Ecuación de tiempo

La ecuación del tiempo es un parámetro utilizado en astronomía para explicar el movimiento aparente relativo del Sol con respecto al sol medio , que puede diferir entre sí en más o menos aproximadamente un cuarto de hora . De un año a otro, la curva de evolución anual de este parámetro se repite de forma casi idéntica. El conocimiento de la ecuación del tiempo permite corregir en cualquier momento el tiempo dado por un reloj de sol para encontrar el tiempo legal , de flujo uniforme. En el pasado, permitía controlar la velocidad de un reloj , con un flujo teóricamente uniforme, en relación con las indicaciones de un reloj de sol, en particular en el momento del mediodía verdadero , que entonces era socialmente importante, un tiempo marcado en un dial o un meridiano . Este cambio tiene dos razones: el hecho de que la órbita de la Tierra es una elipse de la cual el sol es un punto focal (primera ley de Kepler ) y que la Tierra no recorre esta órbita a velocidad constante (segunda ley de Kepler ) y las causas el eje de rotación de la Tierra para inclinarse en su órbita.

Como resultado de las características del movimiento de la Tierra alrededor del Sol , la ecuación del tiempo se puede calcular con mucha precisión. Encontramos tablas detalladas en las efemérides astronómicas .

Definición

La ecuación del tiempo en un instante dado es, por convención, la diferencia entre el tiempo solar medio y el tiempo solar verdadero .

• El tiempo solar medio se basa en el sol medio, definido como un objeto que, durante todo el año, se movería sobre el ecuador a una velocidad constante, ya que la duración del día solar medio es exactamente de 24 horas.
• El tiempo solar o tiempo real es una medida del tiempo basada en el sol verdadero, dado por un reloj de sol. En particular, el mediodía solar corresponde al instante del día en que el Sol pasa por el semiplano meridiano.

Un valor positivo de la ecuación del tiempo indica que el sol verdadero está rezagado con respecto al sol medio, es decir, más al este, y un valor negativo que está adelante, es decir, más al oeste. Por ejemplo, cuando la ecuación del tiempo es + 8 minutos, significa que son las 12:08 a.m. del tiempo solar medio cuando el reloj de sol indica el mediodía verdadero.

Al menos esta es la convención de signos utilizada en Francia, donde la ecuación del tiempo es la ecuación del tiempo real, es decir, lo que se debe sumar al tiempo real para obtener el tiempo promedio. En algunos países, como el Reino Unido, los Estados Unidos o Bélgica, la ecuación del tiempo se define a menudo con la convención del signo inverso: es la ecuación del tiempo medio, es decir, la cantidad que se suma al tiempo medio para obtener el verdadero tiempo. Las dos variables, "ecuación de tiempo real" y "ecuación de tiempo medio" tienen valores opuestos.

Otra forma de definición: la ecuación del tiempo, en cada instante, es la diferencia entre la ascensión recta del sol verdadero y la del sol medio, por lo que es la ecuación de la ascensión recta media con la convención de signo adoptada aquí. .

Nota sobre la palabra "  ecuación  ": en la astronomía antigua, el término "ecuación" denotaba una corrección agregada algebraicamente a un valor promedio para obtener un valor verdadero. Es un significado que ha sobrevivido en la expresión "ecuación del tiempo", y que también se encuentra en "  ecuación del centro  " o "ecuación de los equinoccios  ". De hecho, es un parámetro y no una ecuación en el sentido habitual del término (igualdad con incógnitas, como es el caso de una ecuación polinomial o una ecuación diferencial ).

Evolución anual de la ecuación del tiempo

Las variaciones de la ecuación de tiempo a lo largo de un año completo están representadas por la curva roja en la figura opuesta. Como primera aproximación, su forma se puede analizar como resultado de la superposición de dos sinusoides  :

• en azul en el diagrama: una sinusoide con un período igual a un año , con una amplitud igual a 7,66 minutos y anulándose cuando la Tierra pasa por los ábsides  : perihelio alrededor del 4 de enero y afelio alrededor del 4 de julio . Este componente refleja la excentricidad de la órbita de la Tierra;
• En verde en el diagrama, una sinusoide con un período igual a medio año , con una amplitud de 9,87 minutos y cancelando en los solsticios y equinoccios . Este componente resulta de la oblicuidad de la eclíptica en el ecuador.

La ecuación del tiempo, en rojo, se desvanece cuatro veces al año, hacia el 15 de abril, la 13 de junioEl 1 er septiembre y25 de Diciembre. Su máximo, alcanzado hacia el11 de febrero, es igual a 14 min 15 s, y su mínimo, alcanzado hacia el 3 de noviembre, es igual a −16 min 25 s.

