Quedan algunos vestigios en el sistema de tiempo o en la medida de ángulos en grados, minutos, segundos.
Este sistema se basa en un compromiso entre base sesenta y base diez. Durante estos 3000 años, han coexistido varios sistemas de escritura incluyendo un sistema de numeración posicional erudito de base sesenta usando una notación basada en clavos y galones y otros de principio adicional asignando símbolos particulares a los números 1, 10, 60, 600, 3600, 36,000, 216 000. Este número es compartido por los babilonios y acadios y proviene del utilizado por los sumerios .
Los textos mesopotámicos en los que encontramos rastros de números se extienden a lo largo de más de 3000 años. Mesopotamia ha conocido durante este período muchos sistemas de numeración que a menudo coexistían. Podemos distinguir los sistemas de numeración utilizados para los cálculos, generalmente del tipo posicional sexagesimal , y los sistemas metrológicos con varias bases.
El desarrollo de los sistemas de numeración de Mesopotamia se produce sobre todo en su parte sur, la tierra de Sumer , en la segunda mitad del IV º milenio antes de Cristo. AD (que corresponde al período de Uruk reciente ). Está ligada a la aparición de un estado, sociedad urbana, cuya base económica es la agricultura de regadío enmarcada por instituciones (palacios, templos) y sin duda fincas privadas que desarrollan instrumentos de gestión cada vez más sofisticados. Generalmente se reconoce en las burbujas de arcilla que aparecieron antes de la aparición de los instrumentos contables de escritura. Durante dos o tres siglos de la IV ª milenio antes de Cristo. AD , la escritura hace su aparición. Toma la forma de signos formados por líneas grabadas en tablillas de arcilla, que Robert Englund propuso calificar como "proto-cuneiformes", porque sientan las bases del sistema cuneiforme posterior , pero aún no tienen apariencia debido a la ausencia de signos en forma de "clavos". Las necesidades contables y de gestión de las instituciones de este período están, sin duda, en el origen mismo del desarrollo de este escrito. Esto incluye a partir de este período varios sistemas numéricos y metrológicos para satisfacer las necesidades de las instituciones: registro y estimación de las cantidades de grano cosechado y pronóstico de las necesidades de siembra para el futuro, cálculo de las cantidades de grano necesarias para hacer pan. Y cerveza, etc. .
El III º milenio antes de Cristo. AD ve la configuración de la escritura cuneiforme. En los textos sumerios de Shuruppak (v. 2500) aparecen los primeros ejercicios de la escuela matemática. La constitución de entidades políticas cada vez más fuertes, luego la unificación de Mesopotamia bajo los breves imperios de Akkad (v. 2340-2190) y Ur III (v. 2112-2004) acompañaron la simplificación de los sistemas. nunca están estandarizados. En respuesta, los escribas han desarrollado durante los últimos siglos de la III ª milenio antes de Cristo. AD solía realizar cálculos en un sistema numérico posicional sexagesimal, y luego convertirlos en sistemas metrológicos de diferentes bases.
Al comienzo de la Segunda º milenio antes de Cristo. D.C. , la desaparición de los sumerios va acompañada del declive de los textos escritos en su idioma, suplantados por los escritos en la lengua semítica de las poblaciones dominantes de Mesopotamia, el acadio , de la que la variante más común en el sur es la babilónica , el nombre del reino que dominó los destinos de esta región de aproximadamente 1750 a 539 a. C. AD Los babilonios heredan los sistemas digitales anteriores. Como ocurre a menudo en los períodos antiguos, conocen variaciones regionales y nunca están unificados para toda Mesopotamia; los reinos del norte de Mesopotamia ( Mari , Asiria ) desarrollan notablemente sistemas originales. Los textos que documentan las matemáticas y la metrología mesopotámicas provienen principalmente de un contexto escolar, utilizado para la formación de escribas. Tienen una finalidad fundamentalmente práctica, sirviendo para la gestión de las necesidades de los actores económicos (templos, palacios, comerciantes, etc.) en sus diversas actividades. En particular, existen tabletas que sirven como herramientas de trabajo aritmético, en particular tablas de cálculo o conversiones metrológicas, así como tablas inversas. Los ejercicios matemáticos (especialmente geométricos) generalmente toman como base problemas aparentemente prácticos relacionados con el trabajo agrícola o la construcción, aunque sus afirmaciones a menudo tienen supuestos poco realistas que indican que son de naturaleza bastante especulativa.
Los sistemas numéricos para escribir números varían mucho en el espacio y el tiempo. Para escribir números del 1 al 59, generalmente hay dos símbolos (uno para la unidad y otro para el diez) que se utilizan de acuerdo con un principio aditivo. Entonces, un número como 35 se escribe usando tres símbolos que representan diez y cinco símbolos que representan la unidad. A veces encontramos la presencia de un sistema sustractivo para escribir números cuyas unidades de dígitos son 7, 8 o 9. Así 18 se escribe 20 LAL 2, pero tal escritura no está estandarizada - Cajori cuenta por ejemplo casi doce formas diferentes de escribir 19. Después Sin embargo, en el segundo milenio, tal escritura es rara, mientras que la escritura cursiva aparece para el símbolo 9.
