Biyección

En matemáticas , una biyección está aplicando biyectiva . Una aplicación es biyectiva si cada elemento de su conjunto de llegada tiene un solo antecedente , es decir, es la imagen de exactamente un elemento (de su dominio de definición ), o si es inyectiva y sobreyectiva . Las biyecciones también se denominan a veces coincidencias uno a uno .

Se puede notar que en esta definición, no se impone a los elementos del conjunto inicial ninguna condición que no sea la que define una aplicación: cada elemento tiene una imagen y solo una.

Si existe una biyección f de un conjunto E en un conjunto F, entonces existe una de F a E : la biyección recíproca de f , que a cada elemento de F asocia su antecedente por f . Entonces podemos decir que estos conjuntos están en biyección o equipotentes .

Cantor primero demostró que si hay una inyección de E a F y una inyección de F a E (no necesariamente sobreyectiva), entonces E y F son equipotentes (este es el teorema de Cantor-Bernstein ).

Si dos conjuntos finitos son equipotentes, entonces tienen el mismo número de elementos. La extensión de esta equivalencia a conjuntos infinitos llevó al concepto de cardinal de un conjunto, y distinguir diferentes tamaños de conjuntos infinitos, que son clases de equipotencia. Así, podemos mostrar, por ejemplo, que el conjunto de números naturales es del mismo tamaño que el conjunto de números racionales , pero de tamaño estrictamente menor que el conjunto de números reales . De hecho, desde adentro , hay inyecciones pero no sobreyecciones. $\ mathbb {N}$ $\ mathbb {R}$

Definiciones formales

Definición funcional

Un mapa es biyectivo si cada elemento del conjunto de llegada tiene exactamente un antecedente (in ) por , que está formalmente escrito: $f: E \ a F$ $F$ $mi$ $F$

{\ Displaystyle \ forall y \ in F, \ \ existe! \ x \ in E, \ quad f (x) = y}

o, lo que es equivalente, si hay una aplicación que, compuesta a la izquierda oa la derecha por , da identidad a la aplicación : ${\ Displaystyle g: F \ a E}$ $F$

{\ Displaystyle g \ circ f = \ operatorname {id} _ {E}}

y ,

{\ Displaystyle f \ circ g = \ operatorname {id} _ {F}}

es decir:

{\ Displaystyle \ forall x \ in E, \ \ forall y \ in F, \ quad f (x) = y \ Longleftrightarrow g (y) = x}

Entonces, dicha aplicación está determinada de forma única por . Lo llamamos biyección recíproca de y lo escribimos . También es una biyección, y su inverso lo es . $gramo$ $F$ $F$ $f ^ {- 1}$ $F$

Definición relacional

Una biyección de en es una relación binaria de en la que es una aplicación y cuya relación recíproca es también una aplicación. Más detalladamente, debe tener las siguientes cuatro propiedades: $mi$ $F$ $R$ $mi$ $F$ $R ^ {- 1}$ $R$

Funcionalidad : cualquier elemento de tiene como máximo una imagen por , es decir $mi$ $R$

{\ Displaystyle \ forall x \ in E, \ \ forall y, y '\ in F, \ quad [(xRy {\ text {y}} xRy') \ Rightarrow y = y ']}

;

Aplicatividad : cada elemento de tiene al menos una imagen de , es decir $mi$ $R$

{\ Displaystyle \ forall x \ en E, \ \ existe y \ en F, \ quad xRy}

;

Injetividad : cualquier elemento de tiene como máximo un antecedente de , es decir $F$ $R$

{\ Displaystyle \ forall x, x '\ in E, \ \ forall y \ in F, \ quad [(xRy {\ text {y}} x'Ry) \ Rightarrow x = x']}

Sobrejetividad : todo elemento de tiene al menos un antecedente por , es decir $F$ $R$

{\ Displaystyle \ forall y \ en F, \ \ existe x \ en E, \ quad xRy}

La inyectividad de es equivalente a la funcionalidad de y la sobrejetividad de es equivalente a la aplicabilidad de . $R$ $R ^ {- 1}$ $R$ $R ^ {- 1}$

Es habitual representar una relación binaria funcional mediante una función planteando $R$ $F$

{\ Displaystyle \ forall x \ in E, \ \ forall y \ in F, \ quad f (x) = y \ Longleftrightarrow xRy}

Si especificamos que es una aplicación , asumimos que es funcional y aplicativa (ver Aplicación_ (matemáticas) # Función_y_aplicación para conocer las diferencias entre aplicación y función , que pueden variar según los autores). $F$ $R$

La simetría entre funcionalidad e inyectividad por un lado, y entre aplicatividad y sobrejetividad por otro lado, da que si es una relación biyectiva entonces también lo es. $R$ $R ^ {- 1}$

Ejemplo concreto

Tomemos el caso de un lugar de vacaciones donde un grupo de turistas se va a alojar en un hotel. Cada forma de distribuir estos turistas en las habitaciones del hotel se puede representar mediante una aplicación del conjunto X de los turistas al conjunto Y de las habitaciones (cada turista está asociado a una habitación).

El hotelero quiere que la aplicación sea sobreyectiva , es decir que cada habitación esté ocupada . Esto solo es posible si hay al menos tantos turistas como habitaciones.
Los turistas quieren que la aplicación sea inyectiva , es decir, que cada uno tenga una habitación individual . Esto solo es posible si el número de turistas no supera el número de habitaciones.
Estos deseos son incompatibles si el número de turistas es diferente al número de habitaciones. De lo contrario, será posible distribuir a los turistas para que solo haya uno por habitación, y todas las habitaciones estén ocupadas: entonces diremos que la aplicación es tanto inyectiva como sobreyectiva; es biyectivo .

