Aproximación de campos débiles
La aproximación de campo débil en relatividad general se usa para describir campos gravitacionales lejos de la fuente de gravedad .
Permite encontrar las leyes de gravitación de Newton .
Descripción matemática
En esta aproximación, asumimos que podemos escribir la métrica del espacio-tiempo ( ) en la forma
gramo {\ Displaystyle g \}
gramoμν=ημν+ϵγμν {\ Displaystyle g _ {\ mu \ nu} = \ eta _ {\ mu \ nu} + \ epsilon \ gamma _ {\ mu \ nu} \}
donde es la métrica de Minkowski , es la desviación (débil) de esta última y una constante real distinta de cero.
ημν {\ Displaystyle \ eta _ {\ mu \ nu} \}
γμν {\ Displaystyle \ gamma _ {\ mu \ nu} \}
ϵ {\ Displaystyle \ epsilon \}
Se puede obtener una relación entre el potencial de gravedad newtoniano y el término de desviación citado anteriormente calculando los símbolos de Christoffel , ignorando los términos de orden mayor que :
Φ {\ Displaystyle \ Phi \}
Γμ44 {\ Displaystyle \ Gamma ^ {\ mu} {} _ {44} \}
ϵ {\ Displaystyle \ epsilon \}
Γμ00=-ϵ2gramoμνγ00,ν {\ Displaystyle \ Gamma ^ {\ mu} {} _ {00} = - {\ frac {\ epsilon} {2}} g ^ {\ mu \ nu} \ gamma _ {00, \ nu} \}
y deducimos:
Γ000=0 {\ Displaystyle \ Gamma ^ {0} {} _ {00} = 0 \}
ΓI00=-ϵ2γ00,I {\ Displaystyle \ Gamma ^ {i} {} _ {00} = - {\ frac {\ epsilon} {2}} \ gamma _ {00, i} \}
( )
I=1,2,3{\ Displaystyle i = 1,2,3}
Geodésico
La ecuación geodésica se convierte en:
D2XIDt2=-ΓI00=ϵ2γ00,I=-∇Φ{\ Displaystyle {\ frac {d ^ {2} x ^ {i}} {dt ^ {2}}} = - \ Gamma ^ {i} {} _ {00} = {\ frac {\ epsilon} {2 }} \ gamma _ {00, i} = - \ nabla \ Phi}
o :
-
Φ{\ Displaystyle \ Phi}
es el potencial gravitacional newtoniano;
-
vs{\ Displaystyle c}
es la velocidad de la luz en el vacío.
Así tenemos:
Φ=-ϵ2γ00 {\ Displaystyle \ Phi = - {\ frac {\ epsilon} {2}} \ gamma _ {00} \}
Como, además, sabemos que:
Φ=-GRAMOmetror {\ Displaystyle \ Phi = - {\ frac {Gm} {r}} \}
donde es la constante gravitacional , es la masa del cuerpo atrayente y la distancia radial al centro de este cuerpo, encontramos que:
GRAMO {\ Displaystyle G \}
metro {\ Displaystyle m \}
r {\ Displaystyle r \}
gramo00=-vs2+2GRAMOmetror {\ Displaystyle g_ {00} = - c ^ {2} + {\ frac {2Gm} {r}} \}
La aproximación de campo débil es útil para encontrar los valores de ciertas constantes, por ejemplo, en la ecuación de Einstein y la métrica de Schwarzschild .
Ver también