Más allá del 59, los sistemas de numeración se vuelven más diversos. Los sistemas numéricos vinculados a la metrología son en principio aditivos y requieren la invención de nuevos símbolos, diferentes según los sistemas, para expresar ciertos números redondos (60, 100, 120, 600, 1200, etc.). Algunos de estos símbolos se construyen según un principio multiplicativo: encontramos, por ejemplo, en uno de los textos matemáticos más antiguos ( Uruk antes del 3000 aC) el símbolo 10 unido al símbolo 60 para representar el número 600. El sistema numérico reservado para el cálculo, por ser de principio posicional, no requiere la invención de nuevos símbolos.
También hay notaciones especiales para las fracciones 1/2, 1/3, 1/6, 2/3, 5/6, mientras que las otras inversas están detalladas.
Durante los últimos siglos de la civilización mesopotámica en el I er milenio antes de Cristo. AD , los sistemas metrológicos a veces vieron cambiar sus unidades básicas. Los ejercicios escolares también están evolucionando, con el desarrollo de listas en lugar de tablas. Las mayoría de las aplicaciones matemáticas complicadas de los últimos siglos de la I er milenio antes de Cristo. AD se encuentran en el medio clerical de Babilonia en el período seléucida (v. 311-141 a. C.), en particular el de los adivinos que usaban cálculos con fines astronómicos y astrológicos, en particular escribiendo efemérides . Es en este contexto que se escriben las últimas tabletas digitales mesopotámicas.
Los sistemas de numeración en los textos en sumerio del período Uruk y las dinastías arcaicas del período ( IV e y III e milenios) son antepasados de los recuentos mesopotámicos posteriores. Los primeros rastros se pueden encontrar en “ sobres de burbujas ” de arcilla destinados a transacciones comerciales. Pero lo cierto es que los sistemas digitales están en su lugar en tablillas de arcilla que datan de finales del IV º milenio antes de Cristo. AD . Son en principio aditivos, es decir que es necesario sumar los valores de cada símbolo presente para encontrar el valor numérico representado: así un número escrito usando dos símbolos 600, tres símbolos 60 y dos símbolos 1 lee 600 + 600 + 60 + 60 + 60 + 1 + 1 o 1382.
Los símbolos digitales se escriben utilizando el extremo redondeado de calames de diferentes tamaños: aplicado perpendicular a la superficie, este dibuja un círculo y aplicado en ángulo, dibuja una media luna o una pestaña más o menos alargada. Allí encontramos la existencia de distintos sistemas de numeración en función de si contamos objetos discretos (hombres, ganado, productos manufacturados, contenedores ...), animales muertos, productos consumibles (pescado, queso ...) de superficies, semillas, cantidades de dinero, duraciones ... Robert Englund cuenta así cinco sistemas de numeración principales con muchas variaciones. En ocasiones, el mismo símbolo se utiliza con un significado diferente según el sistema.
El establecimiento de la escritura cuneiforme cambia la ortografía de los símbolos, pero se conservan los principios sumerios de diversificar los sistemas de numeración de acuerdo con lo que uno mide. Así encontramos, por ejemplo, el sistema sexagesimal S, un sistema aditivo que utiliza símbolos particulares para 1, 10, 60, 600, 3600, 36000, 216000. Se utiliza para enumeración y metrología (en particular para capacidades y pesos). Este sistema es idéntico, excepto por la ortografía, al correspondiente sistema de numeración sumerio en uso ya en el 3200 a. C. J.-C.
Valor | 36000 | 3600 | 600 | 60 | 10 | 1 |
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Símbolo |
El número dice 2 × 3600 + 3 × 600 + 4 × 10 + 1.
También podemos evocar el sistema G, análogo al sistema Sumerio Gan, también aditivo pero utilizado para superficies. Hay símbolos especiales para escribir 1/2, 1, 6, 18, 180, 1080, 10800, 64800.
Desde el inicio de la II ª milenio antes de Cristo. Los mesopotámicos contaron en base 60 usando una numeración posicional derivada del tipo aditivo y el sistema de numeración de base mixta de los sumerios . Este sistema se asocia generalmente con la civilización babilónica , que ocupó el sur de Mesopotamia después de 1800 y hasta el comienzo de nuestra era. Esta base ha atravesado los siglos: la encontramos hoy en la notación de ángulos en grados (360 ° = 6 x 60 °) o en la división del tiempo (1 hora = 60 minutos = 60² segundos).
