Construcción de regla y brújula

Euclides basó su geometría en un sistema de axiomas que asegura en particular que siempre es posible trazar una línea que pasa por dos puntos dados y que siempre es posible trazar un círculo con un centro dado y que pasa por un punto dado. La geometría euclidiana es, por tanto, la geometría de líneas y círculos, por tanto de la regla y el compás . La intuición de Euclides era que se podía construir u "obtener" cualquier número utilizando estos dos instrumentos.

Esta conjetura , por un lado, pondrá en tela de juicio la definición de un número: los números racionales no son suficientes para expresar todas las longitudes, ya que la diagonal de un cuadrado de lado 1 es construible, pero corresponde al número √ 2, que demostramos fácilmente que no podría ser la razón de dos enteros y, por otro lado, involucrar a la comunidad matemática en la búsqueda de resoluciones imposibles, como la cuadratura del círculo , la trisección del ángulo y la duplicación del cubo . La investigación de números y polígonos construibles conducirá, después del desarrollo del álgebra y la teoría de Galois , al teorema de Gauss-Wantzel sobre polígonos construibles y al teorema de Wantzel para números construibles.

Georg Mohr (1672) y luego Lorenzo Mascheroni (1797) demostrarán que cualquier construcción con regla y brújula se puede realizar solo con un compás.

Arquitectura

Los vínculos que unen las construcciones con la regla y el compás con la arquitectura son muy cercanos:

“La geometría ofrece varios recursos al arquitecto: lo familiariza con la regla y el compás, que se utilizan sobre todo para determinar la ubicación de los edificios. ( Vitruvio ). "

En la Edad Media, el maestro arquitecto es el que posee el conocimiento de la geometría, discute en pie de igualdad con los líderes religiosos. En una sociedad donde pocos pueden leer, el plano, construido con regla y compás, es el único medio sencillo de comunicación entre el arquitecto y los trabajadores. Sin embargo, el problema de la escala surge debido a que las unidades de longitud no están completamente estandarizadas. A continuación, en el suelo se activa, con su brújula, el parlier o jefe de obra que hace el vínculo entre el arquitecto y los trabajadores. Utilizan para su construcción un compás y una regla, pero también, cuando el tamaño de las medidas es demasiado grande, la línea de tiza que reemplaza indiferente a la regla (línea trazada con una línea de tiza) y el compás. Asociados con la escuadra , la regla y la brújula se convierten entonces en el símbolo del arquitecto , maestro arquitecto de catedrales o arquitecto del mundo. Entonces los encontramos en el emblema de la masonería .

Arte

El papel de la construcción de la regla y el compás en las obras artísticas depende mucho del tiempo y las tendencias artísticas.

En los iconos bizantinos , la regla y el compás definen el canon de representación. La cabeza de los santos, por ejemplo, se construye sobre la base de tres círculos concéntricos: uno para el rostro, otro para los contornos de la cabeza y el tercero para el halo . La regla y la brújula desempeñan el mismo papel de cañón en la construcción de mandalas en el budismo tibetano : inicialmente construidos con una regla y una brújula, luego están hechos de arena de colores.

Durante el Renacimiento , Occidente redescubrió los Elementos de Euclides (traducción de 1482). Los artistas italianos vieron entonces las construcciones con regla y compás como una fuente de armonía . Leonardo da Vinci inscribe a su Hombre de Vitruvio en un círculo y un cuadrado. Alberto Durero , autor del libro Instrucciones para medir la regla y el compás , construye su Adán y Eva usando círculos y líneas. También en la tipografía , los artistas intentan encontrar una codificación armoniosa de las letras romanas . Felice Feliciano (1460) parece ser el primero en construir letras de regla y compás. Francesco Torniello , Luca Pacioli y Alberto Durero siguen su ejemplo. Este movimiento duró hasta 1764, cuando Fournier , en su Manual de tipografía , discrepó de la idea de que la armonía de las letras se debe a su rigurosa construcción. La belleza de las letras proviene solo de la calidad artística de su diseñador.

El desarrollo de la perspectiva requiere una preparación geométrica de la obra, pero los círculos y las líneas son entonces solo una cuadrícula que permite al artista colocar las formas según su imaginación y su sensibilidad.

Hacia 1900, nació un movimiento de nuevo tipo con Pablo Picasso y Georges Braque : el cubismo . Las formas están fragmentadas y encajan en configuraciones geométricas. Los artistas creen que la belleza puede surgir de una forma geométrica pura. Wassily Kandinsky , fundador del Blaue Reiter e iniciador del arte abstracto , creó en 1923 una obra puramente geométrica Circles dans tío . Victor Vasarely , uno de los maestros del arte abstracto geométrico y padre del op art , generaliza el uso de la brújula y la regla en pinturas que contienen figuras geométricas, a menudo dando una impresión de volumen.

Geometría

En geometría, la regla (no graduada) y el compás son las herramientas básicas para trabajar en geometría plana . Permiten construcciones simples como eje o centro de simetría , paralelo o perpendicular y están en el origen del estudio de los denominados elementos notables en un triángulo . Pero algunas construcciones siguen siendo poco prácticas, como la construcción de un heptágono regular o la extracción de una raíz cúbica .