Ejemplos y contraejemplos

La función afín definida por $f$ $($ $x$ $) = 2$ $x$ $+ 1$ es biyectiva, ya que para cualquier $y$ real , existe exactamente una solución real de la ecuación $y$ $= 2$ $x$ $+ 1$ de la desconocida $x$ , a saber: $x$ $= ($ $y$ $- 1 ) / 2$ . $f: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}$
La función cuadrada definida por $g$ $($ $x$ $) =$ $x$ $2$ no es biyectiva, por dos razones. La primera es que tenemos (por ejemplo) $g$ $(1) = 1 =$ $g$ $(-1)$ , y por lo tanto $g$ no es inyectiva; la segunda es que no hay (por ejemplo) una $x$ real tal que $x$ $2$ $= -1$ , y por lo tanto $g$ tampoco es sobreyectiva. Cualquiera de estas observaciones es suficiente para afirmar que $g$ no es biyectiva. Por otro lado, la aplicación es uno a uno . La explicación es que para cada $y$ real positiva , hay exactamente una solución real positiva para la ecuación $y = x$ $2$ , que es $x$ $=$ $\sqrt$ $y$ . La función raíz cuadrada es, por tanto, la biyección recíproca de la función cuadrada en estos conjuntos. ${\ Displaystyle g: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$
${\ Displaystyle \ mathbb {R} _ {+} \ to \ mathbb {R} _ {+}, \, x \ mapsto x ^ {2}}$
Asimismo, la función seno , vista como una aplicación de in , no es inyectiva ni sobreyectiva, y por lo tanto no es biyectiva; R{\ Displaystyle \ mathbb {R}} $\ mathbb {R}$ R{\ Displaystyle \ mathbb {R}} $\ mathbb {R}$
- su corestricción es sobreyectiva pero no inyectiva (por ejemplo, y tienen la misma imagen) por lo tanto no biyectiva; ${\ Displaystyle \ sin: \ mathbb {R} \ to [-1,1]}$ ${\ displaystyle 0}$ $\ Pi$
- su restricción es inyectiva pero no sobreyectiva (por ejemplo, es la imagen sin valor) por lo tanto no es biyectiva; ${\ Displaystyle \ sin: [- {\ pi / 2}, {\ pi / 2}] \ to \ mathbb {R}}$ $2$
- su restricción-corestricción es biyectiva (como también una infinidad de otras de sus corestricciones-restricción); ${\ Displaystyle \ sin: [- {\ pi / 2}, {\ pi / 2}] \ a [-1,1]}$
- su biyección inversa es entonces $arcsin$ : ; ${\ Displaystyle [-1,1] \ to [- {\ pi / 2}, {\ pi / 2}]}$
- sin embargo, la función arco seno que toma los mismos valores, pero vista como una aplicación de in , es inyectiva pero no sobreyectiva (por ejemplo, no es la imagen de ningún valor) por lo tanto no es biyectiva. $[-1,1]$ $\ mathbb {R}$ $\ Pi$
La función sigmoidea definida por es biyectiva y se usa a menudo en informática, especialmente en redes neuronales . ${\ Displaystyle f: \ mathbb {R} \ to] 0.1 [}$ $f (x) = \ frac {1} {1 + e ^ {- x}}$

Propiedades

Las biyecciones son isomorfismos en la categoría de conjuntos .
Deja y . F:mi→F{\ Displaystyle f: E \ a F} $f: E \ a F$ h:F→GRAMO{\ Displaystyle h: F \ to G} ${\ Displaystyle h: F \ to G}$
- Si y son biyectivos, entonces es biyectivo y . $F$ $h$ ${\ Displaystyle h \ circ f}$ ${\ Displaystyle (h \ circ f) ^ {- 1} = f ^ {- 1} \ circ h ^ {- 1}}$
- Si es biyectiva, entonces es inyectiva y sobreyectiva. ${\ Displaystyle h \ circ f}$ $F$ $h$
Para cualquier conjunto E , biyecciones de E sobre sí mismo se llaman permutaciones de E . Forman, con la operación ∘ de composición de los mapas, un grupo llamado grupo simétrico de E y denotado S ( E ) o . ${\ Displaystyle {\ mathfrak {S}} (E)}$
¡El número de biyecciones entre dos conjuntos finitos con la misma cardinalidad n es n ! .
Un mapa de ℝ a ℝ es biyectivo si y solo si su gráfico interseca cualquier línea horizontal en exactamente un punto.
Para que una aplicación de un conjunto finito sea en sí misma biyectiva, basta con que sea inyectiva o sobreyectiva (entonces son ambas). Puede verse como una aplicación del principio de cajones . NB: puede haber una biyección entre dos conjuntos infinitos de los cuales uno está estrictamente incluido en el otro. Hay muchos ejemplos de esto en el caso contable .

Notas y referencias

En N. Bourbaki , Elementos de las matemáticas : teoría de conjuntos [ detalle de ediciones ](Edición de 1970 o 2006 ), c. II, § 3, n o 7, después de def. 10, pág. II. 17, leemos: “En lugar de decir que f es inyectiva, también decimos que f es uno a uno . […] Si f [mapeo de A a B ] es uno a uno, también decimos que f pone A y B en correspondencia uno a uno . " Pero en los" Resultados de la especificación "al final del mismo volumen, p. ER9, "uno a uno" solo se usa en el segundo sentido.

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