Efecto túnel

El efecto túnel designa la propiedad que tiene un objeto cuántico de cruzar una barrera potencial incluso si su energía es menor que la energía mínima requerida para cruzar esta barrera. Es un efecto puramente cuántico, que no puede ser explicado por la mecánica clásica . Para tal partícula, la función de onda, de la cual el cuadrado del módulo representa la densidad de probabilidad de presencia, no se cancela al nivel de la barrera, sino que se atenúa dentro de la barrera (prácticamente exponencialmente para una barrera bastante amplia). Si, a la salida de la barrera de potencial, la partícula tiene una probabilidad de presencia distinta de cero, esto significa que puede cruzar esta barrera. Esta probabilidad depende de los estados accesibles a ambos lados de la barrera, así como de la extensión espacial de la barrera.

Análisis

A nivel teórico, el comportamiento del túnel no es fundamentalmente diferente del comportamiento clásico de la partícula cuántica frente a la barrera potencial; satisface la ecuación de Schrödinger , una ecuación diferencial que involucra la continuidad de la función de onda y su primera derivada en todo el espacio. Así como la ecuación de ondas electromagnéticas conduce al fenómeno de ondas evanescentes , la función de onda encuentra casos donde la amplitud de la probabilidad de presencia es distinta de cero en lugares donde la energía potencial es mayor que la energía total.

Si, a nivel matemático, la evaluación del efecto túnel a veces puede ser simple, la interpretación que se busca dar a las soluciones revela la brecha que separa a la mecánica clásica, dominio del punto material siguiendo una trayectoria definida en el espacio-tiempo, mecánica cuántica donde la noción de trayectoria simple desaparece en favor de todo un conjunto de trayectorias posibles.

El tiempo que toma para una partícula de túnel a través de una barrera cuántica ha sido, y aún es, el tema de debate calentado. Numerosos estudios en el campo electromagnético o fotónico han revelado la aparición de lo que se puede interpretar como velocidades superluminales , pero respetando la relatividad especial: este es el fenómeno conocido como efecto Hartman .

Demostración

En 1978, el termodinámico Hubert Juillet produjo uniones termoeléctricas bitérmicas con una distancia punto-muestra de unos pocos nanómetros que permitían el paso de una corriente eléctrica por efecto túnel, incluso con voltajes extremadamente bajos: <0,0001 V.

Este trabajo resultó mucho más tarde en la presentación de patentes de invención y se considera que son los antepasados ​​del microscopio de efecto túnel y la cuerda conductora de electricidad.

Aplicaciones

El efecto túnel actúa en:

• moléculas: NH 3 , por ejemplo,
• modelado de desintegraciones ( fisión , radiactividad alfa ),
• algunos diodos ,
• Memoria MRAM ,
• los microscopios haciendo túneles ,
• el efecto Josephson .

Caso especial: el efecto túnel resonante .

Ilustración del fenómeno

Ejemplos de

La formación de túneles de protones se produce en muchos cristales moleculares a base de hidrógeno , como el hielo . Se cree que la transición de fase entre las fases hexagonal (hielo Ih) y ortorrómbica (hielo XI) de un cristal de hielo es posible gracias al "efecto túnel" de los protones. La aparición de un "túnel de protones" correlacionado en el hielo también se ha informado recientemente y la física del hielo estudia en particular los "efectos de túnel" que parecen ocurrir allí, a presión atmosférica normal y a temperaturas frías (pero común en el La atmósfera terrestre), así como algunas de sus "anomalías". Entre muchas hipótesis emergentes está, según Owen Benton, Olga Sikora y Nic Shannon (2016) “la intrigante posibilidad de que los protones del 'hielo hexagonal' puedan formar un líquido cuántico a baja temperatura, en el que los protones no estén simplemente desordenados, pero fluctúan continuamente entre diferentes configuraciones obedeciendo las reglas del hielo ” . Pour certains physiciens tels que François Fillaux de La Sorbonne, en 2017 il ne fait plus de doute que les glaces hexagonales et la vapeur sont des condensats quantiques d'échelles macroscopiques, alors que l'eau liquide est un fluide quantique à symétrie de translation temporelle rota. Para F Fillaux, la fusión y vaporización del hielo son transiciones de fase cuántica. La física cuántica explica los fenómenos de capacidad térmica, calor latente, temperaturas de transición de fase, temperatura crítica, expansión del volumen molar del hielo con respecto al agua. También explica los datos de dispersión de neutrones y las mediciones dieléctricas, el papel principal de la interferencia cuántica y el de la entropía de Hartley-Shannon , desafiando las nociones "clásicas" de enlace químico y campo de fuerza .