El sistema sexagesimal posición describe a continuación está atestiguada desde el XXI ° siglo antes de Cristo. D. C. sobre una tabla de inversas y es muy común durante el período Paleo-Babilónico (2000 a 1600 aC ). Es una notación académica utilizada en las escuelas de escribas y cuyo uso parece estar reservado para el cálculo, principalmente multiplicaciones y divisiones. No se especifica el orden de magnitud y estos números nunca van seguidos de unidades de medida. Por lo tanto, los números escritos de esta forma se denominan números abstractos. Encontramos esta notación académica en el período seléucida en todos los textos astronómicos.
El principio consiste en tener 59 símbolos o "dígitos", lo que permite representar los números del 1 al 59, y utilizarlos de derecha a izquierda para representar sucesivamente el número de unidades, el número de sesenta, el número de tres. mil seiscientos , etc.
Excepto por el cero , los babilonios utilizaron cincuenta y nueve de los sesenta " dígitos " del sistema sexagesimal. Estas cifras se anotaron mediante un sistema decimal aditivo : un clavo para la unidad y un galón para el diez. Por lo tanto, cualquier número en su sistema sexagesimal podría escribirse con un máximo de cinco galones y nueve clavos.
unidades | ||||||||||||
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… 0 | … 1 |
… 2 |
… 3 |
… 4 |
… 5 |
… 6 |
… 7 |
… 8 |
… 9 |
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decenas | 0… | |||||||||||
1… | ||||||||||||
2 ... | ||||||||||||
3… | ||||||||||||
4 ... | ||||||||||||
5… |
Para escribir números mayores que 59, basta con yuxtaponer de izquierda a derecha varios de estos "dígitos". Así, escribir el número 60² + 17 × 60 + 35 consiste en alinear los símbolos que representan 1, 17, 35:
En la tabla anterior, los números 1, 60 y 3600 están representados de la misma manera: aunque posicional, el sistema babilónico no anota ni el cero ni la coma como en el numeral chino con barras . En cierto sentido, la numeración babilónica se asemeja a la notación científica con mantisa y exponente , excepto que los babilonios anotaron solo la mantisa y mantuvieron el exponente mentalmente. En lenguaje contemporáneo, es un cálculo de punto flotante . El lector de las tablillas debe así restablecer el exponente de los números que descifra, lo que a veces dificulta la interpretación.
También aparecen otras dificultades de lectura: la notación aditiva con chevrones y clavos puede llevar a confusión como entre y . Sólo un espacio distingue la primera escritura, que se supone que representa 60 + 1, del segundo, que se supone que representa 2. El mismo tipo de confusión también puede existir entre la escritura de y , que se supone que representa 60 + 1 y 60 2 + 1.
Para notar esta falta de unidad, en una posición interna a un número, se sustituye el espacio por un símbolo de separación, un "cero", formado, según el caso, por dos galones superpuestos, o dos clavos oblicuos, yuxtapuestos o superpuestos . Este símbolo se utiliza para marcar columnas. Este cero aparece en algunos textos del final del período babilónico antiguo (finales del II ° milenio antes de Cristo. ) Para indicar un lugar vacío en el sistema sexagesimal, pero también a veces para indicar una ausencia de diez o unidad en una columna intermedia. Es de uso común en los textos astronómicos del período seléucida (300 a . C. ). A veces aparece en primera posición, a menudo en posición intermedia pero muy raras veces en posición final.
Existe un sistema mixto en la escritura de números entre los asirios durante el período Paleo-Asirio (c. 2000-1500 aC). La notación clásica se mantiene para el valor de la uña (1 unidad) y el cheurón (10 unidades), pero la escritura de las decenas continúa hasta 90 que se escribe usando 9 chevrones. Hay un nombre específico para el centenar ( yo o yo-at ), el mil ( lim ). En este sistema, el número 162 se escribe 1 (1 clavo) me-en 62 (6 vigas y 2 clavos). Pero a veces encontramos algunos resurgimientos del sistema sexagesimal como en la escritura de 2670 en la forma li-im me-at . Gradualmente, las palabras me-at (cien) y li-im se abrevian bajo las siguientes formas cuneiformes: (cien) y (mil).
Un texto que data de c. 1800-1760 también se ha descubierto en Mari (una ciudad ubicada en el Éufrates en la frontera de la actual Siria , textos que datan de c. 1800-1760), un texto que data del período Paleo-Babilónico y presentando tres escrituras: una escritura sexagesimal de posición, una escritura mixta (sexagesimal) hasta el cien, luego un decimal aditivo con las palabras me (cien), li-mi (mil) y gal (diez mil), finalmente una notación posicional centesimal ( clavos y galones que permiten 'escribir todos los "dígitos" del 1 al 99). Así encontramos el número 649539 escrito en tres formas:
Benoît Rittaud, “ Tableta YBC 7289 - ¡Para un matemático desconocido! » , En Bibnum