Analemma

La evolución anual de la ecuación del tiempo, en un lugar dado, se puede visualizar con la ayuda de una curva llamada analema o curva en 8, definida de la siguiente manera: cada punto de esta curva representa una posición del sol (verdadero) cuando son las 12 en punto para el sol medio, es decir, cuando este último pasa por el centro del diagrama. Los ejes son los siguientes, con diferentes escalas, para resaltar mejor la ligera asimetría de la curva:

• el eje horizontal representa el acimut en grados (180 ° corresponde al sur). La ecuación de tiempo se lee a lo largo de este eje, por lo tanto, como la desviación horizontal de la línea de 180 °. Con la convención de signos adoptada, es positivo a la izquierda de la línea de 180 °. La correspondencia entre el ángulo y el tiempo es 360 ° = 24 h, por lo tanto 1 ° = 4 minutos;
• el eje vertical representa la altura del Sol sobre el horizonte, vinculado a variaciones en su declinación;
• el sol medio, mediodía, está en el centro del diagrama (acimut = 180 °, altura = 90 ° - latitud del lugar).

En el ejemplo opuesto que se refiere a Greenwich en Inglaterra, el primer día de cada mes se muestra en negro y las posiciones de los solsticios y equinoccios se muestran en verde. Leemos por ejemplo:

• la 3 de noviembre, avance máximo del sol verdadero sobre el sol medio, y la ecuación de tiempo, que es negativa, es - 16 min 23 s;
• la 12 de febrero, el retardo es máximo y la ecuación de tiempo, que es positiva, es igual a + 14 min 20 s;
• en el solsticio de invierno, hacia el 21 de diciembre, la altura del Sol es mínima y es igual a 15.08 ° (altura en el solsticio de invierno = colatitude del lugar - oblicuidad de la eclíptica = 38.52 ° - 23.44 °);
• en el solsticio de verano, hacia el 21 de junio, la altura es máxima y es igual a 61,96 ° (altura en el solsticio de verano = colatitude del lugar + oblicuidad de la eclíptica = 38,52 ° + 23,44 °);
• en los equinoccios, el Sol pasa por el plano del ecuador y tiene, en ese momento, la misma altura que el sol medio, igual a la colatitude del lugar.

Algunos relojes de sol tienen su analema . Incluso pueden dar el tiempo promedio directamente, ya sea porque las líneas horarias se transforman en curvas corregidas por la ecuación del tiempo, o porque se le ha dado una forma al gnomon teniendo en cuenta esta corrección. En ambos casos, hay que tener en cuenta la época del año o tener dos diales.

Desambiguación

Este analema no debe confundirse con la figura del mismo nombre, que históricamente es mucho más antigua, y que se utilizó para dibujar relojes de sol o establecer geométricamente la altura del sol. Resultó de la proyección de la esfera celeste en el plano meridiano.

Variación de esta evolución en el tiempo

La forma de la curva de la "ecuación de tiempo", es decir el valor de los extremos y los momentos en que se observan, así como los momentos en que se cancela la curva, evolucionan muy lentamente a lo largo de los años durante al menos. al menos dos razones:

1. la Tierra en su movimiento alrededor del Sol está influenciada por los otros planetas del sistema solar , lo que provoca una variación en la excentricidad de su órbita , así como una lenta rotación de la línea que une el perihelio con el afelio de la 'órbita, llamada la línea de los ábsides;
2. la Tierra, en su rotación sobre sí misma, sufre la influencia de la pareja (Luna, Sol), lo que implica una variación de su oblicuidad en inclinación y dirección; estos fenómenos se conocen y describen con los nombres de nutación en longitud, nutación en oblicuidad y precesión de los equinoccios .

Estas evoluciones provocan en particular un deslizamiento relativo de las fechas de los pasos a los ábsides en comparación con las de los solsticios y equinoccios, que se fijan por construcción del año tropical. Durante un período de 70 siglos, desde el año -2000 al +5000, los extremos se definen en la siguiente tabla:

Año	Primer máximo	Primer mínimo	Segundo máximo	Segundo mínimo
- 2000	+ 18:33, enero 31	- 12 min 45 s, 20 de mayo	+ 2:06, 10 de agosto	- 9 min 30 s, 26 de octubre
- 1000	+ 18 min 18 s, 3 de febrero	- 10 min 14 s, 21 de mayo	+ 2:06, 6 de agosto	- 11 min 45 s, 27 de octubre
0	+ 17:27, 6 de febrero	- 7 min 44 s, 20 de mayo	+ 2:57, 1 de agosto	- 13 min 45 s, 29 de octubre
+ 1000	+ 16:04, 9 de febrero	- 5 min 27 s, 18 de mayo	+ 4 min 30 s, 29 de julio	- 15:20, 1 de noviembre
+ 2000	+ 14 min 15 s, 11 de febrero	- 3 min 41 s, 14 de mayo	+ 6 min 30 s, 26 de julio	- 16 min 25 s, 3 de noviembre
+ 3000	+ 12:08, 14 de febrero	- 2 min 37 s, 10 de mayo	+ 8:41, 25 de julio	- 16 min 57 s, 6 de noviembre
+ 4000	+ 9 min 52 s, 15 de febrero	- 2 min 24 s, 6 de mayo	+ 10 min 48 s, 25 de julio	- 16 min 54 s, 9 de noviembre
+ 5000	+ 7 min 38 s, 15 de febrero	- 3 min 00 s, 3 de mayo	+ 12 min 38 s, 26 de julio	- 16 min 17 s, 12 de noviembre