Mediador y bisectriz

La construcción principal de la geometría es sin duda el dibujo de la bisectriz perpendicular de un segmento. La bisectriz perpendicular del segmento [ AB ] es la línea d que interseca perpendicularmente [ AB ] en su centro, pero también es el conjunto de puntos equidistantes de los extremos del segmento. Por lo tanto, es suficiente abrir el compás a una longitud mayor que la mitad de la longitud del segmento, luego dibujar dos círculos con este radio, uno centrado en A , el otro en B (podemos estar satisfechos con no dibujar solo arcos de un circulo). La intersección de los dos círculos está formada por dos puntos situados a igual distancia de A y B , y que por tanto definen la bisectriz perpendicular.

Este método también le permite colocar un punto medio o construir una perpendicular.

La bisectriz de un ángulo, o más precisamente, de un sector angular es el eje de simetría de este sector. Basta construir en cada semilínea dos puntos a igual distancia del vértice construyendo los puntos de intersección de las semilíneas con el mismo círculo de centro del vértice del ángulo. Al tomar estos dos puntos como centros de dos círculos del mismo radio, construimos dos arcos de un círculo que se cruzan en dos puntos que pertenecen a la bisectriz deseada.

Por tanto, siempre es posible cortar, con una regla y un compás, un ángulo en dos partes iguales. Pero no siempre es posible cortar, con regla y compás, un ángulo en tres partes iguales. Este es el problema de la trisección del ángulo .

Medio y simétrico

El punto medio del segmento [AB] se obtiene construyendo el punto de intersección de la recta (AB) con la bisectriz perpendicular del segmento [AB].

La simétrica del punto A con respecto a B se obtiene construyendo el punto de intersección (diferente de A) entre la línea (AB) y el círculo con el centro B pasando por A.

El punto simétrico C con respecto a la recta (AB) se obtiene construyendo el punto de intersección (diferente de C) entre el círculo con centro A que pasa por C y el círculo con centro B y pasa por C. Si el punto C es en la línea (AB), es simétrica propia y no es necesaria ninguna construcción.

Perpendicular y paralelo

El paralelo a la línea (AB) que pasa por un punto C se construye usando la propiedad de la línea de puntos medios . Construimos el C1 simétrico del punto C con respecto a A luego el C2 simétrico del punto C1 con respecto a B. la línea buscada es la línea (CC2).

La perpendicular a la línea (AB) que pasa por un punto C no ubicado en (AB) es la línea (CC ') que une el punto C a su simétrico con respecto a la línea (AB). Si el punto C se encuentra en (AB), basta con tomar la simétrica A '(o B') del punto A (o del punto B) en comparación con C, la perpendicular es entonces la bisectriz perpendicular de [AA ' ] (o [BB ']).

Geometría triangular

El triángulo es una figura emblemática de la geometría euclidiana. Todos sus elementos notables: bisectrices , mediadores , alturas , medianas , círculo de Euler y línea de Euler son construibles con regla y compás.

Polígonos regulares

Un polígono regular es un polígono que se puede escribir en un círculo y cuyos lados son iguales . Es fácil construir con una regla y un compás el triángulo equilátero , el cuadrado y el hexágono regular . Con más dificultad, podemos construir el pentágono regular . Uno puede fácilmente duplicar el número de lados de un polígono construible dibujando bisectrices y construyendo, por ejemplo, polígonos con , con y con lados. Aunque teóricamente es posible dibujar polígonos con , con y con lados, su realización es difícil en la práctica. $2 \ times 4 = 8$ $2 \ times 5 = 10$ $2 \ times 6 = 12$ $4 \ times 5 = 20$ $8 \ times 5 = 40$ $16 \ times 5 = 80$

Entre los polígonos con menos de 10 lados quedan, el heptágono (7 lados) y el eneágono (9 lados) que no son construibles; habrá que esperar a Gauss , luego a Wantzel para hacer el inventario de todos los polígonos construibles.

Construcción del pentágono regular

Construcción del hexágono regular

La construcción de un hexágono se realiza simplemente usando tres círculos del mismo radio. Utiliza la propiedad del triángulo equilátero que tiene tres ángulos de 60 ° y el hecho de que los ángulos en el centro de un hexágono son iguales a 60 °.

Números edificables

Para Euclides, un número construible es un número asociado con una longitud construible. Hoy en día, un número construible es un número obtenido como la coordenada de un punto construible a partir de una cuadrícula. Ahora sabemos que el conjunto de números construibles contiene el conjunto de números racionales , pero está estrictamente incluido en el conjunto de números algebraicos . Sabemos en particular que el número $π$ , trascendente , no es construible ( cuadratura del círculo ) y que 3 √ 2 , número algebraico, tampoco lo es ( duplicación del cubo ).

Apéndices

Bibliografía

Raymond Stutz, Estética geométrica: o geometría con regla y compás , Sessenheim (207 rue de la Digue Dalhunden, 67770), R. Stutz,1995, 128 p. ( ISBN 2-9509203-0-6 , OCLC 463797655 , aviso BnF n o FRBNF35817671 ).
Jean-Claude Carrega, Teoría de los cuerpos - La regla y el compás [ detalle de la edición ]