Conectividad (matemáticas)

La conectividad es una noción de topología que formaliza el concepto de "objeto en una sola pieza". Se dice que un objeto está conectado si está hecho de una sola "pieza". De lo contrario, cada una de las piezas es un componente conectado del objeto estudiado.

Definición

Sea E un espacio topológico . Las siguientes cuatro proposiciones son equivalentes:

E no es la unión de dos disjuntos no vacíos aberturas ;
E no es la unión de dos disjuntos no vacíos cerrados ;
los únicos abiertos-cerrados de E son ∅ y E ;
cualquier mapa continuo de E en un conjunto de dos elementos con la topología discreta es constante.

Si se cumple una de estas condiciones equivalentes, decimos que el espacio E está conectado .

La última de estas cuatro caracterizaciones suele ser la más conveniente de usar para demostrar un resultado de conexión.

Se dice que una parte X de un espacio topológico E está conectada si es un espacio conectado cuando se le proporciona la topología inducida .

Conectividad y números reales

Las partes conectadas de ℝ son los intervalos .

Propiedades

La noción de conexión es claramente invariable por los homeomorfismos .
Cualquier conjunto provisto con su topología aproximada está conectado. De ello se deduce que el conjunto vacío está conectado, así como cualquier espacio reducido a un punto .

Unión, intersección, adhesión, producto

Si X e Y son dos partes conectadas de un espacio topológico, en general, la unión y la intersección de X e Y no están conectadas.

Por otro lado, la unión de las dos partes conectadas se conecta en cuanto tienen un punto común (incluso basta con que una de las dos encuentre la adherencia de la otra). Más generalmente :

Para cualquier familia (finita o no) de partes conectadas cuya intersección no esté vacía, la unión está conectada.

Ejemplos de aplicación:

cualquier parte conectada por arcos está conectada (como una unión de los caminos en esta parte que tienen el mismo origen fijo);
si es una serie de partes conectadas de manera que cada una tiene un punto en común con la siguiente, entonces la unión está conectada (como una reunión de las cuales, por inducción, están conectadas). $(X_ {n}) _ {{n \ in \ mathbb {N}}}$ $(\ forall n \ in \ mathbb {N}, X_ {n} \ cap X _ {{n + 1}} \ neq \ varnothing)$ $\ cup _ {{n \ in \ mathbb {N}}} X_ {n}$ $Y_ {n}: = \ taza _ {{k \ leq n}} X_ {k}$

Si A es una parte conectada de E, entonces su adherencia A está conectada porque, más generalmente, cualquier parte B de E tal que A ⊂ B ⊂ A está conectada.

Teorema de las costumbres de compensación: en un espacio topológico, cualquier parte relacionada que cumple tanto una porción C y su complementario coinciden necesariamente con el límite de C .

Un producto de espacios no vacíos está conectado si (y solo si) cada factor lo es. De manera más general, se conecta el espacio total de un haz base y la fibra relacionada.

Componentes relacionados

Dado un punto x de un espacio topológico E , la unión de todas las partes conectadas que contienen x está conectada. Es la más grande (en el sentido de la relación de inclusión) de todas las partes conectadas que contienen x . Se denota por C x y se llama componente conectado de x en E . Los componentes conectados de los puntos de E son, por tanto, las partes conectadas máximas para su inclusión (solo hay una si el espacio está conectado). Forman una partición de E ; es decir: son la clase de relación de equivalencia en E . Se dice que dos puntos de E están conectados si están en el mismo componente conectado.

Como mínimo, tenemos C x = { x }; esto significa que { x } es el único subconjunto conectado de E que contiene x, pero no necesariamente que x sea un punto aislado (ver ejemplos). Si C x = { x } para cualquier punto x de E , decimos que E es totalmente discontinuo . A lo sumo, tenemos C x = E ; este es el caso donde E está conectado.

Los componentes conectados están siempre cerrados pero no siempre abiertos (lo son si y solo si el espacio es su suma topológica ); sin emabargo:

los componentes conectados de un espacio conectado localmente están abiertos;
cualquier parte conectada no vacía que esté cerrada y abierta a la vez es un componente conectado.

Ejemplos de

ℝ * tiene dos componentes conectados: ℝ + * y ℝ - *.
De manera más general, el grupo GL ( n , ℝ) de matrices invertibles de tamaño n tiene dos componentes conectados, dados por el signo del determinante .
En ℕ y más generalmente en un espacio dotado de la topología discreta, los componentes conectados son los singletons.
En ℚ, ningún punto está aislado, pero los componentes conectados también son los singleton. El mismo fenómeno ocurre para todo Cantor . Por tanto, son ejemplos de espacios totalmente discontinuos .
Cualquier abierto de ℝ está conectado localmente (porque ℝ está), por lo tanto, es una unión (por lo tanto, una reunión del más contable ) $\cup k \inκ I k$ de intervalos abiertos no vacíos disjuntos: sus componentes conectados. Por lo tanto, es homeomórfico a ℝ × $κ$ (donde $κ$ está dotado de la topología discreta ).