Análisis intuitivo de la ecuación del tiempo

La duración de la rotación de la Tierra sobre sí misma en un punto de referencia ligado a estrellas distantes (día sideral) es prácticamente constante, aproximadamente igual a 23 h 56 min; por otro lado el día solar, es decir el tiempo que transcurre entre el momento en que el Sol está frente a un punto dado de la Tierra (verdadero mediodía solar en este punto) y el momento en que el Sol está frente a de este punto nuevamente al día siguiente, es de aproximadamente 24 h; de hecho, habiendo avanzado la Tierra en su órbita mientras giraba sobre sí misma, aún tendrá que girar sobre sí misma aproximadamente 1 ° (lo que requiere aproximadamente 4 min) para que el punto considerado vuelva a mirar hacia el Sol. Sin embargo, este tiempo adicional varía durante el año entre 3 min 30 sy 4 min 30 s aproximadamente, provocando las variaciones de la duración del día solar que, al acumularse, crean los desplazamientos entre el tiempo solar verdadero y el tiempo solar medio.

Dos fenómenos se combinan para explicar estas variaciones; en esta sección, se examinan a su vez:

• Influencia de la elipticidad de la órbita de la Tierra .
• Influencia de la oblicuidad de la Tierra.

Influencia de la elipticidad de la órbita terrestre

Como afirma la primera ley de Kepler , la Tierra describe una órbita elíptica alrededor del Sol en la que el Sol ocupa uno de los puntos focales. Por tanto, la distancia Tierra-Sol varía durante el año: es mínima (147 100.000  km ) hacia el3 de enero, en el perihelio, máximo (152 100.000  km ) a principios de julio, en el afelio, e igual a su valor medio alrededor de principios de abril y principios de octubre. Este solo hecho bastaría para crear variaciones porque el mismo arco de trayectoria se ve bajo un ángulo aproximadamente inversamente proporcional a la distancia que lo separa del observador; pero también está el hecho de que la velocidad de movimiento de la Tierra en su órbita varía: es máxima en el perihelio ( 30.287  km / s ) y mínima en el afelio ( 29.291  km / s ). La segunda ley de Kepler (ley del área) establece que la velocidad angular de movimiento de la Tierra alrededor del Sol en el plano de la eclíptica es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia Tierra-Sol.

Resulta de la conjunción de estos dos fenómenos que el ángulo formado por las líneas Tierra-Sol un día al mediodía (hora solar verdadera) y el día siguiente a la misma hora varía significativamente durante el año, ya que es aproximadamente inversamente proporcional al cuadrado. de la distancia Tierra-Sol. De octubre a marzo, el ángulo que forman estas líneas es mayor que la media (alrededor del 3,3% a principios de enero), lo que implicaría (si la oblicuidad del eje de la Tierra no complicase las cosas) que la Tierra toma , cada día de este período, más tiempo que el tiempo medio para realizar la rotación complementaria (hasta 8 s más), de manera que, visto desde la Tierra, el verdadero sol se retrasa (después de haber perdido su ventaja) en toda esta parte del año. De abril a septiembre, la situación se invierte; Por lo tanto, podemos decir que, por el solo hecho de la elipticidad de la órbita de la Tierra, el verdadero sol recupera su retraso y luego toma la delantera.

Como primera aproximación, el retraso debido a la elipticidad varía sinusoidalmente con un período de un año, se cancela en el perihelio y afelia , y es extremo entre estos dos puntos (curva azul en la ecuación de la figura del tiempo ). La expresión de esta demora, expresada en minutos, es la siguiente:

ΔTVS(D)=7,53porque⁡(B)+1,5pecado⁡(B)=7.678pecado⁡(B+1,374){\ Displaystyle \ Delta T_ {C} (d) = 7 {,} 53 \ cos (B) +1 {,} 5 \ sin (B) = 7 {,} 678 \ sin (B + 1 {}, 374 )}

Consulte la definición de B (d) a continuación.

Influencia de la oblicuidad de la Tierra

Se asume aquí por simplicidad que la órbita de la Tierra es circular. Aun así, el movimiento aparente del Sol a lo largo del ecuador celeste no es uniforme, debido a la inclinación del eje de rotación de la Tierra con respecto a su plano orbital.

La figura de enfrente muestra las tres etapas del retorno de un meridiano orientado hacia el Sol, adoptando un punto de vista geocéntrico, es decir, la Tierra fijada en el centro de la figura y el Sol orbitando alrededor de la Tierra:

• una rotación completa (360 °) de la Tierra sobre sí misma para pasar de 1 a 2;
• al hacerlo, el Sol ha avanzado en su órbita alrededor de la Tierra, y por lo tanto la Tierra muestra este mismo meridiano no mirando al Sol sino frente a estrellas distantes, punto 2;
• Entonces es necesaria una rotación complementaria de la Tierra sobre sí misma para que el meridiano vuelva a estar de cara al Sol, punto 3.

