Distribución angular

Una distribución angular es un campo escalar no negativo definido en la esfera unitaria y que pertenece al espacio ${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} ^ {p}}$ . Define las propiedades angulares de una cantidad física definida en cualquier dirección o simplemente un conjunto de direcciones.

Unidad de esfera

La esfera unitaria es una esfera de 3 unidades de radio o, en topología , la variedad topológica de dimensión 2

{\ Displaystyle S ^ {2} = \ {\ mathbf {x} \ in \ mathbb {R} ^ {3} \ ;: \; || x || = 1 \}}

La mayoría de las veces se representa mediante un vector unitario Ω cuya dirección está dada por las coordenadas esféricas (θ,)

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Omega}} = {\ begin {pmatrix} \ cos \ phi \ sin \ theta \\\ sin \ phi \ sin \ theta \\\ cos \ theta \ end {pmatrix}} \, , \, \, 0 \ leq \ phi <2 \ pi \ ;, \; \; 0 \ leq \ theta <\ pi}

En este espacio podemos definir una distancia geodésica . ${\ Displaystyle d (\ mathbf {\ Omega}, \ mathbf {\ Omega} ') = \ arccos \, ({\ boldsymbol {\ Omega}} \ cdot {\ boldsymbol {\ Omega}}')}$

La medida de Lebesgue es invariante bajo rotación. Su masa vale . ${\ Displaystyle \ mathrm {d} \ Omega = \ sin \ theta \, \ mathrm {d} \ theta \, \ mathrm {d} \ phi}$ ${\ Displaystyle \ int _ {S ^ {2}} \ mathrm {d} \ Omega = 4 \ pi}$

Una definición alternativa de uso común se obtiene posando . Entonces tenemos ${\ Displaystyle \ mu = \ cos {\ theta}}$

{\ Displaystyle \ Omega = {\ begin {pmatrix} {\ sqrt {1- \ mu ^ {2}}} \ cos {\ phi} \\ {\ sqrt {1- \ mu ^ {2}}} \ sin {\ phi} \\\ mu \ end {pmatrix}} \ ,, \ quad \ mathrm {d} \ Omega = \ mathrm {d} \ mu \, \ mathrm {d} \ phi}

Puede ser necesario restringir el espacio a un hemisferio al estudiar una condición de límite matemática o física (por ejemplo, las propiedades de una superficie). Algunos modelos utilizan octantes aproximación físicos (1/8 th de la esfera). Finalmente, la aproximación numérica hace uso de la división en N segmentos (δθ, δΦ) (por ejemplo, el método S N en transferencia radiativa o la segmentación de datos estadísticos).

Podemos generalizar la teoría a una hiperesfera .

Manipulaciones de distribuciones angulares

Casos particulares

Los casos extremos son

- isotropía	${\ displaystyle L ({\ boldsymbol {\ Omega}}) = L_ {0}}$
- el haz	${\ displaystyle L ({\ boldsymbol {\ Omega}}) = L_ {0} \, \ delta ({\ boldsymbol {\ Omega - \ Omega}} _ {0})}$

donde L 0 y Ω 0 son constantes y δ la distribución de Dirac .

Representación

El problema de la representación de una distribución angular es el de la proyección estereográfica . Este es, por ejemplo, el caso de la representación de la esfera celeste .

Aproximación

Cualquier distribución angular se puede descomponer en armónicos esféricos o, en el caso de una distribución con simetría de revolución, en polinomios de Legendre . Los armónicos esféricos son naturales en este problema, ya que son los vectores propios del operador de Laplace-Beltrami en la esfera unitaria, por lo tanto, la contraparte de las funciones trigonométricas del Laplaciano ordinario.

También podemos utilizar polinomios de Zernike o ondas esféricas, proyectadas sobre la esfera unitaria. En ambos casos se realiza una dilatación estereográfica (el reverso de una proyección estereográfica ), operación que se puede realizar de varias formas.

Momentos de una función aleatoria

Sea la función aleatoria g ( Ω ) tal que . La dirección media m viene dada por ${\ Displaystyle \ int _ {S ^ {2}} g ({\ boldsymbol {\ Omega}}) \, \ mathrm {d} \ Omega = 1}$

{\ Displaystyle \ mathbf {m} = {\ frac {\ mathbf {M}} {M}}}

con

{\ Displaystyle \ mathbf {M} = \ int _ {S ^ {2}} g ({\ boldsymbol {\ Omega}}) \, {\ boldsymbol {\ Omega}} \, \ mathrm {d} \ Omega}

Generalizamos los momentos de una distribución estadística definida en el espacio euclidiano habitual de la siguiente manera

Desviación Estándar	${\ Displaystyle m_ {1} = \ int _ {S ^ {2}} g ({\ boldsymbol {\ Omega}}) \, d ({\ boldsymbol {\ Omega}}, \ mathbf {m}) \, \ mathrm {d} \ Omega}$
momento de orden n	${\ Displaystyle m_ {n} = \ int _ {S ^ {2}} g ({\ boldsymbol {\ Omega}}) \, d ({\ boldsymbol {\ Omega}}, \ mathbf {m}) ^ { n} \, \ mathrm {d} \ Omega}$

El estudio de distribuciones angulares estadísticas también requiere funciones estándar adaptadas a un problema dado. En este caso nos centraremos más bien en los momentos de inercia de la distribución.

