En matemáticas , un par de dos objetos son los datos de estos dos objetos en un orden determinado. La pareja de los dos objetos y se anota . Si y son distintos, el par es distinto del par ; en esto, la noción de pareja se distingue de la noción de pareja . Para designar una pareja, los angloparlantes utilizan un par ordenado , es decir, un par ordenado .
Los objetos de un y b son llamados, respectivamente, el primer componente y el segundo componente del par ( un , b ).
Introducida por primera vez como una noción primitiva, la esencia de la noción de pareja reside en la siguiente propiedad característica :
Dos parejas son iguales si y solo si sus primeros componentes, por un lado, y sus segundos componentes, por otro lado, son iguales entre sí.
En otras palabras, sea cual sea a 1 , a 2 , b 1 , b 2 , tenemos:
( a 1 , a 2 ) = ( b 1 , b 2 ) si y solo si a 1 = b 1 y a 2 = b 2 .Esta propiedad debe compararse con la igualdad de pares , para lo cual b 1 y b 2 pueden permutarse con respecto a a 1 y a 2 , lo que no es el caso de los pares.
Esto se confirma con el siguiente corolario:
Los componentes de un par no se pueden intercambiar entre sí sin modificar el par, a menos que sean idénticos . que puede expresarse de manera más formal mediante: ( a , b ) = ( b , a ) si y solo si a = b .En consecuencia:
Por tanto, el orden de los componentes de una pareja es importante, de ahí la definición:
Si a es diferente de b, la pareja ( b , a ) se llama pareja simétrica o incluso pareja recíproca de la pareja ( a , b ).El conjunto de todos los pares cuya primera componente pertenece a cualquier conjunto X y el segundo a cualquier conjunto Y se llama el producto cartesiano de estos dos conjuntos y se denota X × Y . Los subconjuntos de X × Y son gráficos .
Dado un conjunto de pares C , el conjunto de los primeros componentes de los pares de C se denomina primera proyección de C , o proyección sobre la primera coordenada:
A = { x | ∃ y ( x , y ) ∈ C };el conjunto B de los segundos componentes de los pares de C se llama la segunda proyección de C , o proyección en la segunda coordenada:
B = { y | ∃ x ( x , y ) ∈ C }.Norbert Wiener fue el primero en advertir (en 1914) que la noción de pareja podía definirse en términos establecidos y que, por tanto, no era necesario introducir esta noción como una noción primitiva, tan pronto como la tenemos. . Por lo general, se usa una representación de parejas debida a Kazimierz Kuratowski (1921), ver más abajo. Esta elección es conveniente, pero de ninguna manera intrínseca. Una representación de parejas en la teoría de conjuntos requiere:
Todas las propiedades matemáticas útiles se pueden deducir de estas propiedades. De hecho, en la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel , la propiedad característica de los pares es suficiente: las otras dos propiedades se deducen de ella por reemplazo.
Los pares generalmente se definen en la teoría de conjuntos de la siguiente manera:
Para x y y cualquiera de los dos conjuntos, fijamos ( x , y ) = {{ x }, { x , y }}.Para esta definición debemos usar el axioma del par tres veces , primero para formar el singleton { x }, luego para formar el par (o singleton) { x , y }, y finalmente para formar el par (o singleton) {{ x }, { x , y }}.
Hemos definido claramente la noción de pareja de una manera única. La propiedad característica se deduce del axioma de extensionalidad :
para todos los conjuntos x, y, x 'e y', si {{ x }, { x , y }} = {{ x ' }, { x' , y ' }} , entonces x = x' e y = y ', esto en una teoría de conjuntos que verifica el axioma del par y el axioma de extensionalidad.Basta usar la condición de igualdad para dos pares (o singletons) , distinguiendo cuidadosamente todos los casos posibles.
Supongamos que dado un conjunto de pares C . Entonces las componentes de C pertenecen al conjunto E obtenido al cumplir la unión de los elementos de C , y por tanto podemos definir entendiendo las dos proyecciones de C , es decir el conjunto A de las primeras componentes de C , y el conjunto B de sus segundos componentes:
E = ∪∪ C ; A = { x ∈ E | ∃ y ( x , y ) ∈ C }; B = { y ∈ E | ∃ x ( x , y ) ∈ C }.
Esto es útil para definir, por ejemplo, el conjunto de definiciones o el conjunto de imágenes de una relación o una función vista como conjuntos de parejas (usamos el axioma de la unión y el esquema de axiomas de comprensión ).
Usando el par, la unión, el axioma del conjunto de partes , luego la comprensión, también mostramos que, siendo X e Y dos conjuntos dados, las parejas de Kuratowski cuyo primer componente pertenece a X y el segundo a Y forman un conjunto que es, para esta codificación, el producto cartesiano de X e Y (ver producto cartesiano # Representación en teoría de conjuntos ). El esquema de axioma de reemplazo elimina la necesidad de todas las partes.
Por tanto, todas las propiedades útiles se demuestran en la teoría de conjuntos de Zermelo .
Wiener, en 1914, utilizó la siguiente definición de parejas: ( x , y ) = {{{ x }, ∅}, {{ y }}}, que apenas es más complicada que la de Kuratowski.
También podemos usar ( x , y ) = { x , { x , y }} pero la prueba de la propiedad característica requiere el axioma de fundación . Esta definición tiene la propiedad conveniente de que el par siempre contiene dos elementos, x y { x , y } necesariamente distintos, lo que no es el caso de los pares de Kuratowski o Wiener.
En la teoría de conjuntos, que a veces llamamos un acoplamiento función una función (en el sentido intuitivo, y no en el sentido de la teoría de conjuntos en la que estamos trabajando) que, a cualquiera de los dos objetos x y Y , asocia un objeto ( x , y ) satisfaciendo la propiedad característica de las parejas:
( x , y ) = ( x ' , y' ) ⇔ ( x = x ' y y = y' ).La representación de los pares de Kuratowski o la de Wiener proporcionan ejemplos de función de acoplamiento. Las propiedades matemáticas habituales de las parejas se deducen de la propiedad característica en la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel , independientemente de cómo se defina. En particular :
Según la segunda afirmación, cualquier conjunto de pares es un subconjunto de un producto cartesiano.
Aquí, la construcción de los conceptos se hace en sentido contrario: el par se define a partir del producto cartesiano que a su vez se define a partir de funciones, por lo que la noción de función vista como morfismo se sitúa muy aguas arriba en la teoría de categorías .
Esta es, sin embargo, una visión particular y relativamente reciente de la teoría de categorías, cuya base axiomática aún no se ha establecido; en la mayoría de las obras, los conceptos básicos utilizados para las categorías, incluidas las parejas y las funciones, se basan en la teoría de conjuntos.
Los triples se pueden definir como que satisfacen la propiedad característica:
dos triples son iguales si y solo si sus primeros componentes son iguales entre sí, sus segundos componentes también y sus terceros componentes son iguales .Un triplete ( a , b , c ) se puede codificar como ( a , ( b , c )) o dos pares anidados. La elección del orden de anidación es puramente arbitraria. El proceso de construcción se puede generalizar a n -uplos, siendo n cualquier número entero.
Para generalizar a una infinidad de componentes, ya no hablamos de n- joroba sino de familia , o continuación en el caso contable .