Análisis matemáticos

Introducción al concepto de transmitividad

La barrera cuántica separa el espacio en tres, cuyas partes izquierda y derecha se considera que tienen potenciales constantes hasta el infinito ( izquierda, derecha). La parte intermedia constituye la barrera, que puede ser complicada, revelando un perfil blando, o por el contrario formada por barreras rectangulares, u otras posiblemente en serie. VGRAMO{\ Displaystyle V_ {G}}VD{\ Displaystyle V_ {D}}

A menudo nos interesa la búsqueda de estados estacionarios para tales geometrías, estados cuya energía puede ser mayor que la altura del potencial o, por el contrario, menor. El primer caso corresponde a una situación a veces denominada clásica , aunque la respuesta revela un comportamiento típicamente cuántico; el segundo corresponde al caso donde la energía del estado es menor que la altura del potencial. La partícula a la que corresponde el estado cruza entonces la barrera por efecto túnel, o, en otras palabras, si consideramos el diagrama de energía, por efecto salto.

Considerando una partícula incidente desde la izquierda, el estado estable toma la siguiente forma simple:

φ(X)=Exp⁡(IkGRAMOX)+rExp⁡(-IkGRAMOX){\ Displaystyle \ varphi (x) = \ exp (ik_ {G} x) + r \ exp (-ik_ {G} x)} para  ;X<a{\ Displaystyle x <a} φ(X)=φInot(X){\ Displaystyle \ varphi (x) = \ varphi _ {int} (x)} para  ;a≤X≤B{\ Displaystyle a \ leq x \ leq b} φ(X)=tExp⁡(IkDX){\ Displaystyle \ varphi (x) = t \ exp (ik_ {D} x)} para  ;B≤X{\ Displaystyle b \ leq x}

donde r y t son respectivamente los coeficientes de reflexión y transmisión de amplitud para la onda plana incidente . es la función de onda dentro de la barrera, cuyo cálculo puede ser bastante complicado; se relaciona con las expresiones de la función de onda en los semiespacios derecho e izquierdo por las relaciones de continuidad de la función de onda y su primera derivada. φ(X)=Exp⁡(IkGRAMOX){\ Displaystyle \ varphi (x) = \ exp (ik_ {G} x)}φInot(X){\ Displaystyle \ varphi _ {int} (x)}

Muy a menudo nos interesa la probabilidad de transmisión (que da lugar a la corriente de túnel, por ejemplo), y por ello favorecemos el estudio del coeficiente de transmisión t , más precisamente el valor en amplitud y fase del coeficiente , caracterizando las relaciones entre la onda plana incidente, tomada en la entrada un y el plano de salida de onda tomada en el punto b . La probabilidad de transmisión se llama transmitividad . taB=tExp⁡(IkDB)Exp⁡(IkGRAMOa){\ Displaystyle t_ {ab} = {\ frac {t \ exp (ik_ {D} b)} {\ exp (ik_ {G} a)}}}T=|taB|2{\ Displaystyle T = | t_ {ab} | ^ {2}}

Son estas transmisividades las que se presentan en algunos casos particulares a continuación, limitadas (de hecho, solo para ciertas fórmulas) al caso del túnel.