En el caso de una distribución con simetría de revolución, el factor de asimetría se usa comúnmente

{\ Displaystyle a = 2 \ pi \ int _ {- 1} ^ {1} \ mu g (\ mu) \ mathrm {d} \ mu \ ,, \ qquad \ mu = \ cos (\ theta)}

Momentos tensoriales en física

En lugar del momento de orden 1 anterior, introducimos el siguiente tensor , calculado a partir de la distribución angular f ( Ω )

{\ displaystyle {\ mathsf {P}} = \ int _ {S ^ {2}} f ({\ boldsymbol {\ Omega}}) \, {\ boldsymbol {\ Omega}} \ otimes {\ boldsymbol {\ Omega }} \, \ mathrm {d} \ Omega}

$\ otimes$ es el operador del producto tensorial . La traza de este tensor es la desviación estándar m 1 anterior, con una rotación de la referencia.

A continuación se dan algunos ejemplos.

Algunos ejemplos en física

Un área importante es la de la propagación de partículas. La distribución angular se refiere en estos casos al número de partículas que cruzan una superficie elemental dS durante el tiempo dt en el ángulo sólido dΩ alrededor de la dirección Ω

{\ Displaystyle \ mathrm {d} N = f (\ mathbf {x}, t, {\ boldsymbol {\ Omega}}) \, v \, \ mathrm {d} t \, \ mathrm {d} S \, \ mathrm {d} \ Omega}

donde f es el número de partículas por unidad de volumen yv es su velocidad. El vector correspondiente a la densidad de flujo de partículas está dado por

{\ Displaystyle \ mathbf {F} (\ mathbf {x}, t) = \ int _ {S ^ {2}} f (\ mathbf {x}, t, {\ boldsymbol {\ Omega}}) \, { \ boldsymbol {\ Omega}} \, \ mathrm {d} \ Omega}

En lugar de la cantidad de partículas, podemos centrarnos en la cantidad que transportan. Por ejemplo, en el caso de la energía, terminamos con la noción de luminancia reemplazando f por ef donde e es la energía transportada por cada partícula. La luminancia es L = vef y F es la salida . Esta cantidad se usa ampliamente para fotones (v = c) pero también se aplica al transporte de muchas otras partículas: neutrinos en física nuclear , neutrones en neutrónica , electrones , partículas alfa o iones en física médica .

Un ejemplo de una distribución aleatoria que involucra partículas es la dispersión elástica de una molécula por otra molécula. El problema se reduce al conocimiento exclusivo de la desviación durante la interacción. Este complejo problema se simplifica cuando las moléculas son esféricamente simétricas: el problema es entonces un problema plano, como la dispersión elástica de un fotón por una partícula ( dispersión de Thomson o Rayleigh ).
Cuando la longitud de onda asociada al fotón es del mismo orden de magnitud que el obstáculo con el que interactúa la onda, se observa un fenómeno de difracción , nuevamente caracterizado por la distribución angular de la onda difractada. Este tipo de fenómeno conduce a patrones de radiación para ondas electromagnéticas. Observamos el mismo fenómeno cuando la onda es una onda de sonido.
El tensor definido anteriormente aparece en ciertos métodos para resolver la transferencia radiativa relacionada con la luminancia. Este es el tensor de presión radiativa, análogo al tensor de tensión de la ecuación de Navier-Stokes que se puede obtener por el método de Chapman-Enskog a partir de la función de distribución microscópica de las velocidades v = v Ω .
Lo anterior constituye el campo de aplicaciones más amplio pero existen otras aplicaciones de la distribución angular, por ejemplo los puntos de contacto de un elemento de un medio granular .

Notas

A veces se utiliza el nombre de distribución esférica. Sin embargo, esta frase también se usa en el sentido de distribución angular con simetría esférica.

Referencias

Dominique Bakry, “ Integración. " ,2009
(en) Kendall Atkinson y Weimin Han , esféricos armónicos y aproximaciones sobre la esfera unidad: una Introducción , Springer ,2012( ISBN 978-3-642-25982-1 )
Frédéric Guilloux, Análisis armónico y estimación espectral en la esfera. Aplicaciones al estudio del fondo cósmico difuso. ( leer en línea )
(en) NI Fisher , T. Lewis y BJJ Embleton , Análisis estadístico de datos esférica , Cambridge University Press ,1987( ISBN 0-521-24273-8 , leer en línea )

Libros de referencia

(en) Willi Freeden y Michael Schreiner , " Expansiones no ortogonales en la esfera " , Métodos matemáticos en las ciencias aplicadas , vol. 18,1995, p. 83-120