El Sol ha avanzado de manera constante en su órbita ubicada en el plano de la eclíptica , mientras que la rotación complementaria de la Tierra sobre sí misma de cara al Sol se mide en el plano del ecuador celeste . Por tanto, es necesario informar del movimiento del Sol en este plano del ecuador celeste para apreciar el retraso o avance del tiempo solar en relación a un reloj regular. Es esta operación, llamada reducción en el ecuador, la que explica por qué el movimiento aparente del Sol a lo largo del ecuador celeste no es uniforme.

Suponiendo que la órbita es circular, el módulo del vector de velocidad del Sol es constante a lo largo de su órbita. Un componente de este vector es transportado por el eje vernal, el otro es transportado por un vector ortogonal a este eje vernal y está ubicado en el plano de la eclíptica . El primer componente se proyecta sin modificación sobre el plano del ecuador celeste , el segundo se proyecta con un factor de reducción igual al coseno de la oblicuidad. Intuitivamente, la suma de estas dos proyecciones en el plano del ecuador celeste será mínima en el eje vernal y máxima en la cuadratura de este mismo eje. Por tanto, la variación de velocidad será cero en estos cuatro puntos, e igual para el avance o el retardo.

Como primera aproximación, es una sinusoide de período medio año (curva verde de la figura Ecuación del tiempo, cf. arriba) que desaparece cuatro veces durante un año, en particular en el equinoccio de primavera . La expresión de esta demora por oblicuidad, expresada en minutos, es la siguiente:

ΔTR(D)=-9,87pecado⁡(2B){\ Displaystyle \ Delta T_ {R} (d) = - 9 {,} 87 \ sin (2B)}

Consulte la definición de B (d) a continuación.

Otra forma intuitiva de entender la contribución de la oblicuidad es considerar, en la esfera celeste , por un lado el sol real, moviéndose en el plano de la eclíptica, y, por otro lado, un sol ficticio, moviéndose, en el plano. del ecuador, a la misma velocidad que el primero.

Imaginemos que estos dos soles coinciden en el punto vernal y analicemos sus respectivos movimientos desde este punto.

El sol real se eleva por encima del plano del ecuador. Su trayectoria comienza en un ángulo igual a la oblicuidad del plano de la eclíptica, y se curva gradualmente, reduciendo gradualmente el ángulo formado con respecto al plano del ecuador. Después de un cuarto de vuelta, se encuentra paralelo a este plano por un momento, antes de retroceder e inclinarse gradualmente más y más, hasta llegar al punto opuesto del vernal en un ángulo nuevamente igual a la oblicuidad del plano de la eclíptica.

Si nos interesa la intersección de la trayectoria de los dos soles con los meridianos de la esfera celeste, entendemos intuitivamente que el sol real no cruzará los meridianos al mismo tiempo que el sol ficticio, salvo en cuatro puntos particulares.: en el punto vernal (1), en el punto opuesto (2), y en los dos puntos intermedios entre los anteriores (3 y 4). De hecho, el sol ficticio siempre se cruza con los meridianos en un ángulo de 90 °, y donde la distancia entre estos meridianos es mayor; el sol real, por otro lado, corta los meridianos en un ángulo variable, menos de 90 ° (excepto en 3 y 4), y en una latitud variable, donde la distancia entre los meridianos, medida en el paralelo, es menor que la distancia entre los meridianos en el plano del ecuador (excepto en 1 y 2).

Alrededor del punto vernal, la inclinación de la trayectoria del sol real es cercana a la oblicuidad, y la distancia entre meridianos sucesivos es cercana a la del ecuador. En consecuencia, la distancia que debe recorrer el sol real para llegar al siguiente meridiano es mayor que la que recorre el sol ficticio y, a igual velocidad en la esfera celeste, se demora más. También significa que la velocidad angular aparente del sol real, visto desde la tierra, es menor que la del sol ficticio y que, por lo tanto, habrá "girado" menos, en un día, que el sol ficticio. El movimiento adicional que tendrá que realizar la tierra sobre sí misma, después de su giro completo, para reposicionar el meridiano terrestre local exactamente frente al sol real, será menos importante que reposicionar este último frente al sol ficticio, y será tomar menos tiempo.: el sol real está por lo tanto "adelantado al reloj".

Por el contrario, alrededor del punto a 90 ° del punto vernal, la inclinación de la trayectoria es cercana a cero, y la distancia entre meridianos sucesivos es menor que en el ecuador: estamos en la latitud máxima en la esfera celeste. En consecuencia, la distancia que debe recorrer el sol real para llegar al siguiente meridiano es menor que la que debe recorrer el sol ficticio y, a la misma velocidad en la esfera celeste, lleva menos tiempo. También significa que la velocidad angular aparente del sol real, visto desde la tierra, es mayor que la del sol ficticio y que, por lo tanto, habrá "girado" más, en un día, que el sol ficticio. El movimiento adicional que la tierra tendrá que realizar sobre sí misma, después de su giro completo, para reposicionar el meridiano terrestre local exactamente frente al sol real, será más importante que reposicionar este último frente al sol ficticio, y será tomar más tiempo: el sol real está, por lo tanto, "detrás del reloj".