Conectividad y continuidad

Según la definición, un espacio está conectado cuando su imagen por un mapa continuo nunca es el espacio discreto {0, 1}. Sin embargo, este último ( a fortiori ) no está conectado. Más generalmente :

Cualquier imagen continua de un pariente está relacionada.

Es decir, si E es un espacio conectado y f una aplicación continua de E en un espacio F , entonces f ( E ) es un subconjunto conectado de F . De hecho, si g es un mapa continuo de f ( E ) en el espacio discreto {0, 1}, entonces g ∘ f - continuo en el E conectado - es constante, por lo tanto g es constante. En particular :

esto proporciona una prueba del hecho de que cualquier camino está conectado - que corresponde al caso donde E es un intervalo real - y del teorema de valores intermedios (que es el caso particular de un camino en ℝ) a condición de haber probado previamente que cualquier intervalo real está conectado, como se indicó anteriormente , sin usar este teorema;
cada cociente de un conectado está conectado.

Aplicaciones localmente constantes

Definición - Se dice que un mapa f de un espacio topológico X en un conjunto Y es localmente constante (en) en X si cualquier punto de X tiene una vecindad en la que f es constante.

Una función localmente constante sobre X no es necesariamente constante sobre X , pero lo es si el espacio X está conectado, como muestra el siguiente teorema.

Teorema - Si f es constante de forma local en X cuando es constante en cada componente conectado de X .

El inverso de este teorema es falso en general (tome X = ℚ), pero verdadero si X está conectado localmente.

Dos aplicaciones fundamentales para el análisis

Para mostrar que una propiedad es verdadera para todos los puntos de una parte que sabemos que están conectados, mostramos que el conjunto de puntos que la satisface es abierto y cerrado.

Esto es lo que hacemos para el teorema de unicidad de las soluciones globales de una ecuación diferencial y para el principio de extensión analítica .

Las aplicaciones son numerosas. La línea ℝ y el plano ℝ 2 no son homeomórficos: si este fuera el caso, la línea privada de un punto sería homeomorfa al plano privado de un punto. Pero el segundo espacio está conectado, el primero no.

El mismo argumento muestra que el círculo S 1 no es homeomorfo a un intervalo.

Este argumento no se extiende a dimensiones superiores. Si queremos mostrar usando las mismas ideas que ℝ 2 y ℝ 3 no son homeomorfos, tenemos que incorporar una conexión simple (es decir, una conexión por arcos del espacio de encaje ). El resultado sigue siendo válido para las dimensiones superiores , pero requiere herramientas más poderosas como la homología para la demostración .

También podemos citar, como aplicación de la conectividad, el análisis del enigma de las tres casas . El objeto de este acertijo es conectar tres puntos del plan identificados con viviendas con otros tres, identificados con proveedores (agua, gas y electricidad). Cada casa debe estar vinculada a los tres proveedores y los vínculos no deben cruzarse. La prueba de la imposibilidad de resolución se basa en el teorema de Jordan , que se expresa en términos de conectividad.

En un grupo topológico G , el componente conectado de la identidad, llamado componente neutral (en) y anotado G 0 , es un subgrupo distinguido . Como cualquier componente conectado , G 0 está cerrado en G , y además abierto si G está conectado localmente (en particular si G está conectado localmente por arcos, en particular si G es un grupo de Lie ). El grupo de cocientes G / G 0 (provisto de la topología del cociente ) es totalmente discontinuo ; es discreto si y solo si G 0 está abierto.

La siguiente propiedad es muy útil para mostrar resultados de conectividad:

Sea G un grupo topológico y H un subgrupo. Si el grupo H y el espacio G / H están conectados, entonces G está conectado.

Notas y referencias

Esta propiedad se demuestra en la Wikiversidad capítulo en la conectividad ( ver a continuación ).
(en) Gregory Naber, Topología, geometría y campos de calibre: fundaciones , Springer ,2013( leer en línea ) , pág. 81.
Ver, por ejemplo, este ejercicio corregido sobre Wikiversity .
(en) Markus Stroppel, Grupos localmente compactos , EMS ,2006( leer en línea ) , pág. 55.
(en) O. Ya. Viro (en) , OA Ivanov, N. Yu. Netsvetaev y VM Kharlamov (de) , Topología elemental , AMS ,2008( leer en línea ) , pág. 192 y 201.

Ver también

Bibliografía

Georges Skandalis , topología y análisis 3 er año , Dunod , coll. "Sciences Sup", 2001
Claude Wagschal, Topología y análisis funcional , Hermann , coll. "Métodos", 1995