Ejemplos de transmisividades de túnel

Barrera rectangular simple, combinaciones de barreras simples

La mayoría de las peculiaridades del efecto túnel aparecen cuando se considera el más simple barrera de potencial, una barrera rectangular simétrica, para la que el potencial es constante (igual a U ) entre los puntos de una y b , y cero a la derecha. Y a la izquierda. En este caso, los vectores de onda incidente (reflejada) y transmitida tienen el mismo módulo, anotado mientras que la parte interna de la función de onda tiene la forma con . k=2metromi/ℏ{\ Displaystyle k = {\ sqrt {2mE}} / \ hbar}AmiKX+Bmi-KX{\ Displaystyle Ae ^ {Kx} + Be ^ {- Kx}}K=2metro(U-mi)/ℏ{\ Displaystyle K = {\ sqrt {2m (EU)}} / \ hbar}

Para los cálculos uno se coloca en la marca de referencia donde . La condición de continuidad en 0 de la función de onda y de su derivada se escribe: a=0{\ Displaystyle a = 0}

{A=12[1+r+IkK(1-r)]B=12[1+r-IkK(1-r)]{\ Displaystyle \ left \ {{\ begin {array} {c} A = {\ frac {1} {2}} [1 + r + {\ frac {ik} {K}} (1-r)] \ \ B = {\ frac {1} {2}} [1 + r - {\ frac {ik} {K}} (1-r)] \ end {array}} \ right.}

La condición de continuidad en  : B{\ Displaystyle b}

{A=t2[1+IkK]miIkB-KBB=t2[1-IkK]miIkB+KB{\ Displaystyle \ left \ {{\ begin {array} {c} A = {\ frac {t} {2}} [1 + {\ frac {ik} {K}}] e ^ {ikb-Kb} \ \ B = {\ frac {t} {2}} [1 - {\ frac {ik} {K}}] e ^ {ikb + Kb} \ end {array}} \ right.}

A partir de estas ecuaciones evaluamos los complejos r , t y la transmitividad:

t=2IkKmiIkD1(k2-K2)pecado⁡(KD)+2IkKaporrear⁡(KD),T=|t|2=4K2k2(K2+k2)2pecado2⁡(KD)+4K2k2{\ Displaystyle t = {\ frac {2ikK} {e ^ {ikd}}} {\ frac {1} {(k ^ {2} -K ^ {2}) \ sinh (Kd) + 2ikK \ cosh (Kd )}} \ quad, \ quad T = | t | ^ {2} = {\ frac {4K ^ {2} k ^ {2}} {(K ^ {2} + k ^ {2}) ^ {2 } \ sinh ^ {2} (Kd) + 4K ^ {2} k ^ {2}}}} ,

con el espesor de la barrera. D=B-a{\ Displaystyle d = ba}

En el caso de una barrera gruesa ( grande), obtenemos la fórmula simple para recordar: KD{\ Displaystyle \ mathrm {K} d}

T=dieciséisK2k2(K2+k2)2Exp⁡(-2KD){\ Displaystyle T = 16 {\ frac {\ mathrm {K} ^ {2} k ^ {2}} {(\ mathrm {K} ^ {2} + k ^ {2}) ^ {2}}} \ ; \ exp (-2 \ mathrm {K} d)} .

En este caso, podemos considerar la transmitividad como el producto obtenido por el enfoque BKW (ver más abajo el término exponencial) por un prefactor que es solo el producto de los módulos cuadrados de los coeficientes de transmisión específicos de las interfaces de entrada y salida.

Esta estructura es una forma simplificada de la que aparece en el caso de una barrera de cualquier forma descompuesta como una serie de barreras rectangulares. La estructura del cálculo se basa entonces en tener en cuenta una escritura matricial de las ecuaciones, conectando los componentes progresivo y regresivo en cada capa, permitiendo el establecimiento de la matriz de transferencia del modo estacionario entre el espacio de entrada y el espacio de salida.

Este método se ilustra en el caso de una estructura encontrada en electrónica u óptica, la barrera de túnel resonante , que consiste en una barrera de entrada de una parte interna de bajo potencial (pozo de potencial, de ancho L ) y de una barrera de salida (ver diagrama). . Se muestra que, en el caso de que el potencial en el pozo sea constante (definiendo un vector de onda real ), la transmitividad de la barrera se puede escribir: k3=2metro(UB-mi)/ℏ{\ Displaystyle k_ {3} = {\ sqrt {2m (U_ {b} -E)}} / \ hbar}