En un punto intermedio, donde la disminución de la distancia entre los meridianos compensa exactamente la influencia de la oblicuidad de la trayectoria, el sol real no "demora ni avanza más en el reloj"; el espacio con el reloj está entonces en su punto máximo.

Por tanto, el avance acumulativo del sol real aumenta cada día entre el punto vernal y este punto intermedio, y luego disminuye cada día hasta el punto a 90 ° del punto vernal, donde este avance se cancela.

Continuando con el razonamiento, entendemos que entre este punto a 90 ° del punto vernal y el punto opuesto al punto vernal, el sol real acumula un retraso que aumenta a un punto intermedio y luego disminuye al punto opuesto al punto vernal, donde este retraso se cancela.

El mismo razonamiento se aplica a la segunda mitad del año.

Versión simplificada de la ecuación del tiempo.

La suma de las dos fórmulas anteriores proporciona una primera aproximación de la ecuación del tiempo  :

ΔT(D)=ΔTVS(D)+ΔTR(D){\ Displaystyle \ Delta T (d) = \ Delta T_ {C} (d) + \ Delta T_ {R} (d)},

es decir :

ΔT(D)=7.678pecado⁡(B+1.374)-9,87pecado⁡(2B){\ Displaystyle \ Delta T (d) = 7 {,} 678 \ sin (B + 1 {,} 374) -9,87 \ sin (2B)}

con :, expresado en radianes, depende del número del día del año: B(D)=2π(D-81)365{\ Displaystyle B (d) = {\ frac {2 \ pi (d-81)} {365}}}

D=1{\ Displaystyle d = 1}la 1 st de enero; en el equinoccio de primavera . D=81{\ Displaystyle d = 81}

Estudio detallado

Influencia de la elipticidad de la órbita terrestre

• Cálculo de la anomalía mediaMETRO(D)=357,5291 ∘+0,98560028×D,{\ Displaystyle M (d) = 357.5291 \ ^ {\ circ} +0.98560028 \ times d,}

D{\ Displaystyle d}es el número de días (posiblemente fraccionario) entre la fecha deseada y el 01/01/2000 a las 12h00 TT : este número se puede determinar con la técnica de Días Julianos

• Contribución de la elipticidad de la trayectoria: es la ecuación del centro en radianesVS(METRO)=(2mi-14mi3)pecado⁡(METRO)+54mi2pecado⁡(2METRO)+1312mi3pecado⁡(3METRO){\ Displaystyle C (M) = \ left (2e - {\ frac {1} {4}} e ^ {3} \ right) \ sin (M) + {\ frac {5} {4}} e ^ { 2} \ sin (2M) + {\ frac {13} {12}} e ^ {3} \ sin (3M)}donde está la excentricidad del camino de la Tierra alrededor del Sol.mi=0,01671{\ Displaystyle e = 0.01671}

Aplicación digital:

VS(METRO)=1,9148 ∘pecado⁡(METRO)+0,0200 ∘pecado⁡(2METRO)+0,0003 ∘pecado⁡(3METRO){\ Displaystyle C (M) = 1.9148 \ ^ {\ circ} \ sin (M) +0.0200 \ ^ {\ circ} \ sin (2M) +0.0003 \ ^ {\ circ} \ sin (3M) \,}.

Influencia de la oblicuidad de la Tierra

• Cálculo de la longitud de la eclíptica λs=280,4665 ∘+0,98564736×D+VS,{\ Displaystyle \ lambda _ {s} = 280,4665 \ ^ {\ circ} +0,98564736 \ times d + C,}.

la pequeña diferencia de período entre y M se debe a la precesión de los equinoccios . λs{\ Displaystyle \ lambda _ {s}}

• Contribución de la oblicuidad de la Tierra: es la reducción en el ecuador (en radianes)R(λs)=(-y2)pecado⁡(2λs)+(12y4)pecado⁡(4λs)-(13y6)pecado⁡(6λs){\ Displaystyle R (\ lambda _ {s}) = (- y ^ {2}) \ sin (2 \ lambda _ {s}) + \ left ({\ frac {1} {2}} y ^ {4 } \ right) \ sin (4 \ lambda _ {s}) - \ left ({\ frac {1} {3}} y ^ {6} \ right) \ sin (6 \ lambda _ {s}) \, }donde  ; representa la inclinación del eje de la Tierra con respecto al plano de la eclíptica .y=broncearse⁡(ϵ/2){\ Displaystyle y = \ tan (\ epsilon / 2)}ϵ=23,43929o{\ Displaystyle \ epsilon = {\ rm {23.43929 ^ {o}}}}

Aplicación digital:

R(λs)=-2,46569 ∘pecado⁡(2λs)+0,0530 ∘pecado⁡(4λs)-0,0014 ∘pecado⁡(6λs){\ Displaystyle R (\ lambda _ {s}) = - 2,46569 \ ^ {\ circ} \ sin (2 \ lambda _ {s}) + 0.0530 \ ^ {\ circ} \ sin (4 \ lambda _ { s}) - 0,0014 \ ^ {\ circ} \ sin (6 \ lambda _ {s}) \,}.

