Curva de Lissajous

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La curva de Lissajous , también llamada figura de Lissajous o curva de Bowditch , es la trayectoria de un punto cuyos componentes rectangulares tienen un movimiento sinusoidal.

Esta familia de curvas fue estudiada por Nathaniel Bowditch en 1815 , luego con más detalle por Jules Lissajous en 1857 .

Definición

Una curva de Lissajous siempre se puede definir mediante la siguiente ecuación paramétrica:

X(t)=apecado⁡t{\ Displaystyle x (t) = a \ sin t} y(t)=Bpecado⁡(not+ψ){\ Displaystyle y (t) = b \ sin (nt + \ psi)}

donde y . 0≤ψ≤π2{\ Displaystyle 0 \ leq \ psi \ leq {\ frac {\ pi} {2}}}no≥1{\ Displaystyle n \ geq 1}

El número n se denomina parámetro de la curva y corresponde a la relación de las pulsaciones de los dos movimientos sinusoidales. Además, si esta relación es racional, se puede expresar en la forma y la ecuación paramétrica de la curva se convierte en: no=qpag{\ Displaystyle n = {\ frac {q} {p}}}

X(θ)=apecado⁡(pagθ){\ Displaystyle x (\ theta) = a \ sin (p \ theta)} y(θ)=Bpecado⁡(qθ+ϕ){\ Displaystyle y (\ theta) = b \ sin (q \ theta + \ phi)} 0≤θ<2π{\ Displaystyle 0 \ leq \ theta <2 \ pi}

donde y . 0≤ϕ≤π2pag{\ Displaystyle 0 \ leq \ phi \ leq {\ frac {\ pi} {2p}}}q≥pag{\ Displaystyle q \ geq p}

Propiedades

• Si n es irracional, la curva es densa en el rectángulo [- a , a ] × [- b , b ].
• Si n es racional,
  • la curva es una curva algebraica (unicursal) de grado 2 q si para p impar o para p par.ϕ∈]0,π2pag]{\ Displaystyle \ phi \ in \ left] 0, {\ tfrac {\ pi} {2p}} \ right]}ϕ∈[0,π2pag[{\ Displaystyle \ phi \ in \ left [0, {\ tfrac {\ pi} {2p}} \ right [}
  • la curva es una porción de una curva algebraica de grado q si para p impar o para p par.ϕ=0{\ Displaystyle \ phi = 0}ϕ=π2pag{\ Displaystyle \ phi = {\ tfrac {\ pi} {2p}}}
• Si n es un número entero par y , o si n es un número entero impar y , la curva es una parte de la curva del n- ésimo polinomio de Chebyshev .ϕ=π2{\ Displaystyle \ phi = {\ tfrac {\ pi} {2}}}ϕ=0{\ Displaystyle \ phi = 0}

Casos particulares

• Si n = 1, la curva es una elipse .
  • Si a = b y , esta elipse es un círculo .ϕ=π2{\ Displaystyle \ phi = {\ frac {\ pi} {2}}}
  • Si , esta elipse es un segmento de línea .ϕ=0{\ Displaystyle \ phi = 0}
• Si un = 2 b y n = q = 2 (por lo tanto p = 1), la curva es una bolsa .
  • Sí , esta cartera es parte de una parábola .ϕ=π2{\ Displaystyle \ phi = {\ frac {\ pi} {2}}}
  • Sí , esta cartera es una lemniscata de Gerono .ϕ=0{\ Displaystyle \ phi = 0}

A continuación se muestran algunos ejemplos de gráficos con y a = b . ϕ=0{\ Displaystyle \ phi = 0}

• Diferentes ejemplos de curvas de Lissajous

• p = 1, q = 2

• p = 1, q = 3

• p = 1, q = 6

• p = 2, q = 3

• p = 3, q = 4

• p = 3, q = 20

Vínculos con otras curvas

Las curvas de Lissajous son proyecciones de coronas sinusoidales en un plano paralelo al eje de simetría.

Aplicaciones

Las curvas de Lissajous tienen diferentes aplicaciones:

• En un osciloscopio analógico , el modo XY (abscisas (componente horizontal) y ordenadas (componente vertical)) permite, en particular, medir un desplazamiento de fase y una diferencia de frecuencia entre dos señales sinusoidales mediante la visualización de curvas de Lissajous. Sin embargo, este método es impreciso.
• Los telescopios espaciales que orbitan alrededor de los puntos de Lagrange , como en particular el telescopio que Herschel colocó en el punto L2, describen una órbita de Lissajous .

Notas y referencias

Ver también

Bibliografía

• (en) Julio Castiñeira Merino, “  Figuras de Lissajous y polinomios de Chebyshev  ” , The College Mathematics Journal  (en) , vol.  32, n o  22003, p.  122-127 ( leer en línea )
• Francisco Gomes Teixeira , Tratado sobre curvas planas e izquierdas notables especiales ,1971( 1 st  ed. 1905 a 1915) ( leer línea ) , cap.  III.12 (“Sobre las curvas de Lissajous”), pág.  225-230

enlaces externos

• Robert Ferréol y Jacques Mandonnet, "  Curva de Lissajous  " , en mathcurve.com ,2015
• (es) Diapasones de Lissajous: la estandarización del sonido musical en el sitio del Museo Whipple de Historia de la Ciencia .
• (es) Lissajous Interactive
• (en) Jules Antoine Lissajous .
• Registros de autoridad  :
  • Biblioteca Nacional de Dieta
• Aviso en un diccionario o enciclopedia general  : Encyclopædia Britannica