T=TmiTS|1+RmiRSExp⁡(2Ik3L)|2{\ Displaystyle T = {\ frac {T_ {E} \; T_ {S}} {| 1 + \, {\ mathcal {R}} _ {E} \, {\ mathcal {R}} _ {S} \; \ exp (2ik_ {3} L) | ^ {2}}}}  ;

En el numerador aparecen las transmitividades de las barreras de entrada y salida, y el denominador contiene, además de los coeficientes de reflexión de amplitud de las barreras de entrada y salida, visto desde el interior del pozo central, un término exponencial cuyas variaciones (dependiendo de la energía y / o el espesor) son posibles fuentes de resonancias (la fórmula es buena para cualquier forma de las barreras de entrada y salida).

Barrera trapezoidal

La barrera trapezoidal se obtiene aplicando una diferencia de potencial entre los dos extremos de la barrera rectangular simple. Esto da el siguiente diagrama, que ofrece la ventaja de admitir soluciones analíticas exactas; de hecho, para esta barrera la expresión de la función de onda, en su interior es una combinación lineal de funciones de Airy, Ai y Bi, que se pueden conectar a las soluciones de ondas planas en las partes izquierda y derecha.

Aparece un caso especial en el contexto de esta descripción. Si la diferencia de potencial es lo suficientemente grande como para que la barrera muestre la existencia de un punto de retorno convencional (paso de una parte del túnel a una parte convencional , en el punto ), entonces se obtiene el efecto de emisión de campo, comúnmente utilizado en microscopía electrónica . La partícula, ubicada en la banda de conducción a la izquierda, cruza por efecto túnel y se acelera hacia afuera, a la derecha. X2{\ Displaystyle x_ {2}}

Eventualmente, dependiendo de los valores de energía y la forma de la barrera, pueden aparecer resonancias de transmitividad, debido al salto de potencial en el escalón de la derecha. Esta resonancia tiene ciertas características en común con las del efecto Ramsauer . El diagrama opuesto corresponde a una acumulación de instantáneas de la densidad de presencia asociada con un paquete de ondas incidente desde la parte inferior izquierda. El efecto de resonancia se manifiesta aquí por la aparición de los tres máximos en la parte clásica de la barrera. Al final del cruce, las partes reflejadas y transmitidas se alejan hacia la parte superior de la figura, hacia la izquierda y hacia la derecha respectivamente.

Aproximación BKW

En el caso en que la barrera de potencial presente un perfil suave, es posible mostrar, a partir de la ecuación de Schrödinger, o de una discretización fina del potencial en una serie de pequeñas barreras rectangulares sucesivas, que la función de onda, en un punto de coordenada x en la barrera se puede escribir:

φBKW(X)=1k(X)[AExp⁡(I∫XDtuk(tu))+BExp⁡(-I∫XDtuk(tu))].{\ Displaystyle \ varphi _ {BKW} (x) = {\ frac {1} {\ sqrt {k (x)}}} \; \ left [A \ exp \ left (i \ int ^ {x} \, du \, k (u) \ right) + B \ exp \ left (-i \ int ^ {x} \, du \, k (u) \ right) \ right].}

Esta aproximación, estudiada por Brillouin, Kramers y Wentzel, obviamente no es válida para los puntos de retorno clásicos, (ver diagrama), donde el potencial V (x) es igual a la energía E del estado ( k (x) es luego cero), es necesario proceder con cierto cuidado a la conexión a ambos lados de estos puntos. X1,X2{\ Displaystyle x_ {1} \ ;, \; x_ {2}}

En el marco del estudio de la transmitividad, esta expresión es especialmente útil en el caso del túnel, donde k (x) pasa a ser pura imaginación, las dos exponenciales que aparecen en la expresión anterior corresponden a términos decrecientes de izquierda a derecha (factor término de constante A) y decreciente de derecha a izquierda (término de factor de B). En el caso de una onda incidente procedente de la izquierda, y para barreras suficientemente anchas, la fuente de la parte regresiva (expresión B) es mínima. La transmitividad debida a esta parte del túnel se obtiene considerando la disminución de la amplitud de la onda entre los puntos de retorno de entrada y salida convencionales, a saber:

TBKW=Exp⁡[-2∫X1X2DtuK(tu)];K(tu)=2metroℏ2(V(tu)-mi).{\ Displaystyle T_ {BKW} = \ exp \ left [-2 \; \ int _ {x_ {1}} ^ {x_ {2}} \; du \; \ mathrm {K} (u) \ right] \ quad; \ quad \ mathrm {K} (u) = {\ sqrt {{\ frac {2m} {\ hbar ^ {2}}} (V (u) -E)}} \;.}

Es esta expresión la que debe calcularse, por ejemplo, mediante el método del potencial invertido. Esta aproximación debe ser corregida por prefactores, característicos de los potenciales con fuerte pendiente (salto de potencial), que se encuentran en la interfaz entre dos materiales, y que son monedas corrientes en los componentes electrónicos actuales (pozos cuánticos).

Enfoque semiclásico y uso del potencial devuelto

Previo al desarrollo de medios de cálculo rápidos y potentes, que permitan evaluaciones precisas de transmisividades, se han desarrollado métodos aproximados que han permitido, de manera eficiente, descubrir las características de algunas transmisividades de túnel de ciertas barreras de tipo teórico y práctico. Importancia: Barrera tipo Coulomb (modelo de radiactividad alfa ) o barrera triangular asociada al efecto de campo.

Se trata de evaluar el argumento de la aparición exponencial en la aproximación BKW. Es fácil calcular las integrales para potenciales hiperbólicos o lineales, pero es interesante notar el posible acercamiento por el método del potencial devuelto para el cual se obtiene la evaluación de mediante el de en el cual es la acción calculada sobre l órbita clásica que una partícula de la misma energía seguiría en el potencial devuelto, obtenido mediante el uso de la simetría de Corinne . Exp⁡[I∫Xpag(tu)Dtu/ℏ]{\ Displaystyle \ exp [i \ int ^ {x} p (u) du / \ hbar]}Exp-[S(mi)/2ℏ]{\ Displaystyle \ exp - [S (E) / 2 \ hbar]}S(mi){\ Displaystyle S (E)}

El interés se basa entonces en el hecho de que para barreras suficientemente gruesas, correspondientes a pozos anchos, la acción está, en la aproximación semiclásica, sujeta a cuantificación . S(mi)=noh{\ Displaystyle S (E) = n \, h}

A continuación, se escribe la transmitividad BKW de dicha barrera:

T(mi)=Exp⁡[-2πno(mi)],{\ Displaystyle T (E) = \ exp [-2 \ pi n (E)] \ ,,}

donde el número cuántico n ( E ) es la función recíproca de la energía E postulada como el nivel de energía discreta del pozo de potencial correspondiente a la barrera devuelta.

Aplicación a la radiactividad alfa

La barrera potencial que debe atravesar la partícula alfa, de energía E , tras su aparición aleatoria dentro del núcleo de número atómico Z , se transforma en un pozo de Coulomb, cuyos niveles de energía son los de un hidrogenoide . Esto permite el cálculo del número n ( E ) directamente a partir de fórmulas conocidas:

mi=-metromi4(Z-2)22ℏ2×1no2(mi),{\ Displaystyle E = - {\ frac {me ^ {4} (Z-2) 2} {2 \ hbar ^ {2}}} \ times {\ frac {1} {n ^ {2} (E)} } \ ,,}

donde aparecen la masa reducida, y las cargas de la partícula alfa y el núcleo hijo (número atómico Z -1).

La transferencia del número n ( E ) en la expresión de transmitividad revela entonces el comportamiento observado de la vida media (proporcional a la inversa de la transmittividad) de los emisores alfa en función de la energía de la partícula que encuentra la barrera. mi{\ Displaystyle {\ sqrt {E}}}

Aplicación al efecto Fowler-Nordheim

Bajo la acción de un campo eléctrico F , se pueden liberar electrones de un metal (carga q , masa m , energía E con respecto al fondo de la banda de conducción), en particular de una salida de metal alcalino . A continuación, el electrón se somete a un potencial triangular que puede, como primera aproximación, ser tratado por el método BKW: la transmitividad que se deduce de él (teniendo en cuenta los puntos de retorno clásicos y ) es Φ{\ Displaystyle \ Phi}X1=0{\ Displaystyle x_ {1} = 0}X2=(Φ-mi)/qF){\ Displaystyle x_ {2} = (\ Phi -E) / qF)}