Ecuación de tiempo

Ecuación de tiempo en grados:

mi(D)=VS+R{\ Displaystyle E (d) = C + R}, donde C y R se expresan en grados.

Ecuación de tiempo en minutos:

ΔT(D)=4×mi(D){\ Displaystyle \ Delta T (d) = 4 \ times E (d)}, donde E se expresa en grados.

Explicaciones y demostración de la fórmula.

La figura 1 muestra la Tierra que gira sobre sí misma y que gira alrededor del Sol en un año en el plano de la eclíptica . La situación presentada corresponde a la caída. El punto es el perihelio , alcanzado a principios de enero. El ángulo se llama anomalía verdadera. El eje , llamado eje vernal o punto vernal , es la intersección del plano de la eclíptica con el plano ecuatorial. Se utiliza como origen para medir la longitud de la eclíptica . T{\ Displaystyle T}S{\ Displaystyle S}PAG{\ Displaystyle P}θ{\ Displaystyle \ theta}γ{\ Displaystyle \ gamma}λs{\ Displaystyle \ lambda _ {s}}

La Figura 2 representa la Tierra en un marco de referencia fijo con respecto a las estrellas. La oblicuidad es el ángulo entre el plano de la eclíptica y el plano del ecuador. ε{\ Displaystyle \ varepsilon}

Llamemos al tiempo que transcurre. Considere un punto fijo en la Tierra y posicionado en el ecuador. Por lo tanto, realiza una vuelta en un día sideral de forma regular. t{\ Displaystyle t}A(t){\ Displaystyle A \ left (t \ right)}

Partiendo del centro de la Tierra, el punto se ubica en la dirección del Sol. Por lo tanto, se encuentra en el círculo de la eclíptica. El punto da vueltas en un año sideral . S(t){\ Displaystyle S \ left (t \ right)}S(t){\ Displaystyle S \ left (t \ right)}

Como la órbita de la Tierra es elíptica y de acuerdo con las leyes de Kepler , no gira suavemente. Considere el paso del meridiano y llame a la intersección de este meridiano con el ecuador. Tenga en cuenta que es mediodía solar en el punto en que el punto cruza este meridiano (por ejemplo, cuando los puntos y coinciden). S(t){\ Displaystyle S \ left (t \ right)}S(t){\ Displaystyle S \ left (t \ right)}B(t){\ Displaystyle B \ left (t \ right)}A{\ Displaystyle A}A(t){\ Displaystyle A \ left (t \ right)}A(t){\ Displaystyle A \ left (t \ right)}B(t){\ Displaystyle B \ left (t \ right)}

Tenga en cuenta también que un verdadero día solar es el tiempo entre dos cruces de y . De manera más general, el tiempo solar verdadero es el ángulo entre y  :A(t){\ Displaystyle A \ left (t \ right)}B(t){\ Displaystyle B \ left (t \ right)}A(t){\ Displaystyle A \ left (t \ right)}B(t){\ Displaystyle B \ left (t \ right)}

HV(t)=BA^=Bγ^+γA^{\ Displaystyle H_ {V} \ left (t \ right) = {\ widehat {BA}} = {\ widehat {B \ gamma}} + {\ widehat {\ gamma A}}}

HV{\ Displaystyle H_ {V}} es la hora indicada por un reloj de sol.

Para definir el tiempo solar medio, es necesario referirse a movimientos regulares (promediados). Hemos visto que el punto tiene un movimiento regular. Este no es el caso del punto , ni siquiera del punto . En lugar de considerar un punto virtual en la eclíptica que tiene un movimiento regular y del mismo período (veremos que está directamente relacionado con la anomalía media ). A(t){\ Displaystyle A \ left (t \ right)}B(t){\ Displaystyle B \ left (t \ right)}S(t){\ Displaystyle S \ left (t \ right)}S(t){\ Displaystyle S \ left (t \ right)}S~(t){\ Displaystyle {\ tilde {S}} \ left (t \ right)}S~(t){\ Displaystyle {\ tilde {S}} \ left (t \ right)} METRO(t){\ Displaystyle M \ left (t \ right)}

Por tanto, el tiempo solar medio es:

HMETRO(t)=S~γ^+γA^{\ Displaystyle H_ {M} \ left (t \ right) = {\ widehat {{\ tilde {S}} \ gamma}} + {\ widehat {\ gamma A}}}.

Por definición, la ecuación del tiempo es la diferencia:

mi(t)=HMETRO-HV=S~γ^+γB^{\ Displaystyle E \ left (t \ right) = H_ {M} -H_ {V} = {\ widehat {{\ tilde {S}} \ gamma}} + {\ widehat {\ gamma B}}}.

Ahora una relación de trigonometría da:

broncearse⁡(γB^)=porque⁡εbroncearse⁡(γS^){\ Displaystyle \ tan \ left ({\ widehat {\ gamma B}} \ right) = \ cos \ varepsilon \ tan \ left ({\ widehat {\ gamma S}} \ right)}.

De hecho, proyectemos desde el centro de la Tierra el triángulo esférico en el plano tangente a la Tierra en el punto vernal . Se convierte en un triángulo rectángulo con ángulo en la parte superior y lado adyacente e hipotenusa . Deducimos la relación . SγB{\ Displaystyle S \ gamma B}γ{\ Displaystyle \ gamma}ε{\ Displaystyle \ varepsilon}γ{\ Displaystyle \ gamma}a=broncearse⁡(γB^){\ Displaystyle a = \ tan ({\ widehat {\ gamma B}})}h=broncearse⁡(γS^){\ Displaystyle h = \ tan ({\ widehat {\ gamma S}})}a=hporque⁡ε{\ Displaystyle a = h \ cos \ varepsilon}

Deducimos:

broncearse⁡(γS~^+mi)=porque⁡εbroncearse⁡(γS^){\ Displaystyle \ tan \ left ({\ widehat {\ gamma {\ tilde {S}}}} + E \ right) = \ cos \ varepsilon \ tan \ left ({\ widehat {\ gamma S}} \ right) }

y la expresión de la ecuación del tiempo:

mi(t)=-γS~^+arctan⁡(porque⁡εbroncearse⁡(γS^)){\ Displaystyle E \ left (t \ right) = - {\ widehat {\ gamma {\ tilde {S}}}} + \ arctan \ left (\ cos \ varepsilon \ tan \ left ({\ widehat {\ gamma S }} \ bien bien)}.

Observaciones

• En esta última ecuación se sabe todo. Por un lado, de la Figura 1, parece que el ángulo está relacionado con la longitud de la eclíptica porγS^{\ Displaystyle {\ widehat {\ gamma S}}}λs{\ Displaystyle \ lambda _ {s}}Sγ^+λs=(TS→,γ^)+(γ,ST→^)=π{\ displaystyle {\ widehat {S \ gamma}} + \ lambda _ {s} = ({\ widehat {{\ overrightarrow {TS}}, \ gamma}}) + ({\ widehat {\ gamma, {\ overrightarrow {ST}}}}) = \ pi}

y se relaciona con la anomalía verdadera por dónde está la longitud del perihelio. Entoncesλs{\ Displaystyle \ lambda _ {s}} θ(t){\ Displaystyle \ theta \ left (t \ right)}λs=θ+ω¯{\ Displaystyle \ lambda _ {s} = \ theta + {\ overline {\ omega}}}ω¯{\ Displaystyle {\ overline {\ omega}}}

γS^=θ(t)+ω¯-π≃θ(t)+102,94 ∘{\ displaystyle {\ begin {matrix} {\ widehat {\ gamma S}} & = & \ theta \ left (t \ right) + {\ overline {\ omega}} - \ pi & \ simeq & \ theta \ left (t \ right) +102.94 \ ^ {\ circ} \ end {matrix}}}.

De manera similar se relaciona con la anomalía media porγS~^{\ displaystyle {\ widehat {\ gamma {\ tilde {S}}}}} METRO(t){\ Displaystyle M \ left (t \ right)}

γS~^=METRO(t)+ω¯-π{\ Displaystyle {\ widehat {\ gamma {\ tilde {S}}}} = M \ left (t \ right) + {\ overline {\ omega}} - \ pi}.

• Tradicionalmente lo desglosamos de la siguiente manera:mi(t){\ Displaystyle E (t)} mi(t)=(γS^-γS~^)⏟VS+(-γS^+arctan⁡(porque⁡εbroncearse⁡(γS^)))⏟R{\ Displaystyle E \ left (t \ right) = \ underbrace {\ left ({\ widehat {\ gamma S}} - {\ widehat {\ gamma {\ tilde {S}}}} \ right)} _ {C } + \ underbrace {\ left (- {\ widehat {\ gamma S}} + \ arctan \ left (\ cos \ varepsilon \ tan \ left ({\ widehat {\ gamma S}} \ right) \ right) \ right )} _ {R}}.