TBKW=Exp⁡[-2∫X1X2DtuK(tu)]=Exp⁡[-22metroℏqF∫0Φ-miDXX]{\ Displaystyle T_ {BKW} = \ exp \ left [-2 \; \ int _ {x_ {1}} ^ {x_ {2}} \; {\ text {d}} u \; \ mathrm {K} (u) \ derecha] \; = \; \ exp \ izquierda [-2 \; {\ frac {\ sqrt {2m}} {\ hbar qF}} \ int _ {0} ^ {\ Phi -E} \ ; {\ text {d}} X \; {\ sqrt {X}} \ right]} =Exp⁡[-42metro3ℏqF(Φ-mi)3/2].{\ Displaystyle \ qquad = \ exp \ left [- \; {\ frac {4 {\ sqrt {2m}}} {3 \ hbar qF}} (\ Phi -E) ^ {3/2} \ right] \ ;.}

La obtención de la corriente del túnel debe, por supuesto, tener en cuenta la distribución en energía y la dirección de todos los electrones en la tira, para la temperatura del conductor.

Aquí también la transmisividad podría haberse obtenido utilizando un potencial devuelto. Se trata entonces del medio pozo Torricelli , cuyos niveles de energía se pueden calcular y permitir obtener el número n ( E ).

Túnel cuántico y vida

Una hipótesis que se ha tenido en cuenta en la astroquímica y en el estudio de los orígenes de la vida es que dentro de las nubes interestelares el efecto túnel descubierto por la física cuántica podría explicar ciertas síntesis astroquímicas de moléculas, incluida la síntesis de hidrógeno molecular , de agua ( hielo ) e importantes formaldehído prebiótico.

La biología cuántica también está estudiando, por ejemplo, cómo con las reacciones enzimáticas y la fotosíntesis , los vivos podrían, utilizando algunos mecanismos cuánticos, temperatura y presión normal, optimizar y acelerar algún proceso vital esencial.

Notas y referencias

1. Boletín de la Unión de físicos, n ° 734, mayo de 1991, El efecto túnel: algunas aplicaciones, Chérif F. MATTA
2. (en) Chris Knight , Sherwin J. Singer , Jer-Lai Kuo y Tomas K. Hirsch , "  Topología de enlaces de hidrógeno y las transiciones de fase de ordenación de protones VII / VIII y Ih / XI del hielo  " , Physical Review E , vol.  73, n o  5,16 de mayo de 2006, p.  056113 ( ISSN  1539-3755 y 1550-2376 , DOI  10.1103 / PhysRevE.73.056113 , leído en línea , consultado el 6 de diciembre de 2020 )
3. Yen, F. y Gao, T. (2015). Anomalía dieléctrica en hielo cerca de 20 K: evidencia de fenómenos cuánticos macroscópicos. La revista de letras de química física, 6 (14), 2822-2825.
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5. François Fillaux , “  Las transiciones cuánticas de fase del agua  ”, EPL (Europhysics Letters) , vol.  119, n o  4,1 st 08 2017, p.  40008 ( ISSN  0295-5075 y 1286-4854 , DOI  10.1209 / 0295-5075 / 119/40008 , leído en línea , consultado el 6 de diciembre de 2020 )
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Ver también

Artículos relacionados

• Barrera potencial
• Barrera de Coulomb
• Α radiactividad
• Microscopio electronico
• Unión de túnel
• Diodo de túnel
• Método de Holstein-Herring
• Transistor de efecto túnel

enlaces externos

• Animación, aplicaciones e investigación relacionadas con el efecto túnel y otros efectos de la física cuántica (Universidad Paris Sud)
• Olas en presencia de pasos potenciales, aplicación al efecto túnel. Universidad Paris XI

Bibliografía

• C. Cohen-Tannoudji , B. Diu y F. Laloë , Mecánica cuántica [ detalle de la edición ]
• Albert Messiah , Mecánica Cuántica [ detalle de las ediciones ]

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