El primer término ,, se llama "contribución de elipticidad" o ecuación del centro . Tenemos: . se debe a la elipticidad de la órbita terrestre. En un modelo donde la Tierra tendría un movimiento circular y regular, tendríamos y solo intervendría el segundo término , llamado reducción en el ecuador y debido a la oblicuidad . Tenga en cuenta que si tuviéramos (el Sol permanentemente en el plano del ecuador), este último término sería cero. VS{\ Displaystyle C}VS=(γS^-γS~^)=θ(t)-METRO(t){\ Displaystyle C = \ left ({\ widehat {\ gamma S}} - {\ widehat {\ gamma {\ tilde {S}}}} \ right) = \ theta \ left (t \ right) -M \ left (t \ right)}VS{\ Displaystyle C}S~=S{\ Displaystyle {\ tilde {S}} = S}R{\ Displaystyle R}ε{\ Displaystyle \ varepsilon}ε=0{\ Displaystyle \ varepsilon = 0}

• Usando una expansión y un ajuste limitados , el término de reducción del ecuador anterior se puede escribiry=broncearse⁡ε2≃0,20{\ Displaystyle y = \ tan {\ frac {\ varepsilon} {2}} \ simeq 0,20}

R=arctan⁡(porque⁡εbroncearse⁡(γS^))-γS^=arctan⁡(porque⁡εbroncearse⁡(λs-π))-(λs-π)=-arctan⁡(pecado⁡(2λs)y21+y2porque⁡(2λs))≃-y2pecado⁡(2λs)+12y4pecado⁡(4λs)-13y6pecado⁡(6λs)+...{\ Displaystyle {\ begin {alineado} R & = & \ arctan \ left (\ cos \ varepsilon \ tan \ left ({\ widehat {\ gamma S}} \ right) \ right) - {\ widehat {\ gamma S }} \\ & = & \ arctan \ left (\ cos \ varepsilon \ tan \ left (\ lambda _ {s} - \ pi \ right) \ right) - \ left (\ lambda _ {s} - \ pi \ derecha) \\ & = & - \ arctan \ left ({\ frac {\ sin \ left (2 \ lambda _ {s} \ right) y ^ {2}} {1 + y ^ {2} \ cos \ left (2 \ lambda _ {s} \ right)}} \ right) \\ & \ simeq & -y ^ {2} \ sin \ left (2 \ lambda _ {s} \ right) + {\ frac {1} {2}} y ^ {4} \ sin \ left (4 \ lambda _ {s} \ right) - {\ frac {1} {3}} y ^ {6} \ sin \ left (6 \ lambda _ { s} \ right) + \ ldots \\\ end {alineado}}}.

Notas y referencias

1. En las Efemérides Astronómicas publicadas por la Sociedad Astronómica de Francia , se da el valor de la ecuación del tiempo, para cada día del año a las 0 h del Tiempo Universal .
2. Caillemer y Le Cocq 1983 , cap.  2 , §  4 , pág.  24.
3. Ver definición dada por el “Instituto de Mecánica Celeste y Cálculo de Efemérides” (Observatorio de París - Bureau des longitudes - CNRS) Tiempo verdadero, tiempo medio, ecuación de tiempo .
4. Ver la definición dada por Laplace en su libro Exposición del sistema mundial - Libro Uno, capítulo 3 , final de §3.
5. Diagrama establecido utilizando datos de altura y azimut proporcionados por el sitio web de JPL Horizons
6. Se puede encontrar un diagrama similar en el sitio [1]
7. Analema de Anaximandro a Ptolomeo
8. J. Meeus y D. Savoie (cf. Bibliografía).
9. Inspirado en la sección "El sol no se mueve en el plano del ecuador" de la página http://freveille.free.fr/Equation_du_temps.html

Ver también

Artículos relacionados

• Anomalía excéntrica
• Verdadera anomalía
• Anomalía media
• Analemma
• Reloj solar

enlaces externos

• Escalas de tiempo del Instituto de Mecánica Celeste y Cálculo de Efemérides
• [PDF] Ecuación del tiempo de Kepler
• (fr) Artículo sobre la ecuación del tiempo
• Una animación para ilustrar el tema.
• Calculadora de hora mundial en un mapa OSM

Bibliografía

• Pierre-Simon de Laplace , Exposición del sistema del mundo
• Jean Meeus y Denis Savoie, L'Équation du temps , en la revista L'Astronomie , vol. 109,Junio ​​de 1995, págs. 188-193.
• [Alhalel 2001] Thierry Alhalel , “  La diferencia entre el tiempo solar medio y el tiempo solar verdadero: la ecuación del tiempo  ”, Boletín de la unión de físicos , vol.  95, n o  838 (1),Noviembre de 2001, p.  1557-1577 ( resumen , leer en línea ).
• [Sanfré 2007] Béatrice Sanfré , "  La ecuación del tiempo  ", Les Cahiers Clairaut , n o  119,otoño de 2007( resumen , leer en línea ).
• [Caillemer y Le Cocq 1983] André Caillemer y Catherine Le Cocq , Astronomía de posición, geodesia , París, Technip, coll.  "Publicaciones del Instituto Francés del Petróleo / Escuela Nacional de Petróleo y Motores / Centro de Estudios Superiores en Prospección Geológica y Geofísica",1983, 2 nd  ed. ( 1 st  ed. 1971), 1  vol. , 264- [1]  p. , enfermo. , 24  cm ( ISBN  2-7108-0439-5 , EAN  9782710804390 , OCLC  300395015 , aviso BnF n o  FRBNF34716757 , SUDOC  005732190 , leer en línea ).

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